Olimpiada de matematică 2025 națională, clasa a VIII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa națională, clasa a VIII-a?

Patru probleme: numerele a, b, c pentru care ab + bc + ca este prim și divide a²b² + b²c² + c²a², egalitatea părților fracționare ale fracțiilor (a)/(b + c), (b)/(c + a), (c)/(a + b), numărul a cu a + a² + a³ întreg și coplanaritatea proiecțiilor unui punct pe fețele unei piramide.

Q: Cum se punctează proba la etapa națională a olimpiadei de matematică 2025?

Subiectul are 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem; pentru unele probleme baremul oferă mai multe variante de rezolvare, iar elevul primește punctajul cel mai mare.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2025?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate de SSMR pe pagina ONM 2025. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2025, etapa națională, clasa a VIII-a (Buzău, 7 aprilie 2025), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: singura soluție a problemei 1 este $a = b = c = 1$ ; la problemele 2 și 3 se arată $a = b = c$ , respectiv că $a$ este întreg; la problema 4, proiecțiile lui $O$ pe fețele laterale sunt coplanare exact când $O$ este pe o diagonală.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională participă elevii calificați după etapa județeană din 8 martie 2025. În 2025, ediția a LXXV-a, etapa națională pentru clasele V–VIII s-a desfășurat la Buzău (6–11 aprilie), proba scrisă având loc pe 7 aprilie 2025. Toți elevii de clasa a VIII-a au primit același subiect: 4 probleme, fiecare notată, conform baremului oficial, cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Unde baremul oferă mai multe variante, le găsești pe toate; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · numere prime, identități algebrice)

Determinați numerele naturale nenule $a, b, c$ pentru care $a b + b c + c a$ este un număr prim $p$ și $p$ divide numărul $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: exprimăm $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$ cu ajutorul lui $a b + b c + c a$ .

Avem $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$ $= (a b + b c + c a)^{2} - 2 a b c (a + b + c)$ . (2 p)
Astfel, $p$ trebuie să dividă $2 a b c (a + b + c)$ ; cum $p \geq 3$ ( $p = a b + b c + c a \geq 3$ ), $p$ divide $a b c (a + b + c)$ . (1 p)
Deoarece $p$ este prim, trebuie ca $p ∣ a$ , $p ∣ b$ , $p ∣ c$ sau $p ∣ (a + b + c)$ . (2 p)
Primele trei situații sunt imposibile, deoarece $a, b, c < p$ (de exemplu, $a \leq a b < a b + b c + c a$ ). A patra situație este posibilă doar dacă $a = b = c = 1$ : avem $a + b + c$ $\leq a b + b c + c a$ $= p$ , cu egalitate doar pentru $a = b = c = 1$ , iar $p ∣ a + b + c$ cere $a + b + c \geq p$ . Acest caz convine. (2 p)

Verificare: pentru $a = b = c = 1$ : $p = 3$ este prim și $3 ∣ 1 + 1 + 1 = 3$ . ✓

Răspuns: $a = b = c = 1$ .

Problema 2 (7 puncte · partea fracționară, numere raționale, discriminant)

Fie $a, b, c$ numere reale strict pozitive, astfel încât

{\frac{a}{b + c}} = {\frac{b}{c + a}} = {\frac{c}{a + b}},

unde ${x}$ reprezintă partea fracționară a numărului real $x$ .

a) Arătați că cel puțin două dintre numerele $a, b, c$ sunt egale.

b) Arătați că, dacă $a, b, c$ sunt numere raționale, atunci $a = b = c$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: fracțiile care au la numărător numerele mai mici sunt subunitare, deci sunt egale cu partea lor fracționară.

a) Datorită simetriei ipotezei, putem presupune, fără a pierde generalitatea, că $a \leq c$ și $b \leq c$ . Atunci $0$ $< \frac{a}{b + c}$ $< 1$ și $0$ $< \frac{b}{c + a}$ $< 1$ . Obținem ${\frac{a}{b + c}}$ $= \frac{a}{b + c}$ , ${\frac{b}{a + c}}$ $= \frac{b}{a + c}$ , deci $\frac{a}{b + c}$ $= \frac{b}{c + a}$ , adică $a^{2} + a c = b^{2} + b c$ , $(a - b) (a + b + c) = 0$ , de unde $a = b$ . (3 p)

Cu presupunerea de la a), obținem $a = b$ , iar ipoteza duce la $\frac{c}{2 a}$ $= \frac{a}{a + c} + n$ , cu $n$ număr natural. (1 p)
Ultima relație duce la $c^{2} + c (a - 2 a n) - 2 a^{2} - 2 a^{2} n$ $= 0$ . Discriminantul ecuației (în necunoscuta $c$ ) este $D = a^{2} (4 n^{2} + 4 n + 9)$ . Deoarece $a$ și $c$ sunt raționale, numărul $4 n^{2} + 4 n + 9$ trebuie să fie pătrat perfect $k^{2}$ , cu $k$ natural. Reiese $8$ $= k^{2} - (2 n + 1)^{2}$ $= (k - (2 n + 1)) (k + (2 n + 1))$ ; factorii au aceeași paritate, deci $k - (2 n + 1) = 2$ și $k + (2 n + 1) = 4$ (singura posibilitate), de unde $n = 0$ . Ecuația devine $c^{2} + a c - 2 a^{2} = 0$ , adică $(c - a) (c + 2 a) = 0$ , deci $c = a$ . (3 p)

Concluzie: a) două dintre numere sunt egale; b) pentru $a, b, c$ raționale, $a = b = c$ .

