Olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a V-a — subiecte și soluții
Publicitate
Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa județeană, clasa a V-a (sâmbătă, 7 martie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: Raul a prins 4 pești și Sebi 8; restul împărțirii este 8; numerele cerute la problema 3 b) sunt 399, 498, 597 și 696; la problema 4, numărul de pe prima linie este 7 (a) și 3, 7 sau 11 (b).
Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 7 martie 2026, toți elevii de clasa a V-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform subiectului oficial, fiecare problemă este notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu (total 100). Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament; în 2026, etapa națională pentru clasele V–VIII s-a desfășurat între 30 martie și 3 aprilie, la Drobeta-Turnu Severin.
Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.
Sebi și Raul au mers împreună la pescuit. Fiecare dintre ei a eliberat doi pești dintre cei pe care i-a prins și i-a păstrat pe restul. Sebi a prins două treimi din numărul total de pești prinși, iar Raul a păstrat un sfert din numărul total de pești păstrați. Câți pești a prins fiecare copil?
Vezi soluția (după baremul oficial)
Ideea: lucrăm întâi cu peștii păstrați (acolo avem „un sfert”), apoi adăugăm câte 2 pești eliberați ca să ajungem la peștii prinși (acolo avem „două treimi”).
Reprezentăm cu un segment \(a\) numărul peștilor păstrați de Raul. Raul are un sfert din peștii păstrați, adică o parte din patru; celelalte trei părți sunt ale lui Sebi. Deci Sebi a păstrat de 3 ori mai mulți pești: 3 segmente \(a\). (4,5 p)
Fiecare a mai eliberat 2 pești, deci Raul a prins \(a\) pești și încă 2, iar Sebi a prins \(3 \cdot a\) pești și încă 2 (vezi desenul). Sebi a prins două treimi din peștii prinși, deci lui Raul îi rămâne o treime. Două treimi înseamnă de două ori cât o treime, așa că Sebi a prins de două ori mai mulți pești decât Raul. (6 p)
Pe desen, linia lui Sebi (\(a + a + a + 2\)) trebuie să fie cât două linii ale lui Raul (\(a + 2 + a + 2\)). Tăiem din ambele câte \(a + a + 2\): rămâne \(a = 2\) (în barem: \(a + a = a + 2\), așadar \(a = 2\)). (6 p)
În concluzie, Raul a prins \(2 + 2 = 4\) pești, iar Sebi a prins \(4 \cdot 2 = 8\) pești. (6 p)
Verificare: s-au prins \(4 + 8 = 12\) pești, iar \(8\) este două treimi din \(12\). Au păstrat \(2 + 6 = 8\) pești, iar cei \(2\) ai lui Raul sunt un sfert din \(8\). ✓
Soluția 2 (cu ecuație), tot din barem: notăm cu \(a\) peștii păstrați de Raul; Raul a prins \(a + 2\) pești (4,5 p); Sebi a păstrat \(3a\) pești (3 p); Sebi a prins de două ori cât Raul, adică \(2a + 4\) pești (3 p); din \(3a + 2 = 2a + 4\) rezultă \(a = 2\) (6 p); deci Raul a prins 4 pești, iar Sebi 8 pești (6 p).
Răspuns: Sebi a prins 8 pești, iar Raul a prins 4 pești.
Problema 2 (22,5 puncte · împărțirea cu rest)
Câtul împărțirii numărului 2024 la \(\overline{ab}\) este \(\overline{abb}\). Aflați restul acestei împărțiri. (Gazeta Matematică)
Vezi soluția (după baremul oficial)
Ideea: câtul \(\overline{abb}\) este cam de 10 ori mai mare decât împărțitorul \(\overline{ab}\), deci produsul lor crește foarte repede. De aceea \(\overline{ab}\) nu poate fi mare, și rămân doar câteva cazuri de verificat.
Scriem teorema împărțirii cu rest: \(2024\) \(= \overline{ab} \cdot \overline{abb} + r\), unde restul \(r\) este mai mic decât împărțitorul: \(r \lt \overline{ab}\). (4,5 p)
Observăm că \(\overline{abb}\) \(= 10 \cdot \overline{ab} + b\) \(\ge 10 \cdot \overline{ab}\). Dacă \(\overline{ab} \ge 15\), atunci \(2024\) \(\ge \overline{ab} \cdot \overline{abb}\) \(\ge \overline{ab} \cdot \overline{ab} \cdot 10\) \(\ge 15 \cdot 15 \cdot 10\) \(= 2250\), ceea ce nu se poate. Așadar \(\overline{ab}\) poate fi doar 10, 11, 12, 13 sau 14. (3 p)
Analizăm fiecare caz (barem: câte 3 puncte pentru fiecare situație, în total (15 p)):
\(\overline{ab} = 10\): câtul ar trebui să fie 100, dar \(2024 : 10 = 202\) rest 4 — nu convine;
\(\overline{ab} = 11\): câtul ar trebui să fie 111, dar \(2024 : 11 = 184\) rest 0 — nu convine;
\(\overline{ab} = 12\): câtul ar trebui să fie 122, dar \(2024 : 12 = 168\) rest 8 — nu convine;
\(\overline{ab} = 13\): câtul ar trebui să fie 133, dar \(2024 : 13 = 155\) rest 9 — nu convine;
\(\overline{ab} = 14\): câtul trebuie să fie 144, și într-adevăr \(2024 = 14 \cdot 144 + 8\), cu \(8 \lt 14\). ✓
Răspuns: \(\overline{ab} = 14\), câtul este 144, iar restul este 8.
Problema 3 (22,5 puncte · suma cifrelor, divizibilitate)
Pentru fiecare număr natural \(m\) notăm suma cifrelor sale cu \(s(m)\).
a) Arătați că nu există niciun număr natural \(n\) de 3 cifre pentru care \(s(n)\) și \(s(n + 4)\) sunt multipli de 6.
b) Determinați numerele naturale \(p\) de 3 cifre pentru care \(s(p)\) și \(s(p + 4)\) sunt multipli de 7.
Vezi soluția (după baremul oficial)
Ideea: ce se întâmplă cu suma cifrelor când adunăm 4 depinde de „trecerea peste ordin”. Dacă ultima cifră este cel mult 5, suma cifrelor crește cu 4. Dacă ultima cifră este 6, 7, 8 sau 9, ea scade cu 6 (de exemplu \(7 + 4 = 11\): scriem 1 și ducem 1 la zeci), iar cifra zecilor crește cu 1 — și tot așa mai departe, dacă și zecile sunt 9.
a) Fie \(n = \overline{abc}\) cu \(a + b + c\) multiplu de 6. Arătăm că, în fiecare caz, \(s(n + 4)\) nu este multiplu de 6:
dacă \(c \le 5\), atunci \(s(n + 4) = s(n) + 4\), adică un multiplu de 6 plus 4, deci nu este multiplu de 6; (3 p)
dacă \(c \ge 6\) și \(b \lt 9\), atunci \(s(n + 4)\) \(= a + (b + 1) + (c - 6)\) \(= s(n) - 5\); un multiplu de 6 minus 5 dă restul 1 la împărțirea cu 6, deci nu este multiplu de 6; (3 p)
dacă \(c \ge 6\), \(b = 9\), \(a \lt 9\), atunci \(s(n + 4)\) \(= (a + 1) + (b - 9) + (c - 6)\) \(= s(n) - 14\), care dă restul 4 la împărțirea cu 6 (pentru că \(14 = 12 + 2\) și \(6 - 2 = 4\)), deci nu este multiplu de 6; (3 p)
dacă \(c \ge 6\) și \(a = b = 9\), atunci \(s(n) = 18 + c\) este multiplu de 6 doar pentru \(c = 6\), adică \(n = 996\); dar \(n + 4 = 1000\) și \(s(1000) = 1\), care nu este multiplu de 6. (1,5 p)
Am epuizat toate cazurile, deci un astfel de număr \(n\) nu există.
b) Fie \(p = \overline{abc}\) cu \(a + b + c\) multiplu de 7. Analizăm aceleași cazuri:
dacă \(c \lt 6\), atunci \(s(p + 4) = s(p) + 4\), multiplu de 7 plus 4 — nu este multiplu de 7; (3 p)
dacă \(c \ge 6\) și \(b \lt 9\), atunci \(s(p + 4)\) \(= a + b + 1 + c - 6\) \(= s(p) - 5\), care dă restul 2 la împărțirea cu 7 — nu este multiplu de 7; (3 p)
dacă \(c \ge 6\), \(b = 9\) și \(a \lt 9\), atunci \(s(p + 4)\) \(= (a + 1) + (b - 9) + (c - 6)\) \(= s(p) - 14\). Cum \(14 = 2 \cdot 7\), acesta este multiplu de 7 pentru orice \(p\) cu \(s(p)\) multiplu de 7. Rămâne să găsim numerele \(\overline{a9c}\) cu \(c \ge 6\), \(1 \le a \le 8\) și \(a + 9 + c\) multiplu de 7. Suma \(a + 9 + c\) este între \(1 + 9 + 6 = 16\) și \(8 + 9 + 9 = 26\), deci trebuie să fie 21, adică \(a + c = 12\): \(c = 9, a = 3\); \(c = 8, a = 4\); \(c = 7, a = 5\); \(c = 6, a = 6\). Obținem că \(p\) poate fi 399, 498, 597 sau 696; (3 p)
dacă \(c \ge 6\) și \(a = b = 9\), atunci \(p\) este 996, 997, 998 sau 999, cu sumele cifrelor 24, 25, 26, 27 — niciunul nu are \(s(p)\) multiplu de 7. (În baremul oficial aceste numere apar scrise 699, 799, 899, 999; sumele cifrelor sunt aceleași, deci concluzia nu se schimbă.) (3 p)
Răspuns: a) nu există; b) \(p \in \{399, 498, 597, 696\}\).
Problema 4 (22,5 puncte · sume, raționament)
Se consideră un tabel cu 4 linii și 4 coloane pe care îl completăm cu numerele de la 1 la 13 astfel încât pe prima linie să apară același număr în fiecare pătrățică, iar pe ultimele trei linii celelalte 12 numere.
a) Determinați valorile numărului de pe prima linie astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie a tabelului să fie aceeași. Pentru fiecare valoare găsită construiți un tabel corespunzător.
b) Determinați valorile numărului de pe prima linie astfel încât suma numerelor de pe fiecare coloană a tabelului să fie aceeași. Pentru fiecare valoare găsită construiți un tabel corespunzător.
Vezi soluția (după baremul oficial)
Ideea: calculăm suma tuturor celor 16 numere din tabel în două feluri.
a) Notăm numărul scris pe prima linie cu \(x\). Suma de pe prima linie este \(4 \cdot x\). Pe ultimele trei linii sunt toate numerele de la 1 la 13, în afară de \(x\), iar \(1 + 2 + \ldots + 13 = 91\). Deci suma tuturor numerelor din tabel este \(91 - x + 4x = 91 + 3x\). Dacă toate cele 4 linii au aceeași sumă \(4x\), suma totală este și \(16 \cdot x\). Obținem \(16x = 91 + 3x\), adică \(13x = 91\), de unde \(x = 7\). (4,5 p)
Un exemplu de tabel (fiecare linie are suma 28): (6 p)
7
7
7
7
13
1
4
10
5
8
6
9
3
12
11
2
b) Notăm cu \(S\) suma numerelor de pe fiecare coloană. Sunt 4 coloane, deci suma totală este \(4 \cdot S\), adică \(91 + 3x = 4 \cdot S\). Așadar \(91 + 3x\) trebuie să se împartă exact la 4. Încercând valorile \(x = 1, 2, \ldots, 13\), găsim doar \(x = 3\) (\(91 + 9 = 100\), \(S = 25\)), \(x = 7\) (\(91 + 21 = 112\), \(S = 28\)) și \(x = 11\) (\(91 + 33 = 124\), \(S = 31\)). Deci \(x\) poate fi egal cu 3, 7 sau 11. (3 p)
Câte un tabel pentru fiecare valoare (sumele pe coloane sunt 25, 28, respectiv 31); pentru fiecare exemplu corect se acordă câte 3 puncte: (9 p)
3
3
3
3
13
12
11
10
8
6
9
7
1
4
2
5
7
7
7
7
13
12
11
10
5
8
6
9
3
1
4
2
11
11
11
11
13
12
10
9
6
5
8
7
1
3
2
4
Răspuns: a) \(x = 7\); b) \(x \in \{3, 7, 11\}\).
Răspunsuri pe scurt
Problema
Răspuns
1
Sebi a prins 8 pești, Raul a prins 4 pești
2
\(\overline{ab} = 14\), câtul 144, restul 8
3
a) nu există un astfel de \(n\); b) \(p \in \{399, 498, 597, 696\}\)
4
a) \(x = 7\); b) \(x \in \{3, 7, 11\}\) (cu câte un tabel exemplu)
Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a V-a? Patru probleme: o problemă cu pești rezolvabilă prin metoda figurativă, o împărțire cu rest în care câtul este \(\overline{abb}\), o problemă despre suma cifrelor lui \(n\) și \(n + 4\) și un tabel 4 × 4 completat cu numerele de la 1 la 13, cu sume egale pe linii sau pe coloane.
Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2026? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform subiectelor oficiale din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.
Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2026? Subiectele și soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs de inspectoratele școlare și preluate de presa de educație. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.