Formule matematică clasa a 7-a — pe capitole

Q: Cât este \( \sqrt{a^2} \)?

Este |a| , nu simplu a . De exemplu √((-3)²)= 9=3=|-3| .

Clasa a 7-a este anul în care apar radicalii și numerele reale, ecuațiile și sistemele liniare, iar în geometrie patrulaterele, cercul, asemănarea (teorema lui Thales) și relațiile metrice în triunghiul dreptunghic (teorema lui Pitagora). Mai jos ai pe fiecare capitol formulele de bază, cu linkuri spre paginile cu explicații și exemple rezolvate.

Capitolele sunt cele din programa de gimnaziu din 2017 (OMEN 3393/2017), în vigoare și în 2026–2027. Geometria din clasa a 7-a are o pondere mare la Evaluarea Națională.

1. Mulțimea numerelor reale

Radicalul unui număr nenegativ \( a \) este numărul nenegativ care ridicat la pătrat dă \( a \). Numerele care nu pot fi scrise ca fracție (\( \sqrt 2 \), \( \pi \)) sunt iraționale; împreună cu cele raționale formează mulțimea \( \mathbb R \).

\( \sqrt{a^2}=|a| \); \( \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b \); \( \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b} \) (\( a\ge 0,\ b\gt 0 \)).
Scoaterea și introducerea factorilor: \( \sqrt{a^2 b}=a\sqrt b \) (\( a,b\ge 0 \)); de exemplu \( \sqrt{50}=5\sqrt 2 \).
Raționalizarea numitorului: \( \dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b} \).
Ecuația \( x^2=a \): pentru \( a\gt 0 \), \( x=\pm\sqrt a \); pentru \( a=0 \), \( x=0 \); pentru \( a\lt 0 \) nu are soluții reale.
Media geometrică: \( m_g=\sqrt{a\cdot b} \); media ponderată: \( m_p=\dfrac{a_1p_1+a_2p_2+\dots+a_np_n}{p_1+p_2+\dots+p_n} \).

→ detalii: radicali, media geometrică, media ponderată. Calculator: media ponderată.

2. Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Rezolvi ecuații de gradul I și sisteme de două ecuații cu două necunoscute prin substituție sau prin reducere, apoi le folosești în probleme.

\( ax+b=0 \), \( a\ne 0 \): \( x=-\dfrac{b}{a} \).
Metoda substituției: scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.
Metoda reducerii: înmulțești ecuațiile astfel încât, adunându-le, o necunoscută să dispară. Exemplu: \( x+y=7,\ x-y=1 \Rightarrow 2x=8,\ x=4,\ y=3 \).

→ detalii: ecuația de gradul I, sisteme de ecuații. Originea cuvântului „algebră”: al-Khwarizmi.

3. Elemente de organizare a datelor

Reprezinți puncte într-un sistem de axe ortogonale și calculezi distanța dintre ele.

Produsul cartezian: \( A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\} \).
Distanța dintre \( A(x_A,y_A) \) și \( B(x_B,y_B) \): \( AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \).

→ detalii: coordonatele unui punct. Sistemul de axe poartă numele lui René Descartes.

4. Patrulaterul

Suma unghiurilor unui patrulater convex este \( 360^\circ \). Studiezi paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul și trapezul, cu proprietățile și ariile lor.

Paralelogram: \( A=b\cdot h \); dreptunghi: \( A=L\cdot \ell \); pătrat: \( A=\ell^2 \), diagonala \( d=\ell\sqrt 2 \).
Romb: \( A=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2} \); trapez: \( A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2} \).
Triunghi: \( A=\dfrac{b\cdot h}{2} \); triunghi dreptunghic: \( A=\dfrac{c_1\cdot c_2}{2} \).
Linia mijlocie în triunghi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea; în trapez: \( \dfrac{B+b}{2} \).
Centrul de greutate \( G \) se află pe fiecare mediană la \( \dfrac{2}{3} \) de vârf și \( \dfrac{1}{3} \) de bază.

→ detalii: patrulatere, arii figuri plane, aria triunghiului.

5. Cercul

Unghiul înscris, coardele, tangentele și poligoanele regulate înscrise; la final calculezi lungimea cercului și aria discului.

Unghiul la centru are măsura arcului cuprins; unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins.
Lungimea cercului: \( L=2\pi r \); aria discului: \( A=\pi r^2 \).
Latura poligoanelor regulate înscrise într-un cerc de rază \( R \): \( \ell_3=R\sqrt 3 \), \( \ell_4=R\sqrt 2 \), \( \ell_6=R \).
Unghiul unui poligon regulat cu \( n \) laturi: \( \dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} \).

→ detalii: cercul — lungime și arie. Primul care a încadrat numărul \( \pi \): Arhimede.

6. Asemănarea triunghiurilor

O paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale și formează un triunghi asemenea cu cel inițial.

Teorema lui Thales: dacă \( MN\parallel BC \), \( M\in AB \), \( N\in AC \), atunci \( \dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC} \).
Teorema fundamentală a asemănării: \( \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC} \).
Criterii de asemănare: UU, LUL, LLL.
Dacă raportul de asemănare este \( k \), raportul ariilor este \( k^2 \).

→ detalii: teorema lui Thales și asemănarea. Biografie: Thales din Milet.

7. Relații metrice în triunghiul dreptunghic

În triunghiul \( ABC \) cu \( \hat A=90^\circ \) și înălțimea \( AD \), laturile și proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt legate prin trei teoreme. Tot aici apar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit.

Teorema lui Pitagora: \( BC^2=AB^2+AC^2 \).
Teorema înălțimii: \( AD^2=BD\cdot DC \); înălțimea: \( AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC} \).
Teorema catetei: \( AB^2=BD\cdot BC \), \( AC^2=DC\cdot BC \).
\( \sin B=\dfrac{AC}{BC} \), \( \cos B=\dfrac{AB}{BC} \), \( \operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{AB} \), \( \operatorname{ctg} B=\dfrac{AB}{AC} \).
Triunghi echilateral de latură \( \ell \): \( h=\dfrac{\ell\sqrt 3}{2} \), \( A=\dfrac{\ell^2\sqrt 3}{4} \); hexagon regulat: \( A=\dfrac{3\ell^2\sqrt 3}{2} \).

→ detalii: teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și a catetei, tabel trigonometric. Biografie: Pitagora.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — radicali. \( \sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=2\sqrt 3+3\sqrt 3-4\sqrt 3=\sqrt 3 \).

Exemplul 2 — raționalizare. \( \dfrac{6}{\sqrt 3}=\dfrac{6\sqrt 3}{3}=2\sqrt 3 \).

Exemplul 3 — relații metrice. Triunghiul \( ABC \) are \( \hat A=90^\circ \), \( AB=6 \) cm și \( AC=8 \) cm. Din teorema lui Pitagora \( BC=\sqrt{36+64}=10 \) cm. Înălțimea este \( AD=\dfrac{6\cdot 8}{10}=4{,}8 \) cm, iar din teorema catetei \( BD=\dfrac{AB^2}{BC}=3{,}6 \) cm și \( DC=6{,}4 \) cm. Verificare cu teorema înălțimii: \( 3{,}6\cdot 6{,}4=23{,}04=4{,}8^2 \).

Exemplul 4 — teorema lui Thales. \( MN\parallel BC \), \( AM=4 \) cm, \( MB=6 \) cm, \( AN=6 \) cm. Din \( \dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC} \) rezultă \( \dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{NC} \), deci \( NC=9 \) cm.

Exemplul 5 — cercul. Un cerc cu raza de 5 cm are lungimea \( L=10\pi \) cm, iar discul are aria \( A=25\pi\ \text{cm}^2 \).

Greșeli frecvente

\( \sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b \): \( \sqrt{9+16}=5 \), nu \( 3+4=7 \).
Teorema lui Pitagora se aplică doar în triunghiul dreptunghic, iar ipotenuza este latura cea mai lungă, opusă unghiului drept.
Dacă două triunghiuri sunt asemenea cu raportul \( k \), ariile lor sunt în raportul \( k^2 \), nu \( k \).
Unghiul înscris are jumătate din arcul cuprins, nu cât arcul (aceea este proprietatea unghiului la centru).

Ce intră la examen

Nu există examen național în clasa a 7-a, dar materia ei este coloana vertebrală a Evaluării Naționale: radicalii apar la subiectul I, iar teorema lui Pitagora, asemănarea și ariile patrulaterelor sunt folosite la aproape fiecare problemă de geometrie de la subiectul al III-lea.

Întrebări frecvente

Care sunt cele mai importante formule din clasa a 7-a? Regulile cu radicali și raționalizarea, rezolvarea sistemelor liniare, ariile patrulaterelor și triunghiului, lungimea cercului și aria discului, teorema lui Thales, teorema lui Pitagora, teorema înălțimii, teorema catetei și definițiile lui sin, cos, tg, ctg în triunghiul dreptunghic.

Când folosesc teorema lui Pitagora și când teorema înălțimii? Pitagora leagă cele trei laturi ale triunghiului dreptunghic. Teorema înălțimii și cea a catetei intră în joc când în problemă apare înălțimea pe ipotenuză și proiecțiile catetelor (segmentele \( BD \) și \( DC \)).

Cât este \( \sqrt{a^2} \)? Este \( |a| \), nu simplu \( a \). De exemplu \( \sqrt{(-3)^2}=\sqrt 9=3=|-3| \).