Problema 3 (7 puncte · numere raționale și iraționale, divizibilitate)

Fie $a$ un număr real pentru care numărul $a + a^{2} + a^{3}$ este întreg. Arătați că, dacă unul dintre numerele $a$ , $a^{2}$ sau $a^{3}$ este rațional, atunci $a$ este număr întreg.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: o rădăcină rațională a unei ecuații cu coeficienți întregi și coeficient dominant 1 este număr întreg; celelalte două cazuri se reduc la acesta.

Fie $a + a^{2} + a^{3} = n$ , cu $n$ număr întreg.

$a$ rațional. Atunci $a = \frac{p}{q}$ , cu $p, q$ numere întregi, coprime. Rezultă $\frac{p}{q} + \frac{p^{2}}{q^{2}} + \frac{p^{3}}{q^{3}}$ $= n$ , de unde $q^{2} p + q p^{2} + p^{3} = q^{3} n$ , deci $q ∣ p^{3}$ . Aceasta nu se poate decât dacă $q = \pm 1$ , ceea ce arată că $a = \pm p$ este număr întreg. (2 p)
$a^{2}$ rațional. Atunci $a + a^{3} = n - a^{2}$ duce, prin ridicare la pătrat, la $a^{2} + 2 a^{4} + a^{6}$ $= n^{2} - 2 a^{2} n + a^{4}$ , deci $a^{2} (1 + 2 n) + a^{4} + a^{6} = n^{2} .$ Un raționament analog cu cel de la cazul precedent, aplicat acestei egalități (cu $a^{2} = \frac{p}{q}$ ireductibilă), arată că $a^{2}$ este întreg. Atunci $a (1 + a^{2}) = n - a^{2}$ este întreg, deci $a$ este rațional și, conform primului caz, $a$ este întreg. (2 p)
$a^{3} = r$ rațional. Atunci $a + a^{2} = n - a^{3}$ este rațional. Rezultă că $(a + a^{2})^{2}$ $= a^{2} + 2 a^{3} + a^{4}$ este rațional, deci (cum $a^{4} = r a$ ) $a^{2} + r a$ este rațional. Deducem că $a^{2} + r a - (a^{2} + a)$ $= (r - 1) a$ este rațional. Dacă $r \neq 1$ , atunci $a$ este rațional, deci, conform primului caz, $a$ este întreg. Dacă $r = 1$ , atunci $a^{3} = 1$ , deci $a = 1 \in Z$ . (3 p)

Concluzie: în toate cele trei cazuri, $a$ este număr întreg.

Problema 4 (7 puncte · piramidă, proiecții pe plane, coplanaritate)

Într-un punct $O$ din interiorul pătratului $A B C D$ se ridică perpendiculara $O S$ . Fie $M, N, P, Q$ proiecțiile punctului $O$ pe planele $(S A B)$ , $(S B C)$ , $(S C D)$ , respectiv $(S D A)$ . Demonstrați că punctele $M, N, P, Q$ sunt coplanare dacă și numai dacă $O$ se află pe una dintre diagonalele pătratului.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: proiecția lui $O$ pe planul $(S A B)$ se află pe $S E$ , unde $O E ⊥ A B$ ; poziția ei depinde doar de distanța de la $O$ la $A B$ .

„⇐” Presupunem că $O$ se află, de exemplu, pe diagonala $A C$ . Fie $O E ⊥ A B$ , $E \in A B$ și $O F ⊥ A D$ , $F \in A D$ . Atunci avem succesiv $O E = O F$ , $△ S O E \equiv △ S O F$ (C.C.), $S E = S F$ . Apoi $M \in S E$ și $O M ⊥ S E$ , $Q \in S F$ și $O Q ⊥ S F$ (teorema celor trei perpendiculare), $△ S O M \equiv △ S O Q$ , $S M = S Q$ , $\frac{S M}{S E}$ $= \frac{S Q}{S F}$ , $Q M ∥ E F$ , deci $Q M ∥ B D$ . Analog avem $N P ∥ B D$ , deci $Q M ∥ N P$ și punctele $M, N, P, Q$ sunt coplanare. (2 p)

„⇒”

Reciproc, presupunem că $M, N, P, Q$ sunt coplanare, într-un plan $α$ . Fie $O G ⊥ C D$ , $G \in C D$ și $O H ⊥ B C$ , $H \in B C$ . Atunci $E, O, G$ sunt coliniare, deci $S E$ , $S O$ , $S G$ sunt coplanare. Rezultă că $S O$ și $M P$ sunt coplanare, iar $S O \cap M P$ coincide cu $S O \cap α$ . Analog, $N Q \cap S O$ coincide cu $S O \cap α$ , deci $M P$ și $N Q$ taie $S O$ în același punct $R$ . (1 p)
Calculăm raportul în care punctul $R$ împarte $O S$ , în funcție de $O S$ , $O E$ și $O G$ . Fie $M T ⊥ O S$ , $P U ⊥ O S$ , $U, T \in O S$ . Din patrulaterul inscriptibil $M O P S$ ( $∠ O M S$ $= ∠ O P S$ $= 90^{\circ}$ ) obținem $△ M S R \sim △ O P R$ , deci $\frac{M S}{O P}$ $= \frac{M R}{O R}$ $= \frac{S R}{P R}$ , de unde $\frac{M S^{2}}{O P^{2}} = \frac{S R}{O R} \cdot \frac{M R}{P R} = \frac{S R}{O R} \cdot \frac{M T}{P U} .$ Rezultă (cu $P U$ $= \frac{P S \cdot P O}{S O}$ , $M T$ $= \frac{M O \cdot M S}{S O}$ și $O P^{2} = P S \cdot P G$ ) $\frac{S R}{O R} = \frac{P U}{M T} \cdot \frac{M S^{2}}{O P^{2}} = \frac{P S \cdot P O \cdot M S^{2}}{M O \cdot M S \cdot P S \cdot P G} = \frac{P O}{P G} \cdot \frac{M S}{M O} .$ Dar $\frac{P O}{P G}$ $= tg ∠ S G O$ $= \frac{S O}{O G}$ și $\frac{M S}{M O}$ $= ctg ∠ M S O$ $= \frac{S O}{O E}$ , deci $\frac{S R}{O R} = \frac{S O^{2}}{O E \cdot O G} .$ (2 p)
Deoarece $N Q$ taie $O S$ tot în $R$ , obținem analog $\frac{S R}{O R}$ $= \frac{S O^{2}}{O F \cdot O H}$ , deci $O E \cdot O G = O F \cdot O H$ . Pe de altă parte, $O E + O G = l = O F + O H$ , unde $l = A B = A D$ . Rezultă $O E (l - O E) = O F (l - O F)$ , apoi $(O E - O F) (l - O E - O F) = 0$ , deci $(O E - O F) (O H - O E) = 0$ . Astfel $O E = O F$ sau $O E = O H$ , ceea ce implică $O \in A C$ sau $O \in B D$ (punctul este egal depărtat de două laturi vecine ale pătratului). (2 p)

Verificare numerică: pentru $A B = 4$ , $S O = 3, 2$ și $O$ pe diagonala $A C$ , determinantul care testează coplanaritatea punctelor $M, N, P, Q$ este 0, iar pentru un punct $O$ în afara diagonalelor este nenul. ✓

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$a = b = c = 1$
2	a) două numere sunt egale; b) $a = b = c$
3	demonstrație: $a$ este întreg
4	demonstrație: $O E \cdot O G = O F \cdot O H$ dă $O \in A C$ sau $O \in B D$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Numere prime, formule de calcul prescurtat	fișă formule de calcul prescurtat
2	Partea fracționară, ecuația de gradul al II-lea	fișă ecuația de gradul 2
3	Numere raționale și iraționale	fișă rapoarte algebrice
4	Piramida, perpendicularitate, coplanaritate	fișă perpendicularitate în spațiu · fișă piramida

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa națională, clasa a VIII-a? Patru probleme: numerele $a, b, c$ pentru care $a b + b c + c a$ este prim și divide $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$ , egalitatea părților fracționare ale fracțiilor $\frac{a}{b + c}$ , $\frac{b}{c + a}$ , $\frac{c}{a + b}$ , numărul $a$ cu $a + a^{2} + a^{3}$ întreg și coplanaritatea proiecțiilor unui punct pe fețele unei piramide.

Cum se punctează proba la etapa națională a olimpiadei de matematică 2025? Subiectul are 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem; pentru unele probleme baremul oferă mai multe variante de rezolvare, iar elevul primește punctajul cel mai mare.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2025? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate de SSMR pe pagina ONM 2025. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2025 — clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VII-a; aceeași clasă, etapa județeană: 2025 · 2026; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 8-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Buzău, 7 aprilie 2025): soluțiile și baremul, cu enunțurile, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2025, etapa națională, clasa a VIII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · numere prime, identități algebrice)

Problema 2 (7 puncte · partea fracționară, numere raționale, discriminant)

Problema 3 (7 puncte · numere raționale și iraționale, divizibilitate)

Problema 4 (7 puncte · piramidă, proiecții pe plane, coplanaritate)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe