Olimpiada de matematică 2023 județeană, clasa a VII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VII-a?

Patru probleme: o ecuație cu partea întreagă și partea fracționară, numere întregi cu a + b + c = 2d și √(ab) + √(bc) + √(ca) = d², o problemă cu un pătrat și mijlocul unei laturi (triunghiuri congruente, linii mijlocii) și un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30^ în care se arată că AC = 4 · DP.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2023?

La clasa a VII-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, plus 30 de minute pentru întrebări. Conform subiectelor oficiale din 2023, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2023?

Subiectele și soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs și preluate de presa de educație (linkurile sunt la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa județeană, clasa a VII-a (sâmbătă, 11 martie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: perechile sunt $(6, \frac{13}{4})$ și $(5, 4)$ ; la problema 2 soluțiile sunt $(0, 0, 0, 0)$ , permutările lui $(1, 1, 0)$ cu $d = 1$ și ale lui $(- 1, - 1, 0)$ cu $d = - 1$ ; problemele 3 și 4 sunt de geometrie (pătrat, triunghi cu unghi de $30^{\circ}$ ).

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 11 martie 2023, toți elevii de clasa a VII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore, la care se adaugă 30 de minute pentru întrebări. Conform subiectului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Determinați toate perechile $(x, y)$ de numere reale care verifică relația

3 \cdot {\frac{3 x + 2}{3}} + 4 \cdot [\frac{4 y + 3}{4}] = 4 \cdot {\frac{4 y + 3}{4}} + 3 \cdot [\frac{3 x + 2}{3}] = 18.

Notațiile ${a}$ și $[a]$ reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului real $a$ . (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm $a = \frac{3 x + 2}{3}$ și $b = \frac{4 y + 3}{4}$ . Relația înseamnă $3 {a} + 4 [b] = 18$ și $4 {b} + 3 [a] = 18$ .

Deoarece $0 \leq {a} < 1$ și $[b]$ este număr întreg, $3 {a} = 18 - 4 [b]$ este un număr întreg din intervalul $[0, 3)$ , de forma $18 - 4 [b]$ ; singura valoare posibilă este 2. Deci egalitatea $3 {a} + 4 [b] = 18$ are loc doar pentru ${a} = \frac{2}{3}$ și $[b] = 4$ . (2 p)
Analog, $4 {b} = 18 - 3 [a]$ este un număr întreg din $[0, 4)$ de forma $18 - 3 [a]$ , deci 0 sau 3. Egalitatea $4 {b} + 3 [a] = 18$ are loc doar în cazurile ${b} = 0$ , $[a] = 6$ (I) sau ${b} = \frac{3}{4}$ , $[a] = 5$ (II). (3 p)
În cazul (I) obținem $\frac{3 x + 2}{3}$ $= 6 + \frac{2}{3}$ și $\frac{4 y + 3}{4} = 4$ , deci $x = 6$ , $y = \frac{13}{4}$ . În cazul (II) obținem $\frac{3 x + 2}{3}$ $= 5 + \frac{2}{3}$ și $\frac{4 y + 3}{4}$ $= 4 + \frac{3}{4}$ , deci $x = 5$ , $y = 4$ . Perechile sunt $(6, \frac{13}{4})$ și $(5, 4)$ . (2 p)

Verificare: pentru $(5, 4)$ : $a = \frac{17}{3}$ , $b = \frac{19}{4}$ ; $3 \cdot \frac{2}{3} + 4 \cdot 4$ $= 18$ și $4 \cdot \frac{3}{4} + 3 \cdot 5$ $= 18$ ✓.

Răspuns: $(x, y) \in {(6, \frac{13}{4}), (5, 4)}$ .

Problema 2 (7 puncte · radicali, inegalități, numere întregi)

Determinați numerele întregi $a$ , $b$ , $c$ , $d$ care îndeplinesc simultan condițiile $a + b + c = 2 d$ și $\sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{c a}$ $= d^{2}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: radicalii trebuie să aibă sens, deci produsele $a b$ , $b c$ , $c a$ sunt nenegative: numerele $a, b, c$ sunt toate $\geq 0$ sau toate $\leq 0$ . Condițiile sunt simetrice în $a, b, c$ , deci putem presupune că sunt ordonate.

Dacă $a \geq b \geq c \geq 0$ , atunci $2 d = a + b + c \geq 0$ , deci $d \geq 0$ . Avem $\sqrt{a b} \leq a$ , $\sqrt{a c} \leq a$ , $\sqrt{b c} \leq b$ , deci $d^{2}$ $= \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}$ $\leq a + a + b$ $\leq 2 a + 2 b + 2 c$ $= 4 d$ , cel puțin una dintre inegalități fiind strictă când numerele nu sunt toate 0. Din $d^{2} \leq 4 d$ rezultă $d \in {0, 1, 2, 3, 4}$ , iar $d = 4$ ar cere egalitate peste tot; de aici $d \in {0, 1, 2, 3}$ . (2 p)
Cazul I: $d = 0$ . Atunci $a + b + c = 0$ cu numere nenegative, deci $a = b = c = 0$ . (1 p)
Cazul II: $d = 1$ . Atunci $a + b + c = 2$ și $\sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{c a}$ $= 1$ : tripletul $(2, 0, 0)$ dă suma radicalilor 0, iar $(1, 1, 0)$ dă 1. Deci $a = b = 1$ , $c = 0$ . (1 p)
Cazul III: $d \in {2, 3}$ . Pentru $d = 2$ ( $a + b + c = 4$ , trebuie suma radicalilor 4) avem posibilitățile $(2, 1, 1)$ , $(2, 2, 0)$ , $(3, 1, 0)$ , $(4, 0, 0)$ , iar pentru $d = 3$ ( $a + b + c = 6$ , trebuie suma 9) avem $(3, 2, 1)$ , $(3, 3, 0)$ , $(4, 2, 0)$ , $(4, 1, 1)$ , $(5, 1, 0)$ , $(6, 0, 0)$ și $(2, 2, 2)$ . Sumele radicalilor sunt $2 \sqrt{2} + 1$ , 2, $\sqrt{3}$ , 0, respectiv $\sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$ , 3, $2 \sqrt{2}$ , 5, $\sqrt{5}$ , 0, 6 — niciuna nu convine. (1 p)
Dacă cel puțin unul dintre numere este negativ, atunci (pentru ca produsele să fie nenegative) toate sunt mai mici sau egale cu 0, iar $- a, - b, - c, - d$ verifică egalitățile din enunț (suma își schimbă semnul, radicalii și $d^{2}$ rămân la fel). Ne întoarcem astfel la cazurile de mai sus, cu $d \neq 0$ . (1 p)
Obținem soluțiile $(a, b, c)$ : $(0, 0, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ , $(0, - 1, - 1)$ , $(- 1, 0, - 1)$ , $(- 1, - 1, 0)$ , cu $d = \frac{a + b + c}{2}$ , adică $d = 0$ , $d = 1$ , respectiv $d = - 1$ . (1 p)

Notă: în lista din baremul oficial pentru $d = 3$ lipsește tripletul $(2, 2, 2)$ ; el dă suma radicalilor $6 \neq 9$ , deci rezultatul final nu se schimbă.

Răspuns: $(a, b, c, d)$ poate fi: $(0, 0, 0, 0)$ , $(1, 1, 0, 1)$ , $(1, 0, 1, 1)$ , $(0, 1, 1, 1)$ , $(- 1, - 1, 0, - 1)$ , $(- 1, 0, - 1, - 1)$ , $(0, - 1, - 1, - 1)$ .

Problema 3 (7 puncte · pătratul, linia mijlocie, triunghiuri congruente)

Se consideră un pătrat $A B C D$ și se notează cu $M$ mijlocul laturii $C D$ . Perpendiculara din $C$ pe $B M$ intersectează dreptele $B M$ și $A B$ în punctele $N$ , respectiv $E$ . Dreapta $B M$ intersectează dreapta $A D$ în $P$ , iar mijlocul segmentului $B N$ se notează cu $F$ . Arătați că:

a) triunghiurile $C B E$ și $B A P$ sunt congruente;

b) segmentele $A N$ și $D F$ sunt congruente și perpendiculare.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Avem $C B = B A$ (laturi ale pătratului) și $∠ C E B = ∠ B P A$ , fiindcă fiecare este complementul unghiului $∠ E B P$ (în triunghiul dreptunghic $E B N$ , respectiv $P A B$ ). Deci triunghiurile dreptunghice $C B E$ și $B A P$ (cu unghiurile drepte în $B$ , respectiv $A$ ) sunt congruente (cateta și unghiul ascuțit opus). (3 p)

În triunghiul dreptunghic $A P B$ , $D M ∥ A B$ și $D M = \frac{1}{2} A B$ , deci $D M$ este linie mijlocie: $D$ este mijlocul lui $A P$ și $A P = 2 A B$ . Din a), $B E = A P = 2 A B$ , deci $A$ este mijlocul lui $B E$ (în barem: $D M$ și $A T$ sunt linii mijlocii în triunghiurile $A P B$ și $B E C$ , unde $T$ este intersecția dreptelor $E C$ și $A P$ ). În triunghiul $B N E$ , $A F$ unește mijloacele laturilor $B E$ și $B N$ , deci $A F ∥ N E$ , de unde $A F ⊥ B P$ . (1 p)
$F D$ și $A N$ sunt mediane corespunzătoare ipotenuzelor în triunghiurile dreptunghice $A F P$ și $B N E$ , deci $F D$ $= \frac{1}{2} A P$ $= \frac{1}{2} B E$ $= A N$ . (1 p)
$B N = A F$ , deoarece sunt înălțimile corespunzătoare ipotenuzelor în triunghiurile congruente $C B E$ și $B A P$ . Așadar triunghiurile $A D F$ și $B A N$ au $A D = B A$ , $D F = A N$ , $A F = B N$ , deci $△ A D F \equiv △ B A N$ (LLL). (1 p)
Din congruență, $∠ F D A = ∠ N A B$ . Atunci $∠ F D A + ∠ N A D$ $= ∠ N A B + ∠ N A D$ $= 90^{\circ}$ , deci în triunghiul format de dreptele $D F$ , $A N$ și $A D$ al treilea unghi este drept: $A N ⊥ D F$ . (1 p)

Problema 4 (7 puncte · triunghiul dreptunghic cu unghi de 30°, linia mijlocie)

Fie triunghiul $A B C$ care are $∠ A B C = 90^{\circ}$ și $∠ B C A = 30^{\circ}$ . Fie $A D$ bisectoarea unghiului $∠ B A C$ , $D \in B C$ , și $B E ⊥ A C$ , $E \in A C$ . Notăm cu $M$ intersecția dreptelor $A D$ și $B E$ , iar cu $P$ mijlocul lui $C M$ . Arătați că $A C = 4 \cdot D P$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Din teorema unghiului de $30^{\circ}$ avem $A C = 2 A B$ . (1 p)
$∠ B A C = 60^{\circ}$ , deci $∠ C A D$ $= 30^{\circ}$ $= ∠ A C D$ : triunghiul $A D C$ este isoscel, cu $D A = D C$ . (1 p)
$∠ A D B$ $= ∠ D A C + ∠ D C A$ $= 60^{\circ}$ (unghi exterior triunghiului $A D C$ ) și $∠ M B D$ $= ∠ E B C$ $= 90^{\circ} - 30^{\circ}$ $= 60^{\circ}$ , deci triunghiul $M B D$ este echilateral. Rezultă $M B = B D = M D$ . În triunghiul dreptunghic $A B D$ , $∠ B A D = 30^{\circ}$ , deci $B D = \frac{1}{2} A D$ . Așadar $M D = \frac{1}{2} A D$ , adică $M$ este mijlocul lui $A D$ . (2 p)
Notăm cu $S$ simetricul lui $D$ față de $B$ . $A B$ este și înălțime, și mediană în triunghiul $A D S$ , deci $A S = A D$ ; cum $∠ A D S = 60^{\circ}$ , triunghiul $A D S$ este echilateral. Reiese $D S = A D = C D$ , deci $D$ este mijlocul lui $S C$ , iar $D P$ este linie mijlocie în triunghiul $C S M$ : $D P = \frac{1}{2} M S$ . Cum $A B = S M$ (mediane în triunghiul echilateral $A D S$ ), rezultă $D P$ $= \frac{1}{2} M S$ $= \frac{1}{2} A B$ $= \frac{1}{4} A C$ , adică $A C = 4 \cdot D P$ . (3 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$(x, y) \in {(6, \frac{13}{4}), (5, 4)}$
2	$(a, b, c)$ = $(0, 0, 0)$ cu $d = 0$ ; permutările lui $(1, 1, 0)$ cu $d = 1$ ; permutările lui $(- 1, - 1, 0)$ cu $d = - 1$
3	demonstrații: $△ C B E \equiv △ B A P$ ; $△ A D F \equiv △ B A N$ , deci $A N = D F$ și $A N ⊥ D F$
4	demonstrație: $M$ este mijlocul lui $A D$ , $D P = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{4} A C$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Partea întreagă și partea fracționară	fișă mulțimea numerelor reale
2	Radicali, inegalități, analiză pe cazuri	fișă radicali · fișă operații cu numere reale
3	Pătratul, linia mijlocie, mediana în triunghiul dreptunghic, congruență	fișă patrulatere · fișă linia mijlocie
4	Teorema unghiului de $30^{\circ}$ , triunghiul echilateral, linia mijlocie	fișă relații metrice · fișă linia mijlocie

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VII-a? Patru probleme: o ecuație cu partea întreagă și partea fracționară, numere întregi cu $a + b + c = 2 d$ și $\sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{c a} = d^{2}$ , o problemă cu un pătrat și mijlocul unei laturi (triunghiuri congruente, linii mijlocii) și un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ}$ în care se arată că $A C = 4 \cdot D P$ .

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2023? La clasa a VII-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, plus 30 de minute pentru întrebări. Conform subiectelor oficiale din 2023, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2023? Subiectele și soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs și preluate de presa de educație (linkurile sunt la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa județeană 2023: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a. Subiectele mai noi: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VII-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană, 11 martie 2023): subiectul și soluțiile și baremul, copii publicate de edupedu.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Problema 2 (7 puncte · radicali, inegalități, numere întregi)

Problema 3 (7 puncte · pătratul, linia mijlocie, triunghiuri congruente)

Problema 4 (7 puncte · triunghiul dreptunghic cu unghi de 30°, linia mijlocie)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe