Olimpiada matematică etapa locală 2023 clasa a 6-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa locală, clasa a VI-a, în București?

Patru probleme: numerele prime cu 51a + 24b + 17c = 2023, ecuația 5^x - 5^y = 15000, trei unghiuri în jurul unui punct proporționale cu trei numere consecutive (unghiul bisectoarelor) și mulțimile „n-bune”, închise la adunarea resturilor modulo n.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2023, clasa a VI-a, în București?

Timpul de lucru a fost de 2 ore pentru 4 probleme, fiecare notată de la 0 la 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, numai cu punctaje întregi.

Q: Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2023?

SSMR a publicat subiectele și baremele etapei locale din 2023 pe județe, pe o hartă a României (pentru București: arhiva cu subiectele pentru gimnaziu și liceu). Pe această pagină, enunțurile sunt transcrise din documentele oficiale, iar fiecare soluție are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada de matematică 2023, etapa locală din București, clasa a VI-a (sâmbătă, 11 februarie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $(a, b, c) = (2, 17, 89)$ sau $(31, 17, 2)$ ; $x = 6$ , $y = 4$ ; unghiul mijlociu are $120^{\circ}$ ; există 6 mulțimi 2023-bune.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa locală nu are un subiect unic la nivel național: fiecare inspectorat școlar își stabilește propriul subiect, așa că problemele diferă de la un județ la altul. Pe această pagină este subiectul dat în București (Inspectoratul Școlar al Municipiului București, același subiect în toate sectoarele), sâmbătă, 11 februarie 2023. Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană 2023 (clasa a VI-a).

La clasa a VI-a, subiectul din București a avut 4 probleme, timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte (se acordă numai punctaje întregi), deci punctajul maxim este 28. Soluțiile de mai jos urmează baremul oficial („Soluții și bareme orientative”) publicat după concurs.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 15–20 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă rezolvare corectă se punctează conform baremului.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · numere prime, divizibilitate)

Determinați numerele prime $a, b, c$ , știind că $51 a + 24 b + 17 c = 2023$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

$51 = 3 \cdot 17$ și $2023 = 7 \cdot 17^{2}$ se divid cu 17, deci și $24 b = 2023 - 51 a - 17 c$ se divide cu 17. Cum $(24, 17) = 1$ , rezultă că $b$ se divide cu 17, iar $b$ fiind număr prim, $b = 17$ . (2 p)

Obținem $51 a + 17 c$ $= 2023 - 408$ $= 1615$ ; împărțind la 17: $3 a + c = 95$ . Cum 95 este impar, numerele $3 a$ și $c$ au parități diferite, deci unul dintre numerele prime $a$ , $c$ este par: $a = 2$ sau $c = 2$ . (1 p)

Dacă $a = 2$ , atunci $c = 95 - 6 = 89$ , număr prim, deci $a = 2$ , $b = 17$ , $c = 89$ . (2 p)

Dacă $c = 2$ , atunci $3 a = 93$ , $a = 31$ , număr prim, deci $a = 31$ , $b = 17$ , $c = 2$ . (2 p)

Problema 2 (7 puncte · puteri, descompunere în factori primi)

Aflați numerele naturale $x$ și $y$ , știind că $5^{x} - 5^{y} = 15000$ .

autor: Vasile Scurtu, S.G.M. 11/2022

Vezi soluția (după baremul oficial)

Cum $5^{x} > 5^{y}$ , avem $x > y$ și putem da factor comun: $5^{y} \cdot (5^{x - y} - 1)$ $= 15000$ $= 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{4}$ . (3 p)

Din $x > y$ , numărul $5^{x - y}$ se termină în 5, deci $5^{x - y} - 1$ se termină în 4 și nu se divide cu 5. Așadar toți factorii 5 din $15000$ provin din $5^{y}$ : $y = 4$ și $5^{x - 4} - 1$ $= 2^{3} \cdot 3$ $= 24$ , deci $5^{x - 4} = 25 = 5^{2}$ și $x = 6$ . Verificare: $5^{6} - 5^{4}$ $= 15625 - 625$ $= 15000$ . (4 p)

Problema 3 (7 puncte · unghiuri în jurul unui punct, bisectoare)

Se consideră trei unghiuri în jurul unui punct, având măsurile direct proporționale cu trei numere naturale consecutive. Arătați că unghiul format de bisectoarele a două dintre unghiuri este congruent cu cel de-al treilea unghi.

autor: Traian Preda

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm cu $∠ A O B$ , $∠ B O C$ și $∠ C O A$ cele trei unghiuri și cu $n$ cel mai mic dintre cele trei numere consecutive (deci $∠ A O B$ , $∠ B O C$ , $∠ C O A$ sunt proporționale cu $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ ). Atunci

\frac{∠ A O B}{n} = \frac{∠ B O C}{n + 1} = \frac{∠ C O A}{n + 2}

și, din proprietatea șirului de rapoarte egale (suma unghiurilor în jurul unui punct este $360^{\circ}$ ), fiecare raport este egal cu

\frac{∠ A O B + ∠ B O C + ∠ C O A}{n + n + 1 + n + 2}

= \frac{360^{\circ}}{3 n + 3} = \frac{120^{\circ}}{n + 1},

de unde $∠ B O C = 120^{\circ}$ . (4 p)

Fie $(O M$ și $(O N$ bisectoarele unghiurilor $∠ A O B$ , respectiv $∠ C O A$ . Atunci

∠ M O N = ∠ A O M + ∠ A O N

= \frac{∠ A O B}{2} + \frac{∠ C O A}{2}

= \frac{360^{\circ} - ∠ B O C}{2} = 120^{\circ},

deci $∠ M O N$ $= ∠ B O C$ $= 120^{\circ}$ : unghiul format de bisectoarele celor două unghiuri care corespund numerelor $n$ și $n + 2$ este congruent cu al treilea unghi. (3 p)

Observație: unghiul mijlociu (cel proporțional cu $n + 1$ ) are mereu $120^{\circ}$ , indiferent de $n$ ; de exemplu, pentru $n = 3$ unghiurile sunt $90^{\circ}$ , $120^{\circ}$ și $150^{\circ}$ (ca în figură), iar $\frac{90^{\circ} + 150^{\circ}}{2}$ $= 120^{\circ}$ .

Problema 4 (7 puncte · mulțimi, resturi, divizibilitate)

Pentru $n \in N^{*}$ , $n \geq 3$ , o mulțime nevidă $M \subseteq {0, 1, 2, \dots, n - 1}$ se numește $n$ -bună dacă are proprietatea că, pentru orice două numere $x$ și $y$ din mulțimea $M$ , restul împărțirii lui $x + y$ la $n$ este și el în mulțimea $M$ .

a) Determinați mulțimile 3-bune.

b) Dacă $M$ este mulțime $n$ -bună, iar $1 \notin M$ și $3 \in M$ , demonstrați că $n ⋮ 3$ .

c) Câte mulțimi 2023-bune există?

autor: Flavian Georgescu

Vezi soluția (după baremul oficial)

Observație utilă: dacă $x \in M$ , atunci restul lui $x + x$ , al lui $2 x + x$ etc. la $n$ sunt în $M$ , adică resturile la $n$ ale tuturor multiplilor lui $x$ sunt în $M$ . În particular, restul lui $n \cdot x$ la $n$ , adică 0, este mereu în $M$ .

a) Submulțimile lui ${0, 1, 2}$ . Dacă $1 \in M$ , atunci $1 + 1 = 2 \in M$ ; cum $1 + 2 = 3$ dă restul 0 la 3, și $0 \in M$ , deci $M = {0, 1, 2}$ . Dacă $2 \in M$ , cum $2 + 2 = 4$ dă restul 1 la 3, rezultă $1 \in M$ și din nou $M = {0, 1, 2}$ . Altfel $M = {0}$ , care verifică ( $0 + 0 = 0$ ). Deci mulțimile 3-bune sunt ${0, 1, 2}$ și ${0}$ . (1 p)

b) Presupunem că $n$ nu se divide cu 3. Dacă $n = 3 k + 1$ ( $k \geq 1$ ): cum $3 \in M$ , avem $3 m \in M$ pentru orice $m \leq k$ (aceste numere sunt mai mici decât $n$ ), deci $3 k \in M$ . Restul lui $3 k + 3$ la $n = 3 k + 1$ este 2, deci $2 \in M$ . Dar $3 k \in M$ și $2 \in M$ , iar $3 k + 2 = n + 1$ dă restul 1, deci $1 \in M$ , contradicție! (1 p)

Dacă $n = 3 k + 2$ : la fel, $3 k \in M$ , iar restul lui $3 k + 3 = n + 1$ la $n$ este 1, deci $1 \in M$ , contradicție! Rămâne că $n ⋮ 3$ . (1 p)

c) Dacă $1 \in M$ , atunci $1 + 1 = 2 \in M$ , $1 + 2 = 3 \in M$ , apoi $4, 5, \dots, 2022 \in M$ , iar restul lui $1 + 2022$ la 2023 este 0, deci $0 \in M$ și $M$ $= {0, 1, 2, \dots, 2022}$ . (1 p)

Altfel, fie $a \in M$ , $a > 1$ , cel mai mic element nenul din $M$ (dacă există). Fie $k$ cel mai mic număr natural cu proprietatea că $k a \geq 2023$ ; atunci $(k - 1) a < 2023$ , adică $2023 > k a - a$ , deci $k a - 2023 < a$ . Restul lui $k a$ la 2023 este $r = k a - 2023$ , iar $r \in M$ (resturile multiplilor lui $a$ sunt în $M$ ) și $r < a$ . Dacă $r > 0$ , am avea un element nenul mai mic decât $a$ , contradicție cu alegerea lui $a$ ! Deci $r = 0$ , $k a = 2023$ și $a$ este un divizor al lui $2023 = 7 \cdot 17^{2}$ , diferit de 1: $a \in {7, 17, 7 \cdot 17, 17^{2}, 2023}$ ; cum $a \leq 2022$ , $a \in {7, 17, 119, 289}$ . (2 p)

Mai mult, $M$ conține exact multiplii lui $a$ mai mici decât 2023: îi conține pe toți (resturile multiplilor lui $a$ ), iar dacă ar conține un $b$ care nu e multiplu de $a$ , $b = q a + s$ cu $0 < s < a$ , atunci adunând la $b$ multiplul $2023 - q a$ al lui $a$ (care e în $M$ ) obținem restul $s$ , un element nenul mai mic decât $a$ , contradicție. Notând cu $M_{d}$ mulțimea multiplilor lui $d$ și cu $A$ $= {0, 1, 2, \dots, 2022}$ , mulțimile 2023-bune sunt $A$ , ${0}$ , $A \cap M_{7}$ , $A \cap M_{17}$ , $A \cap M_{119}$ , $A \cap M_{289}$ (se verifică imediat că fiecare are proprietatea cerută), deci în total 6 mulțimi 2023-bune. (1 p)

Notă Matepenet: la punctul b), cazul $n = 3 k + 2$ , baremul scrie „ $3 k \in M, 2 \in M \Rightarrow 1 \in M$ ” (preluat din cazul anterior); aici argumentul direct este că $3 k + 3 = n + 1$ dă restul 1 la împărțirea cu $n$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$(a, b, c) = (2, 17, 89)$ sau $(a, b, c) = (31, 17, 2)$
2	$x = 6$ , $y = 4$
3	demonstrație: $∠ B O C = 120^{\circ} = ∠ M O N$
4	a) ${0}$ și ${0, 1, 2}$ ; b) demonstrație; c) 6 mulțimi

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Numere prime, divizibilitate, paritate	fișă divizibilitate
2	Puteri, descompunerea în factori primi	fișă divizibilitate
3	Unghiuri în jurul unui punct, bisectoare, mărimi direct proporționale	fișă unghiuri · fișă rapoarte și proporții
4	Mulțimi, resturi, divizori	fișă mulțimi

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa locală, clasa a VI-a, în București? Patru probleme: numerele prime cu $51 a + 24 b + 17 c = 2023$ , ecuația $5^{x} - 5^{y} = 15000$ , trei unghiuri în jurul unui punct proporționale cu trei numere consecutive (unghiul bisectoarelor) și mulțimile „n-bune”, închise la adunarea resturilor modulo $n$ .

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2023, clasa a VI-a, în București? Timpul de lucru a fost de 2 ore pentru 4 probleme, fiecare notată de la 0 la 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, numai cu punctaje întregi.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2023? SSMR a publicat subiectele și baremele etapei locale din 2023 pe județe, pe o hartă a României (pentru București: arhiva cu subiectele pentru gimnaziu și liceu). Pe această pagină, enunțurile sunt transcrise din documentele oficiale, iar fiecare soluție are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa locală 2023 (București): clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Etapa următoare: olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VI-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiect oficial © Ministerul Educației / SSMR / Inspectoratul Școlar al Municipiului București (Olimpiada Națională de Matematică, etapa locală, București, 11 februarie 2023): subiectele și baremele etapei locale pe județe, publicate de SSMR. Explicațiile suplimentare și figura: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa locală (București) — clasa a VI-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · numere prime, divizibilitate)

Problema 2 (7 puncte · puteri, descompunere în factori primi)

Problema 3 (7 puncte · unghiuri în jurul unui punct, bisectoare)

Problema 4 (7 puncte · mulțimi, resturi, divizibilitate)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe