Olimpiada de matematică 2026 județeană, clasa a XII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a XII-a?

Patru probleme: o funcție cu ∈t_0^1 f = 0 pentru care f'' se anulează în (0, 1), punctele fixe ale unui endomorfism de grup și numărul minim m = (n)/(p) + 1, un grup cu (xy)² = yx în afara unui subgrup H și limita integralelor iteratelor unei funcții continue bijective.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2026?

Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform subiectelor oficiale din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2026?

Subiectele și soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs de inspectoratele școlare și preluate de presa de educație. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa județeană, clasa a XII-a (sâmbătă, 7 martie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: la problema 1 se integrează prin părți $f^{″} (x) (x^{2} - x)^{2}$ ; la problema 2 punctele fixe formează un subgrup și se aplică teorema lui Lagrange; la problema 3 $x^{2} = y^{3}$ , $Z (G) = {e}$ și $H$ este comutativ; la problema 4 $lim I_{n} = 0$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 7 martie 2026, toți elevii de clasa a XII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform subiectului oficial, fiecare problemă este notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu (total 100). Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (22,5 puncte · integrala definită, integrare prin părți)

Fie $f : R \to R$ o funcție de două ori derivabilă, cu derivata a doua continuă pe $R$ , cu proprietatea că

\int_{0}^{1} f (x) d x = 0 și \int_{0}^{1} x \cdot f (x) d x = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f (x) d x .

a) Demonstrați că dacă $g : R \to R$ este o funcție polinomială de gradul al doilea, având graficul simetric în raport cu dreapta de ecuație $x = \frac{1}{2}$ , atunci

\int_{0}^{1} f (x) \cdot g (x) d x = 0.

b) Demonstrați că există $c \in (0, 1)$ , astfel încât $f^{″} (c) = 0$ .

Gazeta Matematică

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Axa de simetrie a graficului unei funcții de gradul al doilea este dreapta verticală care trece prin vârful parabolei asociate. (1,5 p)

Prin urmare, funcțiile de gradul al doilea $g : R \to R$ , care au graficul simetric în raport cu dreapta de ecuație $x = \frac{1}{2}$ , sunt de forma

\begin{aligned} g (x) & = a {(x - \frac{1}{2})}^{2} + d \\ = a (x^{2} - x) + b, \end{aligned}

cu $a, b, d \in R$ , $a \neq 0$ , $b = d + \frac{a}{4}$ . (3 p)

Atunci

\begin{aligned} \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x \\ = a \int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x - a \int_{0}^{1} x f (x) d x \\ + b \int_{0}^{1} f (x) d x = 0. \end{aligned}

(3 p)

b) $f^{″}$ fiind o funcție continuă, funcția $h : R \to R$ , $h (x)$ $= f^{″} (x) \cdot (x^{2} - x)^{2}$ este continuă, deci este integrabilă. (3 p)

Integrând de două ori prin părți:

\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^{″} (x) (x^{2} - x)^{2} d x \\ = f^{'} (x) (x^{2} - x)^{2} |_{0}^{1} \\ - \int_{0}^{1} f^{'} (x) \cdot 2 (x^{2} - x) (2 x - 1) d x \\ = 0 - 2 f (x) (x^{2} - x) (2 x - 1) |_{0}^{1} \\ + 2 \int_{0}^{1} f (x) ((2 x - 1)^{2} + 2 (x^{2} - x)) d x \\ = 0 + 2 \int_{0}^{1} f (x) (6 (x^{2} - x) + 1) d x . \end{aligned}

Conform punctului a), pentru $a = 6$ și $b = 1$ , se obține

\int_{0}^{1} f^{″} (x) (x^{2} - x)^{2} d x = 0.

(6 p)

Rezultă că există $c \in (0, 1)$ astfel încât $f^{″} (c) \cdot (c^{2} - c)^{2}$ $= 0$ (dacă funcția continuă $h$ nu s-ar anula pe $(0, 1)$ , din proprietatea lui Darboux ar avea semn constant strict pe $(0, 1)$ , iar integrala ei pe $[0, 1]$ ar fi nenulă). (3 p)

Cum $(c^{2} - c)^{2}$ $= c^{2} (c - 1)^{2} \neq 0$ , pentru orice $c \in (0, 1)$ , rezultă că $f^{″} (c) = 0$ . (3 p)

Observație din barem: în situația în care un concurent observă că una dintre funcțiile $f_{1}, f_{2} : R \to R$ , $f_{1} (x) = 0$ , $f_{2} (x) = a (2 x - 1)$ ( $a \in R^{*}$ ) are proprietatea din enunț, fără să rezolve problema, primește câte 1,5 puncte pentru fiecare dintre aceste două exemple. Punctele astfel obținute nu se cumulează cu cele alocate rezolvărilor parțiale sau complete ale problemei.

Problema 2 (22,5 puncte · grupuri, endomorfisme, teorema lui Lagrange)

a) Fie $(G, \cdot)$ un grup, iar $f : G ⟶ G$ un endomorfism al său. Arătați că mulțimea $F_{f}$ $= {x \in G ∣ f (x) = x}$ a punctelor fixe ale endomorfismului $f$ este un subgrup al grupului $G$ .

b) Fie $n \in N$ , cu $n \geq 2$ , iar $p$ cel mai mic divizor prim al lui $n$ . Demonstrați că numărul $m = \frac{n}{p} + 1$ este cel mai mic număr natural cu proprietatea că în orice grup finit $(G, \cdot)$ de ordin $n$ , dacă pentru un endomorfism $f : G \to G$ există un automorfism $g : G \to G$ cu proprietatea că mulțimea $A$ $= {a \in G ∣ f (a) = g (a)}$ are cel puțin $m$ elemente, atunci $f$ este un automorfism al grupului $G$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Fie $e$ elementul neutru al grupului $G$ . Deoarece $(f (e))^{2} = f (e^{2}) = f (e)$ , rezultă că $f (e) = e$ , deci $e \in F_{f}$ și $F_{f} \neq \emptyset$ . (1,5 p)

Pentru orice $x, y \in F_{f}$ avem

f (x \cdot y^{- 1}) = f (x) \cdot (f (y))^{- 1} = x \cdot y^{- 1},

așadar $x \cdot y^{- 1} \in F_{f}$ . Prin urmare, $F_{f}$ este un subgrup al grupului $G$ . (6 p)

b) Vom arăta că orice endomorfism al unui grup finit de ordin $n$ care coincide cu un automorfism al grupului în cel puțin $m$ puncte este egal cu acel automorfism (deci este un automorfism).

Fie $(G, \cdot)$ un grup de ordin $n$ și $End (G)$ , respectiv $Aut (G)$ , mulțimea tuturor endomorfismelor, respectiv mulțimea tuturor automorfismelor sale. Fie $f \in End (G)$ un endomorfism cu proprietatea că există un automorfism $g \in Aut (G)$ astfel încât mulțimea $A$ $= {a \in G ∣ f (a) = g (a)}$ conține cel puțin $m$ elemente.

$g$ fiind un automorfism, este un endomorfism bijectiv, iar funcția sa inversă $g^{- 1}$ este de asemenea un automorfism al grupului $G$ . (3 p)

Fiind compunere de endomorfisme, funcția $h = g^{- 1} \circ f$ este un endomorfism al grupului $G$ , iar mulțimea punctelor sale fixe este

\begin{aligned} F_{h} & = {a \in G ∣ h (a) = a} \\ = {a \in G ∣ g^{- 1} (f (a)) = a} \\ = {a \in G ∣ f (a) = g (a)} = A . \end{aligned}

(3 p)

Din a), $F_{h}$ este un subgrup al grupului $G$ și are cel puțin $m$ elemente. Conform teoremei lui Lagrange, ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului. Cum $\frac{n}{p}$ este cel mai mare divizor al lui $n$ , mai mic strict decât $n$ , deoarece $| F_{h} |$ $\geq m$ $= \frac{n}{p} + 1$ $> \frac{n}{p}$ și $| F_{h} |$ divide $| G | = n$ , rezultă că $| F_{h} | = n = | G |$ , așadar $F_{h} = G$ . (3 p)

Prin urmare, $f (a) = g (a)$ pentru orice element $a \in G$ , deci $f = g \in Aut (G)$ . Așadar $f$ este un automorfism al grupului $G$ . (3 p)

Minimalitatea lui $m$ . Fie $G$ $= Z_{q} \times Z_{p}$ , unde $q = \frac{n}{p}$ . Pentru grupul $(G, +)$ , alegem $f : G ⟶ G$ , $f (x, y) = (x, \hat{0})$ , oricare ar fi $(x, y) \in Z_{q} \times Z_{p}$ . Funcția $f$ este un endomorfism al unui grup de ordin $n$ , cu proprietatea că mulțimea $A$ $= {(x, y) \in G ∣ f (x, y) = {id}_{G} (x, y)}$ are $q = \frac{n}{p} = m - 1$ elemente (prin ${id}_{G}$ am notat automorfismul identic al grupului $G$ ), dar $f$ nu este un automorfism al grupului $G$ . Prin urmare, $m$ este cel mai mic număr cu proprietatea din enunț. (3 p)

Problema 3 (22,5 puncte · grupuri, subgrupuri, centrul unui grup)

Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$ , iar $H$ un subgrup al său cu $H \neq {e}$ și $H \neq G$ . Dacă $(x y)^{2} = y x$ pentru orice $x, y \in G ∖ H$ , demonstrați că:

a) $x^{2} = y^{3}$ , pentru orice $x \in G ∖ H$ și orice $y \in H$ ;
b) $Z (G) = {e}$ , unde $Z (G)$ $= {z \in G ∣ z \cdot g = g \cdot z, \forall g \in G}$ este centrul grupului $G$ , format din toate elementele grupului $G$ care comută cu orice element al grupului $G$ .
c) $H$ este comutativ.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Pentru $x = y \in G ∖ H$ , relația din ipoteză devine $x^{4} = x^{2}$ , de unde obținem că

x^{2} = e, \forall x \in G ∖ H . (1)

(3 p)

Fie $x \in G ∖ H$ și $y \in H$ . Deoarece $H$ este subgrup al lui $G$ , avem $x y \in G ∖ H$ (altfel $x = (x y) y^{- 1} \in H$ ). (1,5 p)

Rezultă atunci că (aplicând ipoteza pentru $x$ și $x y$ , ambele din $G ∖ H$ )

\begin{aligned} y^{2} & \overset{(1)}{=} (x^{2} y)^{2} = (x (x y))^{2} \\ = (x y) x = x y x, \end{aligned}

(3 p)

deci

y^{3} = x y x y = (x y)^{2} \overset{(1)}{=} e \overset{(1)}{=} x^{2} .

(3 p)

b) Pentru orice $x \in G ∖ H$ și $y \in H ∖ {e}$ , din a) rezultă că ( $x^{- 1} = x$ , $y^{- 1} = y^{2}$ )

x y = (x y)^{- 1} = y^{2} x \neq y x .

(3 p)

Prin urmare, niciun element $x \in G ∖ H$ și niciun element $y \in H ∖ {e}$ nu se află în $Z (G)$ (mulțimile $G ∖ H$ și $H ∖ {e}$ sunt nevide) și, în consecință, $Z (G) = {e}$ . (3 p)

c) Oricare ar fi $x \in G ∖ H$ și $h \in H$ , din $(x h)^{2} = e$ rezultă că $x h x = h^{- 1}$ , deci

h = x h^{- 1} x . (*)

(3 p)

Pentru orice $h_{1}, h_{2} \in H$ și $x \in G ∖ H$ avem atunci:

\begin{aligned} h_{1} h_{2} & \overset{(*)}{=} x (h_{1} h_{2})^{- 1} x = x h_{2}^{- 1} h_{1}^{- 1} x \\ = x h_{2}^{- 1} x^{2} h_{1}^{- 1} x \\ = (x h_{2}^{- 1} x) (x h_{1}^{- 1} x) \overset{(*)}{=} h_{2} h_{1}, \end{aligned}

așadar $H$ este comutativ. (3 p)

Observație din barem: subgrupul $H$ este, în condițiile problemei, un subgrup normal al grupului $G$ , iar aplicația de inversare fiind un automorfism al grupului $H$ , ca restricție la $H$ a oricărui automorfism interior al lui $G$ indus de un element oarecare $x \in G ∖ H$ , grupul $H$ este comutativ. Orice soluție care arată acest lucru va primi complet punctajul de 6 p aferent subpunctului c).

Problema 4 (22,5 puncte · funcții continue, iterate, limita unor integrale)

Fie $f : [0, 1] \to [0, 1]$ o funcție continuă și bijectivă, cu proprietatea că

f (x) < x, pentru orice x \in (0, 1) .

Pentru $n \in N^{*}$ , notăm

f_{n} = \underset{n funcții}{\underset{⏟}{f \circ f \circ \dots \circ f}} și I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x .

a) Demonstrați că pentru orice $x \in (0, 1)$ , $lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ $= 0$ .
b) Determinați $lim_{n \to \infty} I_{n}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Deoarece $f$ este continuă, trecând la limită, când $x \to 0$ , din inegalitatea din enunț obținem $0$ $\leq f (0)$ $= lim_{x \to 0} f (x)$ $\leq 0$ , deci $f (0) = 0$ . (1,5 p)

Funcția $f$ este continuă și injectivă, deci este strict monotonă. Deoarece $f (0) = 0$ , rezultă că $f$ este strict crescătoare. (3 p)

Fie $x \in (0, 1)$ . Din $f (x) < x$ rezultă inductiv că $0$ $< f_{n + 1} (x)$ $= f (f_{n} (x))$ $< f_{n} (x)$ , $\forall n \in N^{*}$ . Deoarece șirul $(f_{n} (x))_{n \geq 1}$ este strict descrescător și mărginit, există $a (x)$ $= lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \in [0, 1)$ . Folosind continuitatea funcției $f$ rezultă că

\begin{aligned} a (x) & = lim_{n \to \infty} f_{n + 1} (x) = lim_{n \to \infty} f (f_{n} (x)) \\ = f (lim_{n \to \infty} f_{n} (x)) = f (a (x)), \end{aligned}

așadar $a (x) = 0$ (dacă $a (x) \in (0, 1)$ , am avea $f (a (x)) < a (x)$ ), adică $lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ $= 0$ , oricare ar fi $x \in (0, 1)$ . (3 p)

b) Fie $ε \in (0, 1)$ . Pentru orice $n \in N^{*}$ , fiind compunere de funcții bijective strict crescătoare, funcția $f_{n}$ este bijectivă și strict crescătoare, cu $f_{n} (1) = 1$ . (3 p)

Obținem că

\begin{aligned} 0 < I_{n} & = \int_{0}^{1 - ε} f_{n} (x) d x \\ + \int_{1 - ε}^{1} f_{n} (x) d x \\ \leq (1 - ε) \cdot f_{n} (1 - ε) + ε \cdot f_{n} (1) \\ = (1 - ε) \cdot f_{n} (1 - ε) + ε . \end{aligned}

(6 p)

Cum $1 - ε \in (0, 1)$ , conform a) obținem că $lim_{n \to \infty} f_{n} (1 - ε)$ $= 0$ , astfel că

0 \leq lim inf I_{n} \leq lim sup I_{n} \leq ε .

(3 p)

Cum $ε \in (0, 1)$ a fost oarecare, rezultă că $lim_{n \to \infty} I_{n}$ $= 0$ . (3 p)

Observație din barem: în limbaj de integrabilitate Lebesgue (teorie neelementară), enunțul este o consecință a teoremei convergenței dominate (care nu are o demonstrație elementară). Concurenților care invocă teoreme de teoria măsurii, pentru a rezolva punctul b) al problemei, li se va acorda punctajul doar în cazul în care enunță corect aceste teoreme și verifică dacă sunt îndeplinite toate condițiile pentru aplicarea lor.

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $g (x) = a (x^{2} - x) + b$ , integrala este $0$ ; b) $\int_{0}^{1} f^{″} (x) (x^{2} - x)^{2} d x = 0$ , deci $f^{″} (c) = 0$
2	a) $F_{f}$ subgrup; b) $F_{g^{- 1} \circ f} = A$ , Lagrange; exemplu $Z_{q} \times Z_{p}$
3	demonstrații: $x^{2} = e$ , $y^{3} = e$ , $Z (G) = {e}$ , $H$ comutativ
4	a) $f_{n} (x) \to 0$ ; b) $lim I_{n} = 0$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Integrala definită, integrare prin părți, teorema de medie
2	Grupuri, endomorfisme și automorfisme, teorema lui Lagrange
3	Grupuri, subgrupuri, centrul unui grup
4	Funcții continue bijective, șiruri de funcții, limita unui șir de integrale

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a XII-a? Patru probleme: o funcție cu $\int_{0}^{1} f = 0$ pentru care $f^{″}$ se anulează în $(0, 1)$ , punctele fixe ale unui endomorfism de grup și numărul minim $m = \frac{n}{p} + 1$ , un grup cu $(x y)^{2} = y x$ în afara unui subgrup $H$ și limita integralelor iteratelor unei funcții continue bijective.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2026? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform subiectelor oficiale din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2026? Subiectele și soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs de inspectoratele școlare și preluate de presa de educație. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase de liceu, etapa județeană 2026: clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XI-a. Alte competiții de matematică găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană, 7 martie 2026): subiectul și soluțiile și baremul, copii publicate de edupedu.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa județeană — clasa a XII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (22,5 puncte · integrala definită, integrare prin părți)

Problema 2 (22,5 puncte · grupuri, endomorfisme, teorema lui Lagrange)

Problema 3 (22,5 puncte · grupuri, subgrupuri, centrul unui grup)

Problema 4 (22,5 puncte · funcții continue, iterate, limita unor integrale)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe