Olimpiada de matematică 2022 județeană, clasa a XII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a XII-a?

Patru probleme: mulțimea M_a = \x a x² a = e\ într-un monoid (din Gazeta Matematică), un subgrup H cu x² = y² pentru orice x, y H, integrala I_n = ∈t_0^π x 2x ·s nx dx și o teoremă de medie pentru funcții strict monotone.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022?

La clasa a XII-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme (la clasele V–VI, 2 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022, la liceu?

Soluțiile cu baremul de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2022, etapa județeană, clasa a XII-a (sâmbătă, 26 martie 2022), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: problemele 1 și 2 sunt de structuri algebrice (monoizi, grupuri); la problema 3, $I_{n} = 0$ exact când $n \equiv 1$ sau $2 (\mod 4)$ ; problema 4 este o teoremă de medie pentru funcții strict monotone, demonstrată cu proprietatea lui Darboux.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 26 martie 2022, toți elevii de clasa a XII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate s-au calificat la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · monoizi, elemente inversabile)

Fie $e$ elementul neutru al monoidului $(M, \cdot)$ și $a \in M$ un element inversabil. Arătați că:

a) Mulțimea $M_{a}$ $= {x \in M ∣ a x^{2} a = e}$ este nevidă;
b) Dacă $b \in M_{a}$ este inversabil, atunci $b^{- 1} \in M_{a}$ dacă și numai dacă $a^{4} = e$ ;
c) Dacă $(M_{a}, \cdot)$ este monoid, atunci $x^{2} = e$ , pentru orice $x \in M_{a}$ .

Gazeta Matematică

Vezi soluția (după baremul oficial)

Deoarece $a$ este un element inversabil, avem că $M_{a}$ $= {x \in M ∣ x^{2} = (a^{- 1})^{2}}$ (din $a x^{2} a = e$ se înmulțește la stânga și la dreapta cu $a^{- 1}$ ).

a) Elementul $a^{- 1}$ are proprietatea că $(a^{- 1})^{2} = (a^{- 1})^{2}$ , deci $a^{- 1} \in M_{a}$ și $M_{a} \neq \emptyset$ . (2 p)

b) Fie $b \in M_{a}$ un element inversabil (deci $b^{2}$ $= (a^{- 1})^{2}$ $= (a^{2})^{- 1}$ ). Atunci

\begin{aligned} b^{- 1} \in M_{a} & ⟺ (b^{- 1})^{2} = (a^{- 1})^{2} \\ ⟺ (b^{2})^{- 1} = (a^{2})^{- 1} \\ ⟺ ((a^{2})^{- 1})^{- 1} = (a^{2})^{- 1} \\ ⟺ a^{2} = (a^{2})^{- 1} ⟺ a^{4} = e . \end{aligned}

(2 p)

c) Fie $u \in M_{a}$ elementul neutru al monoidului $M_{a}$ . Atunci $a^{- 2} = u^{2} = u \in M_{a}$ , astfel că $a^{- 4}$ $= (a^{- 2})^{2}$ $= a^{- 2}$ . Rezultă că $a^{- 2} = e$ și $M_{a}$ $= {x \in M ∣ x^{2} = e}$ , adică $x^{2} = e$ pentru orice $x \in M_{a}$ . (3 p)

Problema 2 (7 puncte · grupuri, subgrupuri, comutativitate)

Fie $(G, \cdot)$ un grup și $H \neq G$ un subgrup cu proprietatea că $x^{2} = y^{2}$ , pentru orice $x, y \in G ∖ H$ . Demonstrați că $(H, \cdot)$ este grup comutativ.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Pentru $x \in G ∖ H$ și $h \in H$ oarecare avem că $h^{- 1} x \in G ∖ H$ (altfel $x = h \cdot h^{- 1} x \in H$ ), astfel că $x^{2} = (h^{- 1} x)^{2}$ , sau, echivalent, $h = x h^{- 1} x^{- 1}$ . (4 p)

(Într-adevăr, $x \cdot x$ $= h^{- 1} x \cdot h^{- 1} x$ dă, prin simplificare la dreapta cu $x$ , $x = h^{- 1} x h^{- 1}$ , deci $h x = x h^{- 1}$ , adică $h = x h^{- 1} x^{- 1}$ .)

Atunci, pentru $x \in G ∖ H$ oarecare fixat și orice $h_{1}, h_{2} \in H$ , avem:

\begin{aligned} h_{1} h_{2} & = x (h_{1} h_{2})^{- 1} x^{- 1} = x h_{2}^{- 1} h_{1}^{- 1} x^{- 1} \\ = x h_{2}^{- 1} x^{- 1} \cdot x h_{1}^{- 1} x^{- 1} = h_{2} h_{1} . \end{aligned}

Grupul $(H, \cdot)$ este deci comutativ. (3 p)

Problema 3 (7 puncte · integrale trigonometrice, paritate)

Pentru orice $n \in N^{*}$ definim

I_{n} = \int_{0}^{π} \cos (x) \cdot \cos (2 x) \cdot \dots \cdot \cos (n x) d x .

Să se determine valorile lui $n$ pentru care $I_{n} = 0$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Prin inducție după $n \in N^{*}$ (folosind $\cos u \cos v$ $= \frac{1}{2} [\cos (u + v) + \cos (u - v)]$ ) avem că

\begin{aligned} \cos (x) \cdot \cos (2 x) \cdot \dots \cdot \cos (n x) \\ = \frac{1}{2^{n - 1}} \sum \cos (x \pm 2 x \pm \dots \pm n x), \end{aligned}

pentru orice $x \in R$ , $n \in N^{*}$ , suma efectuându-se după toate alegerile semnelor $\pm$ . (2 p)

Atunci

\begin{aligned} I_{n} & = \frac{1}{2^{n - 1}} \sum \int_{0}^{π} \cos (x \cdot (1 \pm 2 \pm \dots \pm n)) d x \\ = \frac{k_{n}}{2^{n - 1}} \cdot π, \end{aligned}

unde $k_{n}$ este numărul sumelor $1 \pm 2 \pm \dots \pm n$ egale cu 0 (pentru un întreg $s \neq 0$ , $\int_{0}^{π} \cos (s x) d x$ $= 0$ , iar pentru $s = 0$ integrala este $π$ ). (3 p)

Prin urmare, $I_{n} = 0 ⟺ k_{n} = 0$ .

Orice sumă $1 \pm 2 \pm \dots \pm n$ are aceeași paritate ca $1 + 2 + \dots + n$ $= \frac{n (n + 1)}{2}$ . Dacă $n \equiv 1 (\mod 4)$ sau $n \equiv 2 (\mod 4)$ , aceasta este impară, și deci $k_{n} = 0$ .

Pentru $n \equiv 3 (\mod 4)$ avem

(1 + 2 - 3) + (4 - 5 - 6 + 7) + \dots + ((n - 3) - (n - 2) - (n - 1) + n) = 0,

astfel că $k_{n} \geq 1$ .

Pentru $n \equiv 0 (\mod 4)$ avem

(1 - 2 - 3 + 4) + (5 - 6 - 7 + 8) + \dots + ((n - 3) - (n - 2) - (n - 1) + n) = 0,

astfel că $k_{n} \geq 1$ . (1 p)

Mulțimea $S$ a numerelor căutate este deci

S = 4 N + {1, 2},

adică $I_{n} = 0$ exact pentru $n \equiv 1$ sau $n \equiv 2 (\mod 4)$ ( $n$ $= 1, 2, 5, 6, 9, 10, \dots$ ). (1 p)

Problema 4 (7 puncte · integrala definită, funcții monotone, valori intermediare)

Fie $I \subseteq R$ un interval deschis și $f : I \to R$ o funcție strict monotonă. Demonstrați că pentru orice $c \in I$ există $a, b \in I$ astfel încât $c \in (a, b)$ și

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) \cdot (b - a) .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că funcția $f$ este strict crescătoare (în caz contrar putem înlocui $f$ cu $f_{1} = - f$ ).

Egalitatea $\int_{a}^{b} f (x) d x$ $= f (c) \cdot (b - a)$ se transcrie echivalent

\begin{aligned} \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = f (c) \cdot (b - c + c - a) \\ ⟺ \int_{c}^{b} (f (x) - f (c)) d x \\ = \int_{a}^{c} (f (c) - f (x)) d x . \end{aligned}

(2 p)

Pentru $c \in I$ oarecare fixat considerăm funcțiile

g : (- \infty, c] \cap I \to R, g (t) = \int_{t}^{c} (f (c) - f (x)) d x,

respectiv

h : [c, \infty) \cap I \to R, h (t) = \int_{c}^{t} (f (x) - f (c)) d x .

Aceste funcții sunt continue și, datorită monotoniei funcției $f$ , $Im (g), Im (h) \subseteq [0, \infty)$ . (2 p)

Deoarece intervalul $I$ este deschis, există $r > 0$ astfel încât $[c - r, c + r] \subseteq I$ . Atunci $g ([c - r, c])$ $= [0, g (c - r)]$ și $h ([c, c + r])$ $= [0, h (c + r)]$ ( $g$ este strict descrescătoare, $h$ strict crescătoare, $g (c) = h (c) = 0$ ). (1 p)

Ca funcții continue, $g$ și $h$ au proprietatea valorilor intermediare (proprietatea lui Darboux), deci pentru un număr oarecare $λ$ cu proprietatea că $0$ $< λ$ $< min (g (c - r), h (c + r))$ există $a \in (c - r, c)$ și $b \in (c, c + r)$ astfel încât $g (a) = λ = h (b)$ , ceea ce demonstrează afirmația enunțată. (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $a^{- 1} \in M_{a}$ ; b) $b^{- 1} \in M_{a} ⟺ a^{4} = e$ ; c) $a^{- 2} = e$ , deci $x^{2} = e$
2	demonstrație: $h = x h^{- 1} x^{- 1}$ pentru $x \notin H$ , $h \in H$
3	$n \in 4 N + {1, 2}$ , adică $n \equiv 1$ sau $2 (\mod 4)$
4	demonstrație cu funcțiile $g$ , $h$ continue și proprietatea lui Darboux

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Monoizi, elemente inversabile
2	Grupuri, subgrupuri, grupuri comutative
3	Integrale definite, formule trigonometrice, paritate
4	Integrala definită, funcții monotone, proprietatea valorilor intermediare

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a XII-a? Patru probleme: mulțimea $M_{a} = {x ∣ a x^{2} a = e}$ într-un monoid (din Gazeta Matematică), un subgrup $H$ cu $x^{2} = y^{2}$ pentru orice $x, y \notin H$ , integrala $I_{n} = \int_{0}^{π} \cos x \cos 2 x \dots \cos n x d x$ și o teoremă de medie pentru funcții strict monotone.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022? La clasa a XII-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme (la clasele V–VI, 2 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022, la liceu? Soluțiile cu baremul de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa județeană 2022, alte clase de liceu: clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XI-a. Aceeași clasă, anul cel mai recent: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a XII-a. Alte competiții de matematică găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 26 martie 2022): soluțiile și baremele oficiale, cu enunțurile problemelor, publicate de SSMR pe ssmr.ro. Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2022, etapa județeană — clasa a XII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · monoizi, elemente inversabile)

Problema 2 (7 puncte · grupuri, subgrupuri, comutativitate)

Problema 3 (7 puncte · integrale trigonometrice, paritate)

Problema 4 (7 puncte · integrala definită, funcții monotone, valori intermediare)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe