Olimpiada de matematică 2025 județeană, clasa a IX-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a IX-a?

Patru probleme: una de vectori (centrul de greutate al unui triunghi cu vârfurile pe laturile și diagonalele unui paralelogram), o ecuație cu partea întreagă și partea fracționară, un sistem rezolvat cu inegalitatea mediilor și o problemă despre scrierea numerelor naturale ca sume de termeni ai unui șir.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2025, la liceu?

Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă se notează cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2025, la liceu?

Subiectele cu soluțiile și baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2025, etapa județeană, clasa a IX-a (sâmbătă, 8 martie 2025), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: la problema 1, $N$ și $P$ sunt date de rapoartele $\frac{O N}{N C} = \frac{1}{k}$ și $\frac{O P}{P D} = k$ ; ecuația de la problema 2 are soluțiile $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ și $1 - \sqrt{5}$ ; la problema 3, $a = 2$ , $b = 6$ , $c = 18$ , $d = 54$ ; problema 4 se rezolvă prin inducție.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 8 martie 2025, toți elevii de clasa a IX-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · vectori, centrul de greutate)

Fie $A B C D$ un paralelogram și $O$ intersecția diagonalelor. Demonstrați că pentru orice punct $M \in (A B)$ , există în mod unic punctele $N \in (O C)$ și $P \in (O D)$ astfel încât $O$ este centrul de greutate al triunghiului $M N P$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: exprimăm toți vectorii în baza $\vec{O A}, \vec{O B}$ ; $O$ este centrul de greutate al lui $M N P$ exact când $\vec{O M} + \vec{O N} + \vec{O P}$ $= \vec{0}$ .

Un punct $M \in (A B)$ este unic determinat de numărul $k \in (0, \infty)$ cu $\frac{A M}{M B} = k$ , iar atunci $\vec{O M}$ $= \frac{1}{k + 1} \vec{O A} + \frac{k}{k + 1} \vec{O B}$ . (2 p)
Pentru a găsi punctele $N$ și $P$ în mod unic, trebuie să găsim în mod unic $x, y \in (0, \infty)$ astfel încât $\frac{O N}{N C} = x$ , $\frac{O P}{P D} = y$ și $O$ să fie centrul de greutate al triunghiului $M N P$ . (2 p)
Cum $\vec{O C}$ $= - \vec{O A}$ și $\vec{O D}$ $= - \vec{O B}$ (diagonalele paralelogramului se înjumătățesc), avem $\vec{O N}$ $= \frac{x}{x + 1} \vec{O C}$ $= - \frac{x}{x + 1} \vec{O A}$ și $\vec{O P}$ $= \frac{y}{y + 1} \vec{O D}$ $= - \frac{y}{y + 1} \vec{O B}$ . (1 p)
Deoarece $\vec{O A}$ și $\vec{O B}$ sunt necoliniari, $O$ este centrul de greutate al triunghiului $M N P$ dacă și numai dacă în suma $\vec{O M} + \vec{O N} + \vec{O P}$ coeficienții lui $\vec{O A}$ și $\vec{O B}$ sunt nuli: $\frac{x}{x + 1}$ $= \frac{1}{k + 1}$ $\Leftrightarrow x$ $= \frac{1}{k}$ și $\frac{y}{y + 1}$ $= \frac{k}{k + 1}$ $\Leftrightarrow y$ $= k$ . Așadar $N$ este unic determinat de raportul $\frac{O N}{N C}$ $= \frac{1}{k}$ , iar $P$ de raportul $\frac{O P}{P D} = k$ , ceea ce încheie problema. (2 p)

Observație: funcția $t \mapsto \frac{t}{t + 1}$ este strict crescătoare pe $(0, \infty)$ , de aceea fiecare dintre ecuațiile de mai sus are o singură soluție — de aici unicitatea.

Problema 2 (7 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Rezolvați în $R$ ecuația:

$\frac{1}{{x}} + \frac{1}{[x]} + \frac{1}{x}$ $= 0,$

unde $[x]$ și ${x}$ sunt partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului real $x$ . (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: aducem la același numitor și obținem $- x^{2} = [x] {x}$ , deci $[x]$ este negativ; notăm $[x] = - k$ și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea.

Condițiile de existență: ${x} \neq 0$ , $[x] \neq 0$ , $x \neq 0$ , adică $x \in R ∖ (Z \cup [0, 1))$ . (1 p)
Cum $[x] + {x} = x$ , ecuația este echivalentă cu $\frac{[x] + {x}}{[x] {x}}$ $= - \frac{1}{x}$ $\Leftrightarrow - x^{2}$ $= [x] {x}$ . $(⋆)$ (1 p)
Deoarece $- x^{2} \leq 0$ și $x \neq 0$ , avem $[x] {x} < 0$ ; cum ${x} > 0$ , rezultă $[x] \leq - 1$ . (1 p)
Dacă $[x] = - k$ , $k \in N^{*}$ , atunci ${x} = x + k$ , iar ecuația $(⋆)$ devine $- x^{2} = - k (k + x)$ , echivalent cu $x^{2} - k x - k^{2} = 0$ , cu soluțiile $x_{1, 2}$ $= \frac{k \pm k \sqrt{5}}{2}$ . Din $[x] = - k < 0$ , singura soluție posibilă este $x$ $= \frac{k - k \sqrt{5}}{2}$ . (2 p)
Trebuie găsite valorile $k \in N^{*}$ pentru care $[\frac{k - k \sqrt{5}}{2}]$ $= - k$ , adică $- k$ $\leq k \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ $< - k + 1$ $\Leftrightarrow 3 k$ $\geq k \sqrt{5}$ $> 3 k - 2$ . Prima inegalitate este mereu adevărată, iar a doua dă $k$ $< \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2, 62$ , adică $k \in {1, 2}$ . Obținem soluțiile $x_{1}$ $= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ și $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ , care verifică ecuația dată. (2 p)

Verificare: pentru $x_{1} \approx - 0,618$ : $[x_{1}] = - 1$ , ${x_{1}}$ $= \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ ; pentru $x_{2} \approx - 1,236$ : $[x_{2}] = - 2$ , ${x_{2}} = 3 - \sqrt{5}$ . În ambele cazuri $- x^{2} = [x] {x}$ . ✓

Răspuns: $x \in {\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1 - \sqrt{5}}$ .

Problema 3 (7 puncte · inegalitatea mediilor)

Determinați numerele reale pozitive $a, b, c, d$ astfel încât $a + b + c + d = 80$ și

$a + \frac{b}{1 + a} + \frac{c}{1 + a + b} + \frac{d}{1 + a + b + c}$ $= 8.$

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: adunăm câte 1 la fiecare termen; apar rapoarte de sume parțiale consecutive, iar inegalitatea mediilor ( $u + v \geq 2 \sqrt{u v}$ ) le „telescopează”.

Adunând 4 în ambii membri (câte 1 la fiecare termen), relația se scrie: $1 + a + \frac{1 + a + b}{1 + a}$ $+ \frac{1 + a + b + c}{1 + a + b}$ $+ \frac{1 + a + b + c + d}{1 + a + b + c}$ $= 12$ , iar $1 + a + b + c + d = 81$ . (2 p)
Aplicăm inegalitatea mediilor: $1 + a + \frac{1 + a + b}{1 + a}$ $\geq 2 \sqrt{(1 + a) \cdot \frac{1 + a + b}{1 + a}}$ $= 2 \sqrt{1 + a + b}$ și $\frac{1 + a + b + c}{1 + a + b} + \frac{81}{1 + a + b + c}$ $\geq 2 \sqrt{\frac{81}{1 + a + b}}$ $= \frac{18}{\sqrt{1 + a + b}}$ . (2 p)
Adunând cele două inegalități și aplicând din nou inegalitatea mediilor: $12$ $\geq 2 \sqrt{1 + a + b} + \frac{18}{\sqrt{1 + a + b}}$ $\geq 2 \sqrt{36}$ $= 12$ . (1 p)
Deci avem egalitate în toate cele trei inegalități: $\sqrt{1 + a + b} = 3$ , adică $a + b = 8$ , și $1 + a$ $= \frac{1 + a + b}{1 + a}$ $= \frac{1 + a + b + c}{1 + a + b}$ $= \frac{1 + a + b + c + d}{1 + a + b + c}$ $= 3$ . Așadar $a = 2$ , $b = 6$ , $c = 18$ , $d = 54$ . (2 p)

Verificare: $2 + 6 + 18 + 54 = 80$ și $2 + \frac{6}{3} + \frac{18}{9} + \frac{54}{27}$ $= 2 + 2 + 2 + 2$ $= 8$ . ✓

Răspuns: $a = 2$ , $b = 6$ , $c = 18$ , $d = 54$ .

Problema 4 (7 puncte · șiruri, inducție matematică)

Fie $(x_{n})_{n \geq 1}$ un șir crescător nemărginit de numere naturale cu $x_{1} = 1$ și $x_{n + 1} \leq 2 x_{n}$ , pentru orice $n \geq 1$ . Demonstrați că orice număr natural nenul se poate scrie ca sumă finită de termeni distincți doi câte doi ai șirului $(x_{n})_{n \geq 1}$ .

Notă: Doi termeni $x_{i}$ și $x_{j}$ ai șirului $(x_{n})_{n \geq 1}$ se numesc distincți dacă $i \neq j$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: ca la scrierea în baza 2 (unde $x_{n} = 2^{n - 1}$ ): arătăm prin inducție că toate numerele de la 1 până la $2 x_{n} - 1$ se pot scrie folosind doar $x_{1}, \dots, x_{n}$ , fiecare cel mult o dată.

Arătăm prin inducție după $n$ că orice $k$ cu $1 \leq k < 2 x_{n}$ se scrie $k$ $= \sum_{i = 1}^{n} ε_{i} x_{i}$ , cu $ε_{i} \in {0, 1}$ . Deoarece șirul este nemărginit, orice număr natural nenul este mai mic decât un $2 x_{n}$ , deci așa acoperim toate numerele naturale nenule. (2 p)
Pentru $n = 1$ : $2 x_{1} = 2$ și $k = 1 = x_{1}$ . Presupunem afirmația adevărată pentru $n = N$ și o demonstrăm pentru orice $k$ cu $1 \leq k < 2 x_{N + 1}$ . (1 p)
Dacă $x_{N} = x_{N + 1}$ , atunci $k < 2 x_{N}$ și, din ipoteza de inducție, $k$ $= \sum_{i = 1}^{N} ε_{i} x_{i}$ ; punem $ε_{N + 1} = 0$ . (1 p)
Dacă $x_{N} < x_{N + 1}$ , este suficient să considerăm $2 x_{N} \leq k < 2 x_{N + 1}$ , deoarece cazul $k < 2 x_{N}$ este acoperit de ipoteza de inducție. (1 p)
Atunci $k - x_{N + 1}$ $\geq 2 x_{N} - x_{N + 1}$ $\geq 0$ , conform ipotezei $x_{N + 1} \leq 2 x_{N}$ . Dacă $k - x_{N + 1} = 0$ , afirmația este evidentă ( $k = x_{N + 1}$ ). Dacă $k - x_{N + 1} > 0$ , atunci $0$ $< k - x_{N + 1}$ $< 2 x_{N + 1} - x_{N + 1}$ $\leq 2 x_{N}$ , deci, din ipoteza de inducție, $k - x_{N + 1}$ $= \sum_{i = 1}^{N} ε_{i} x_{i}$ . Adunăm $x_{N + 1}$ în ambii membri și luăm $ε_{N + 1} = 1$ . Inducția se încheie. (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	demonstrație: $\frac{O N}{N C} = \frac{1}{k}$ , $\frac{O P}{P D} = k$ , unde $k = \frac{A M}{M B}$
2	$x \in {\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1 - \sqrt{5}}$
3	$a = 2$ , $b = 6$ , $c = 18$ , $d = 54$
4	demonstrație prin inducție

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Vectori, centrul de greutate, vectori coliniari	formule clasa a 9-a
2	Partea întreagă și partea fracționară, ecuația de gradul al doilea	formule clasa a 9-a
3	Inegalitatea mediilor	formule clasa a 9-a
4	Șiruri, inducție matematică	formule clasa a 9-a

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a IX-a? Patru probleme: una de vectori (centrul de greutate al unui triunghi cu vârfurile pe laturile și diagonalele unui paralelogram), o ecuație cu partea întreagă și partea fracționară, un sistem rezolvat cu inegalitatea mediilor și o problemă despre scrierea numerelor naturale ca sume de termeni ai unui șir.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2025, la liceu? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă se notează cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2025, la liceu? Subiectele cu soluțiile și baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa județeană 2025 — clasa a X-a · clasa a XI-a · clasa a XII-a · olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · concursuri de matematică. Formulele utile le găsești la formule clasa a 9-a.

Subiect oficial © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană, 8 martie 2025): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2025, etapa județeană — clasa a IX-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · vectori, centrul de greutate)

Problema 2 (7 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Problema 3 (7 puncte · inegalitatea mediilor)

Problema 4 (7 puncte · șiruri, inducție matematică)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe