Olimpiada de matematică 2023 națională, clasa a VIII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a VIII-a?

Patru probleme: o inegalitate cu a + b + c = 3, ecuația x√(3 - y²) + y√(3 - x²) = 3 (soluții reale și raționale), numerele „interesante” scrise cu părți întregi și o problemă de geometrie în spațiu despre un tetraedru.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la etapa națională a olimpiadei de matematică 2023?

Subiectul are 4 probleme. Timpul de lucru a fost de 2 ore la clasele V–VI și de 4 ore la clasele VII–VIII. Fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28; se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa națională, clasa a VIII-a (11 aprilie 2023, Brașov), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: inegalitatea $a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a \geq 6$ rezultă din $b + a^{2} b \geq 2 a b$ și analoagele; ecuația cu radicali are o infinitate de soluții reale, dar niciuna rațională; numerele interesante sunt toate numerele naturale $n \geq 7$ ; la tetraedru se folosește teorema lui Menelaus.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională participă elevii calificați după etapa județeană. În 2023, etapa națională pentru clasele V–VI s-a desfășurat la Slobozia, între 10 și 13 aprilie, iar pentru clasele VII–VIII în județul Brașov, între 10 și 14 aprilie. Proba scrisă pentru clasa a VIII-a a avut loc marți, 11 aprilie 2023, la Brașov (proba s-a dat la Cheile Grădiștei): 4 probleme, timp de lucru 4 ore (conform regulamentului olimpiadei din acel an). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte (fără puncte din oficiu).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · inegalități, inegalitatea mediilor)

Se consideră numerele reale pozitive $a, b, c$ , astfel încât $a + b + c = 3$ . Demonstrați că $a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$ $\geq 6$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Soluția 1.

Adunând $2 a b + 2 b c + 2 c a$ în ambii membri, inegalitatea din enunț este echivalentă cu $(a + b + c)^{2} + a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$ $\geq 6 + 2 a b + 2 b c + 2 c a$ , deci (cum $(a + b + c)^{2} = 9$ ) problema revine la a demonstra că $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a + 3 \geq 2 a b + 2 b c + 2 c a .$ (2 p)
Deoarece $a + b + c = 3$ , inegalitatea precedentă este echivalentă cu $(b + a^{2} b) + (c + b^{2} c) + (a + c^{2} a) \geq 2 a b + 2 b c + 2 c a . (1)$ (1 p)
Folosind inegalitatea mediilor (sau $1 + x^{2} \geq 2 x$ ), obținem $b + a^{2} b$ $= b (1 + a^{2})$ $\geq 2 a b$ , $c + b^{2} c \geq 2 b c$ și $a + c^{2} a \geq 2 c a$ . Adunând membru cu membru inegalitățile precedente, deducem că (1) este adevărată, așadar are loc inegalitatea din enunț. (4 p)

Soluția 2 (tot din barem). Adunând $a + b + c = 3$ în ambii membri, inegalitatea de demonstrat este echivalentă cu $a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a + a + b + c$ $\geq 9$ (2 p). Folosind inegalitatea mediilor, obținem $b + a^{2} b \geq 2 a b$ , $c + b^{2} c \geq 2 b c$ și $a + c^{2} a \geq 2 c a$ (4 p). Deducem că $\begin{aligned} a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a + a + b + c \\ \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a = (a + b + c)^{2} = 9, \end{aligned}$ adică ceea ce trebuia demonstrat (1 p).

Egalitate: pentru $a = b = c = 1$ obținem $3 + 3 = 6$ .

Problema 2 (7 puncte · radicali, numere iraționale)

Demonstrați că:

a) există o infinitate de perechi $(x, y)$ de numere reale din intervalul $[0, \sqrt{3}]$ care verifică egalitatea $x \cdot \sqrt{3 - y^{2}} + y \cdot \sqrt{3 - x^{2}}$ $= 3$ ;

b) nu există nicio pereche $(x, y)$ de numere raționale din intervalul $[0, \sqrt{3}]$ , astfel încât să aibă loc egalitatea $x \cdot \sqrt{3 - y^{2}} + y \cdot \sqrt{3 - x^{2}}$ $= 3$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Orice pereche $(a, \sqrt{3 - a^{2}})$ , cu $a \in [0, 1]$ , este soluție: pentru $y = \sqrt{3 - a^{2}}$ avem $\sqrt{3 - y^{2}} = a$ , deci membrul stâng este $a \cdot a + \sqrt{3 - a^{2}} \cdot \sqrt{3 - a^{2}}$ $= a^{2} + 3 - a^{2}$ $= 3$ . Există o infinitate de valori $a \in [0, 1]$ . (2 p)

Ridicând la pătrat egalitatea $y \cdot \sqrt{3 - x^{2}}$ $= 3 - x \cdot \sqrt{3 - y^{2}}$ , obținem $3 y^{2} - x^{2} y^{2}$ $= 9 - 6 x \sqrt{3 - y^{2}} + 3 x^{2} - x^{2} y^{2}$ , adică (după împărțirea cu 3) $(3 - y^{2}) - 2 x \sqrt{3 - y^{2}} + x^{2}$ $= 0$ , deci $(\sqrt{3 - y^{2}} - x)^{2} = 0, deci x^{2} + y^{2} = 3. (1)$ (1 p)
Presupunem că există $x, y \in Q_{+} \cap [0, \sqrt{3}]$ care verifică egalitatea (1). Este evident că $x$ și $y$ nu pot fi egale cu 0 (altfel celălalt ar fi $\sqrt{3}$ , irațional). Fie $a, b, c, d \in N^{*}$ , astfel încât $(a, b) = (c, d) = 1$ , iar $x = \frac{a}{b}$ și $y = \frac{c}{d}$ . Din (1) obținem $a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = 3 b^{2} d^{2}$ . (2) Cum $(c, d) = 1$ și $d^{2} ∣ b^{2} c^{2}$ , deducem că $d^{2} ∣ b^{2}$ . Din $(a, b) = 1$ și $b^{2} ∣ a^{2} d^{2}$ , rezultă $b^{2} ∣ d^{2}$ . Așadar $b^{2} = d^{2}$ . Relația (2) devine $a^{2} + c^{2} = 3 b^{2}$ . (2 p)
Dacă $a$ și $c$ nu sunt ambii multipli de 3, atunci $a^{2} + c^{2}$ $= M_{3} + 1$ sau $a^{2} + c^{2}$ $= M_{3} + 2$ (pătratul unui număr nedivizibil cu 3 dă restul 1 la împărțirea cu 3), contradicție cu $a^{2} + c^{2} = 3 b^{2}$ . Așadar $3 ∣ a$ și $3 ∣ c$ , de unde $3 b^{2} = M_{9}$ , adică $3 ∣ b$ , deci $(a, b) \geq 3$ , fals. În consecință, ecuația nu are soluții $x, y \in Q_{+} \cap [0, \sqrt{3}]$ . (2 p)

Problema 3 (7 puncte · partea întreagă, inegalități)

Spunem că un număr natural $n$ este interesant dacă poate fi scris sub forma $n$ $= [\frac{1}{a}] + [\frac{1}{b}] + [\frac{1}{c}]$ , unde $a$ , $b$ și $c$ sunt numere reale pozitive astfel încât $a + b + c = 1$ .

Determinați toate numerele interesante. ( $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fără să restrângem generalitatea, alegem $a \leq b \leq c$ . Cum $a$ , $b$ și $c$ sunt numere reale pozitive cu suma egală cu 1, rezultă că $a, b, c \in (0, 1)$ , prin urmare $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \in (1, \infty)$ . Deducem că $[\frac{1}{a}], [\frac{1}{b}], [\frac{1}{c}] \in N^{*}$ , deci $n \geq 3$ . (1 p)
Dacă $[\frac{1}{a}]$ $\leq 2$ , atunci $\frac{1}{a} < 3$ și, cum $a$ este cel mai mic, $a, b, c \in (\frac{1}{3}, 1)$ , iar $a + b + c > 1$ , fals. Așadar $[\frac{1}{a}]$ $\geq 3$ , deci $n \geq 5$ . De asemenea, dacă $[\frac{1}{b}]$ $= 1$ , atunci și $[\frac{1}{c}]$ $= 1$ , deci $b, c > \frac{1}{2}$ și $a + b + c > b + c > 1$ , fals; așadar $[\frac{1}{b}]$ $\geq 2$ .
Dacă 5 ar fi interesant, am avea $[\frac{1}{a}]$ $= 3$ și $[\frac{1}{b}]$ $= [\frac{1}{c}]$ $= 1$ , deci $a + b + c > b + c > 1$ , fals.
Dacă 6 ar fi interesant, atunci $[\frac{1}{a}]$ $= 3$ , $[\frac{1}{b}]$ $= 2$ , $[\frac{1}{c}]$ $= 1$ . Rezultă $a \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$ , $b \in (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ și $c \in (\frac{1}{2}, 1)$ , deci $a + b + c$ $> \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$ $= \frac{13}{12}$ , fals. (3 p)
Demonstrăm că toate numerele naturale $n \geq 7$ sunt interesante. Fie $k \in N$ , $k \geq 4$ și numerele reale $a = \frac{1}{k}$ , $b = c = \frac{k - 1}{2 k}$ , cu $a + b + c = 1$ . Atunci $[\frac{1}{a}]$ $= k$ și $[\frac{1}{b}]$ $= [\frac{1}{c}]$ $= [2 + \frac{2}{k - 1}]$ $= 2$ (pentru că $0$ $< \frac{2}{k - 1}$ $< 1$ ), prin urmare $[\frac{1}{a}] + [\frac{1}{b}] + [\frac{1}{c}]$ $= k + 4$ . Rezultă că toate numerele naturale $n \geq 8$ sunt interesante.
Alegând, de exemplu, $a = \frac{8}{30}$ , $b = c = \frac{11}{30}$ , avem $[\frac{1}{a}] + [\frac{1}{b}] + [\frac{1}{c}]$ $= 3 + 2 + 2$ $= 7$ ( $\frac{30}{8} = 3, 75$ , $\frac{30}{11} \approx 2, 73$ ) și $a + b + c = 1$ , așadar și numărul 7 este interesant. (3 p)

Răspuns: numerele interesante sunt toate numerele naturale $n \geq 7$ .

Problema 4 (7 puncte · geometrie în spațiu, teorema lui Menelaus)

Fie $A B C D$ un tetraedru și mijloacele $M$ , $N$ ale muchiilor $A C$ , respectiv $B D$ . Arătați că pentru orice punct $P$ de pe segmentul $M N$ , cu $P \neq M$ și $P \neq N$ , există și sunt unice punctele $X$ și $Y$ pe segmentele $A B$ , respectiv $C D$ , astfel încât $X$ , $P$ și $Y$ sunt coliniare.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Deoarece $P \neq M$ , $P \neq N$ , dacă $X, Y, P$ sunt coliniare, avem $X \notin {A, B}$ și $Y \notin {C, D}$ . Într-adevăr, dacă $X = A$ , atunci $X Y \subset (A C D)$ , deci $P \in (A C D)$ , fals (dreapta $M N$ intersectează planul $A C D$ doar în $M$ ). Celelalte situații sunt analoage.
Determinăm $X \in (A B)$ și $Y \in (C D)$ cu proprietatea cerută. Folosim proprietatea (teorema lui Menelaus pentru patrulaterul strâmb $A B D C$ ): $\begin{aligned} (X Y) \cap (M N) \neq \emptyset & \Leftrightarrow X, Y, M, N coplanare \\ \Leftrightarrow \frac{X A}{X B} \cdot \frac{N B}{N D} \cdot \frac{Y D}{Y C} \cdot \frac{M C}{M A} = 1. \end{aligned}$ Deoarece $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $A C$ , respectiv $B D$ , obținem: $(X Y) \cap (M N) \neq \emptyset \Leftrightarrow \frac{X A}{X B} = \frac{Y C}{Y D} . (1)$ (2 p)
Unicitatea. Arătăm că, dacă există punctele $X \in (A B)$ și $Y \in (C D)$ , astfel încât $X$ , $P$ și $Y$ sunt coliniare, atunci acestea sunt unice. Presupunem că există $X_{1} \in (A B)$ și $Y_{1} \in (C D)$ , cu $X_{1} \neq X$ , astfel încât $X_{1}$ , $P$ și $Y_{1}$ sunt coliniare. Din (1), scriind proporții derivate, obținem $\frac{X A}{Y C}$ $= \frac{X_{1} A}{Y_{1} C}$ $= \frac{A B}{C D}$ . Deoarece $X_{1} \neq X$ , rezultă că $X_{1} A \neq X A$ , deci $Y_{1} C \neq Y C$ , adică $Y_{1} \neq Y$ . Dreptele $X_{1} Y_{1}$ și $X Y$ sunt concurente în $P$ , deci sunt coplanare, așadar și dreptele $A B = X X_{1}$ și $C D = Y Y_{1}$ sunt coplanare, fals (muchiile opuse ale unui tetraedru nu sunt coplanare). (1 p)
Existența, cazul I. Dacă $P$ este mijlocul lui $M N$ , alegem $X$ și $Y$ mijloacele muchiilor $A B$ , respectiv $C D$ . În acest caz, $M X N Y$ este paralelogram ( $X M$ și $N Y$ sunt linii mijlocii, paralele cu $B C$ și egale cu $\frac{B C}{2}$ ), iar $P$ este mijlocul diagonalei $M N$ , deci este și mijlocul diagonalei $X Y$ . (1 p)
Existența, cazul II. Fie $P \in (M N)$ astfel încât $\frac{P M}{P N} = k < 1$ (cazul $k > 1$ este analog). Alegem $X \in (A B)$ și $Y \in (C D)$ , cu $\frac{X A}{X B}$ $= \frac{Y C}{Y D}$ $= k$ . Din (1) rezultă că dreptele $X Y$ și $M N$ sunt concurente într-un punct $Q$ . Arătăm că $Q = P$ .
Fie ${R} = X M \cap B C$ . Deoarece $\frac{X A}{X B} = k < 1$ , punctul $C$ se află între $B$ și $R$ . Cum $R \in B C \subset (D B C)$ și $R \in X M \subset (Q X M)$ , deducem că $R \in (D B C) \cap (Q X M)$ $= Y N$ , deci $B C \cap X M \cap Y N = {R}$ .

Aplicăm succesiv teorema lui Menelaus în $△ M N R$ (cu transversala $X - Q - Y$ ), în $△ C M R$ (cu transversala $A - X - B$ ), în $△ B N R$ (cu transversala $D - Y - C$ ) și în $△ A B C$ (cu transversala $R - M - X$ ) și obținem:
$\frac{Q M}{Q N} = \frac{X M}{X R} \cdot \frac{Y R}{Y N}, \frac{X M}{X R} = \frac{B C}{B R} \cdot \frac{A M}{A C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{B C}{B R},$ $\frac{Y R}{Y N} = \frac{D B}{D N} \cdot \frac{C R}{C B} = 2 \cdot \frac{C R}{C B}, \frac{R C}{R B} = \frac{X A}{X B} \cdot \frac{M C}{M A} = k .$
Din egalitățile precedente deducem:
$\frac{Q M}{Q N} = \frac{1}{2} \cdot \frac{B C}{B R} \cdot 2 \cdot \frac{C R}{C B} = \frac{R C}{R B} = k = \frac{P M}{P N},$
așadar $Q = P$ (pe segmentul $M N$ există un singur punct care îl împarte în raportul $k$ ). (3 p)

Notă: în baremul oficial apare „mijloacele muchiilor $A C$ , respectiv $A B$ ”; corect este $A C$ , respectiv $B D$ , ca în enunț (greșeală de tipar).

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	demonstrație (inegalitatea mediilor), egalitate pentru $a = b = c = 1$
2	a) perechile $(a, \sqrt{3 - a^{2}})$ , $a \in [0, 1]$ ; b) demonstrație: ar rezulta $x^{2} + y^{2} = 3$ , imposibil în $Q$
3	toate numerele naturale $n \geq 7$
4	demonstrație (teorema lui Menelaus; $X$ , $Y$ cu $\frac{X A}{X B} = \frac{Y C}{Y D} = \frac{P M}{P N}$ )

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Inegalități, inegalitatea mediilor	fișă formule de calcul prescurtat · inegalitatea mediilor
2	Radicali, numere iraționale, divizibilitate	fișă intervale · fișă radicali
3	Partea întreagă, inegalități	fișă intervale și inecuații
4	Geometrie în spațiu, plane, coliniaritate	fișă poziții relative drepte și plane

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a VIII-a? Patru probleme: o inegalitate cu $a + b + c = 3$ , ecuația $x \sqrt{3 - y^{2}} + y \sqrt{3 - x^{2}} = 3$ (soluții reale și raționale), numerele „interesante” scrise cu părți întregi și o problemă de geometrie în spațiu despre un tetraedru.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa națională a olimpiadei de matematică 2023? Subiectul are 4 probleme. Timpul de lucru a fost de 2 ore la clasele V–VI și de 4 ore la clasele VII–VIII. Fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28; se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa națională 2023: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VII-a. Clasa a VIII-a, etapa județeană: 2023 · 2026. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 8-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, 11 aprilie 2023): soluțiile și baremul (documentul conține și enunțurile), publicate pe ssmr.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a VIII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · inegalități, inegalitatea mediilor)

Problema 2 (7 puncte · radicali, numere iraționale)

Problema 3 (7 puncte · partea întreagă, inegalități)

Problema 4 (7 puncte · geometrie în spațiu, teorema lui Menelaus)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe