Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa județeană (sâmbătă, 7 martie 2026), clasa a VIII-a: cele 4 probleme, transcrise exact, fiecare cu soluția completă explicată pas cu pas după baremul oficial, cu punctajul acordat pentru fiecare pas. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide soluția.
Olimpiada Națională de Matematică (ONM, numită des „olimpiada de matematică” sau OLM) este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 2026, elevii au avut 3 ore pentru 4 probleme notate cu câte 22,5 puncte, plus 10 puncte din oficiu (total 100). Conform regulamentului specific ONM 2026, la etapa națională se califică doar elevi cu minimum 60 de puncte: primul clasat din fiecare județ și sector (47 de locuri pe clasă) plus cel mult 43 de locuri suplimentare atribuite în ordinea punctajelor la nivel național. Etapa națională pentru clasele V–VIII s-a desfășurat între 30 martie și 3 aprilie 2026, la Drobeta-Turnu Severin.
Documente oficiale: subiectul și soluțiile cu baremul clasei a VIII-a (antet Ministerul Educației și Cercetării / SSMR, publicate de ISJ Bacău, copie pe edupedu.ro). Teme: numere iraționale, resturi la împărțirea cu 11 și pătrate perfecte, perpendicularitate în spațiu (prisma regulată), volumul cubului și ecuații în numere naturale.
Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Rezultate pe scurt
Subiectele și soluțiile — clasa a VIII-a
Punctajele dintre paranteze sunt cele din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim corespunzător.
Problema 1 (Algebră · numere iraționale · 22,5 puncte)
a) Determinați numerele reale \(x\) pentru care numerele \(x + \sqrt{3}\) și \(3x^2 + \sqrt{3}\) sunt raționale.
b) Arătați că nu există niciun număr real \(y\) astfel încât numerele \(y + \sqrt{3}\) și \(3y^2 + y^3 + \sqrt{3}\) să fie raționale.
Vezi soluția (după baremul oficial)
a) Din \(x + \sqrt{3} = a \in \mathbb{Q}\) rezultă \(x = a - \sqrt{3}\) și astfel
\[3x^2 + \sqrt{3} = 3(a - \sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = 3a^2 + 9 + \sqrt{3} \cdot (1 - 6a).\] (3 p)
Numărul \(3x^2 + \sqrt{3}\) este rațional dacă și numai dacă \(1 - 6a = 0\) (altfel \(\sqrt{3}\) s-ar scrie ca un raport de numere raționale, deci ar fi rațional — fals), adică \(a = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q}\). (3 p)
Există, așadar, un singur număr real care verifică enunțul, anume \(x = \frac{1}{6} - \sqrt{3}\). (1,5 p) (Verificare: \(x + \sqrt{3} = \frac{1}{6}\) și \(3x^2 + \sqrt{3} = \frac{109}{12}\).)
b) Presupunem că există \(y \in \mathbb{R}\) cu \(y + \sqrt{3} = a \in \mathbb{Q}\) și \(3y^2 + y^3 + \sqrt{3} = b \in \mathbb{Q}\). (3 p)
Deducem că \(y = a - \sqrt{3}\) și, folosind \((a - \sqrt{3})^3 = a^3 - 3\sqrt{3}a^2 + 9a - 3\sqrt{3}\):
\[\begin{aligned} b &= 3(a - \sqrt{3})^2 + (a - \sqrt{3})^3 + \sqrt{3} \ &= 3a^2 + 9 + \sqrt{3}(1 - 6a) + a^3 - 3a^2\sqrt{3} + 9a - 3\sqrt{3} \ &= \underbrace{a^3 + 3a^2 + 9a + 9}_{\in \mathbb{Q}} + \sqrt{3} \cdot (-3a^2 - 6a - 2) \in \mathbb{Q}. \end{aligned}\] (6 p)
Rezultă \(3a^2 + 6a + 2 = 0\), de unde \(a = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{3} \notin \mathbb{Q}\), deci presupunerea este falsă. (6 p)
Problema 2 (Aritmetică · resturi modulo 11 · 22,5 puncte)
Arătați că numărul \(\sqrt{(\overline{xxx} - y)^2 + (\overline{yyy} - x)^2}\) este irațional, oricare ar fi cifrele distincte nenule \(x\) și \(y\).
Gazeta Matematică
Vezi soluția (după baremul oficial)
Notăm \(A = (\overline{xxx} - y)^2 + (\overline{yyy} - x)^2\), număr natural nenul. Radicalul lui este rațional doar dacă \(A\) este pătrat perfect, deci arătăm că \(A\) nu este pătrat perfect.
La împărțirea unui pătrat perfect la 11 se poate obține restul 0, 1, 3, 4, 5 sau 9 (\(*\)) — se verifică pe resturile \(0, 1, \ldots, 10\): pătratele lor dau resturile \(0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1\). (6 p)
Avem \((\overline{xxx} - y)^2 = (111x - y)^2 = (110x + x - y)^2 = (M_{11} + x - y)^2 = M_{11} + (x - y)^2\). (3 p)
Analog, \((\overline{yyy} - x)^2 = M_{11} + (y - x)^2\), deci \(A = M_{11} + 2(x - y)^2\). (3 p)
Din (\(*\)), \((x-y)^2\) dă la împărțirea la 11 unul dintre resturile 0, 1, 3, 4, 5, 9, deci \(2(x-y)^2\) dă unul dintre resturile 0, 2, 6, 8, 10, 7 (\(18 = 11 + 7\)). Așadar \(A \in \{M_{11}, M_{11} + 2, M_{11} + 6, M_{11} + 7, M_{11} + 8, M_{11} + 10\}\). (6 p)
Cum \(x \ne y\) sunt cifre, \(1 \le |x - y| \le 8\), deci 11 nu divide \(x - y\) și nici \((x - y)^2\); rezultă \(A \ne M_{11}\). Prin împărțirea lui \(A\) la 11 se pot obține doar resturile 2, 6, 7, 8 sau 10, iar din (\(*\)) rezultă că \(A\) nu este pătrat perfect. (3 p)
Ca urmare, \(\sqrt{A} = \sqrt{(\overline{xxx} - y)^2 + (\overline{yyy} - x)^2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). (1,5 p)
Problema 3 (Geometrie în spațiu · perpendicularitate · 22,5 puncte)
Fie \(ABCA'B'C'\) o prismă triunghiulară regulată, \(M\), \(N\), \(P\) mijloacele muchiilor \(AB\), \(CC'\), respectiv \(A'C'\) și punctul \(Q\) pe muchia \(BC\), astfel încât \(AB = 18\) cm, \(AA' = 3\sqrt{3}\) cm și \(BQ = 10\) cm.
a) Arătați că \(AB \perp (CMC')\).
b) Arătați că dreptele \(MN\) și \(PQ\) sunt perpendiculare.
Vezi soluția (după baremul oficial)
a) Cum triunghiul \(ABC\) este echilateral și \(M\) este mijlocul lui \(AB\), obținem \(CM \perp AB\). Din \(C'C \perp (ABC)\) și \(AB \subset (ABC)\) deducem \(C'C \perp AB\) și, cum \(CM\) și \(CC'\) sunt drepte concurente din planul \((CMC')\), deducem \(AB \perp (CMC')\). (6 p)
b) Fie \(P'\) mijlocul lui \(B'C'\), \(M'\) mijlocul lui \(A'B'\), \(C'M' \cap PP' = \{S'\}\), \(QQ' \parallel AB\) cu \(Q'\) pe muchia \(AC\) și \(CM \cap QQ' = \{S\}\).
Cum \(PQ \subset (QP'P)\), este suficient să arătăm că \(MN \perp (QP'P)\). (Planul \((QP'P)\) conține și dreapta \(QQ'\), fiindcă \(QQ' \parallel AB \parallel PP'\).) Din \(AB \perp (CMC')\) avem \(AB \perp NM\) și, cum \(QQ' \parallel AB\), obținem \(MN \perp QQ'\). (3 p)
Vom arăta că \(SS' \perp MN\) și, pentru aceasta, că patrulaterul \(MSNS'\) (situat în planul dreptunghiului \(MCC'M'\)) este ortodiagonal. Folosim proprietatea: diagonalele unui patrulater sunt perpendiculare dacă și numai dacă sumele pătratelor laturilor opuse sunt egale. Cum \(NC' = NC\) și \(S'C' = M'S'\) (\(PP'\) este linie mijlocie în triunghiul \(A'B'C'\), deci taie mediana \(C'M'\) la mijloc), cu teorema lui Pitagora avem:
\[\begin{aligned} MS^2 + S'N^2 = SN^2 + MS'^2 &\Leftrightarrow MS^2 + S'C'^2 + C'N^2 = SC^2 + NC^2 + MM'^2 + M'S'^2 \ &\Leftrightarrow MS^2 = SC^2 + MM'^2. \end{aligned}\] (6 p)
Dar \(CM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) cm și, din teorema lui Thales (\(QS \parallel BM\)), \(\frac{MS}{CM} = \frac{BQ}{BC}\), adică \(\frac{MS}{9\sqrt{3}} = \frac{10}{18}\), deci \(MS = 5\sqrt{3}\) cm, de unde \(SC = 4\sqrt{3}\) cm. Cum \(MM' = 3\sqrt{3}\) cm, relația \(MS^2 = SC^2 + MM'^2\) devine \((5\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2\), adică \(75 = 48 + 27\), adevărat. Obținem astfel că patrulaterul \(MSNS'\) este ortodiagonal, deci \(MN \perp SS'\) și, cum \(MN \perp QQ'\) (iar \(SS'\) și \(QQ'\) sunt concurente în \(S\), în planul \((PP'Q)\)), rezultă \(MN \perp (PP'Q)\). (6 p)
Așadar, \(MN \perp PQ\). (1,5 p)
Problema 4 (Geometrie în spațiu · cubul · 22,5 puncte)
Un cub cu latura de lungime \(\ell \in \mathbb{R}\), \(\ell \gt 0\), este împărțit în 297 de cuburi, dintre care unul are latura de lungime \(x\), \(x \ne 1\), iar restul au latura de lungime 1.
a) Arătați că \(\ell \in \mathbb{N}\).
b) Determinați valoarea numărului \(\ell\).
Vezi soluția (după baremul oficial)
a) Cuburile în care este împărțit cubul cu latura \(\ell\) au fețele paralele cu fețele acestuia. Fie \(d\) o dreaptă care intersectează cubul mare, paralelă cu o muchie a cubului, care nu intersectează cubul de latură \(x\). Atunci \(d\) intersectează cubul mare după un segment \(MN = \ell\) și traversează \(a\) cuburi de latură 1, \(a \in \mathbb{N}^*\), deci \(\ell = a \cdot 1 \in \mathbb{N}^*\). (6 p)
b) Considerând o dreaptă \(d'\) paralelă cu o muchie a cubului mare, care intersectează cubul de latură \(x\), obținem \(\ell = x + k \cdot 1\), \(k \in \mathbb{N}\), și de aici \(x = \ell - k\) este întreg pozitiv: \(x \in \mathbb{N}^*\). (3 p)
Cubul de latură \(x\) și cele 296 de cuburi unitate umplu cubul mare. Egalând volumele, obținem \(\ell^3 = x^3 + 296 \Leftrightarrow (\ell - x)(\ell^2 + \ell x + x^2) = 2^3 \cdot 37\), unde \(\ell, x \in \mathbb{N}^*\), \(x \ne 1\). (3 p)
Pentru \(x = 2\) obținem \(\ell^3 = 304\), care nu are soluții naturale, deoarece \(6^3 = 216 \lt 304 \lt 343 = 7^3\); deci \(x \ge 3\). Dacă \(\ell - x \ge 4\), atunci \(296 = \ell^3 - x^3 \ge (x + 4)^3 - x^3 = 12x^2 + 48x + 64 \ge 316 \gt 296\) pentru \(x \ge 3\), deci nu avem soluție. (3 p)
Deci \(\ell - x \mid 2^3 \cdot 37\) și \(\ell - x \le 3\), de unde \(\ell - x \in \{1, 2\}\). Dacă \(\ell - x = 1\): \((x + 1)^3 = x^3 + 296 \Rightarrow 3x^2 + 3x = 295\), care nu are soluții în \(\mathbb{N}\) (membrul stâng se divide cu 3, 295 nu). (3 p)
Dacă \(\ell - x = 2\): \((x + 2)^3 = x^3 + 296 \Leftrightarrow 6x^2 + 12x = 288 \Leftrightarrow x^2 + 2x = 48 \Leftrightarrow (x + 1)^2 = 49\), deci \(x = 6\), de unde \(\ell = 8\). (4,5 p) (Verificare: \(8^3 = 512 = 216 + 296 = 6^3 + 296\).)
Rezultate pe scurt
| Problema | Rezultat / idee-cheie |
|---|
| 1 | a) \(x = \frac{1}{6} - \sqrt{3}\); b) presupunerea duce la \(3a^2 + 6a + 2 = 0\), fără soluții raționale |
| 2 | \(A = M_{11} + 2(x-y)^2\) dă resturile 2, 6, 7, 8, 10 — nu e pătrat perfect |
| 3 | a) \(CM \perp AB\), \(CC' \perp AB\); b) \(MN \perp QQ'\) și \(MN \perp SS'\) |
| 4 | a) \(\ell \in \mathbb{N}^*\); b) \(\ell = 8\) (cubul mic are \(x = 6\)) |
Întrebări frecvente
Când a avut loc etapa județeană a Olimpiadei de matematică 2026? Etapa județeană (a sectoarelor municipiului București) a ONM 2026 a avut loc sâmbătă, 7 martie 2026, cu aceleași subiecte în toată țara, elaborate de comisia centrală a olimpiadei.
Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană? Timpul de lucru este de 3 ore. Subiectul are 4 probleme, fiecare notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Corectarea se face după barem, cu punctaje parțiale pentru fiecare pas al soluției.
Câte puncte trebuie pentru calificarea la etapa națională? Regulamentul ONM 2026 cere minimum 60 de puncte la etapa județeană. Se califică primul clasat din fiecare județ/sector, iar locurile suplimentare (cel mult 43 pe clasă) se dau în ordinea descrescătoare a punctajelor din clasamentul național.
Alte subiecte de olimpiadă
Olimpiada de matematică 2026, etapa județeană: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VII-a. Toate subiectele: Olimpiada de matematică — subiecte rezolvate. Pentru exersare: fișe de lucru și formule clasa a 8-a.
Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa județeană). Explicațiile soluțiilor și figurile: Matepenet.ro.