Olimpiada de matematică 2026 națională, clasa a VII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VII-a?

Patru probleme: un sistem cu abc = 3(a + b + c) și ab + bc + ca = 4(a + b + c) - 1, un patrulater convex cu ADC = 4 · DAB, perechile (a, b) pentru care două fracții sunt numere naturale și o demonstrație de egalitate de unghiuri într-un triunghi dreptunghic.

Q: Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026?

Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa națională, clasa a VII-a (Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $(a - 1) (b - 1) (c - 1) = 0$ , iar pentru $a = 1$ perechile $(b, c)$ sunt cele cu $(b - 3) (c - 3) = 12$ ; unghiurile patrulaterului sunt $36^{\circ}$ , $108^{\circ}$ , $72^{\circ}$ , $144^{\circ}$ ; singura pereche la problema 3 este $(1, 1)$ ; la geometrie se folosesc teorema lui Ceva și un patrulater inscriptibil.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa națională 2026 pentru clasele V–VIII s-a desfășurat între 30 martie și 3 aprilie 2026, la Drobeta-Turnu Severin (județul Mehedinți); proba scrisă a avut loc pe 31 martie 2026, data din antetul documentelor oficiale. Elevii de clasa a VII-a calificați de la etapa județeană au primit același subiect: 4 probleme. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu (total 100).

Cum să folosești pagina: sunt probleme grele, de nivel național — citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–40 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial, așa că vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (22,5 puncte · calcul algebric, descompuneri)

Numerele naturale nenule $a$ , $b$ , $c$ , distincte două câte două, îndeplinesc condițiile: $a b c = 3 (a + b + c)$ și $a b + b c + c a$ $= 4 (a + b + c) - 1$ .

a) Arătați că unul dintre numere este 1.

b) În cazul $a = 1$ , determinați toate valorile posibile ale perechii $(b, c)$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Observăm că (notăm $S = a + b + c$ ):

\begin{aligned} (a - 1) (b - 1) (c - 1) & = a b c - (a b + b c + c a) + (a + b + c) - 1 \\ = 3 S - (4 S - 1) + S - 1 = 0. \end{aligned}

Atunci unul dintre numerele $a - 1$ , $b - 1$ , $c - 1$ este egal cu 0, deci unul dintre numerele $a, b, c$ este egal cu 1. (9 p)

b) Pentru $a = 1$ , cele două relații devin $b c = 3 + 3 b + 3 c$ (ambele relații dau aceeași egalitate), adică $b c - 3 b - 3 c = 3$ , sau $(b - 3) (c - 3) = 12$ . (6 p)

Analizând descompunerile numărului 12 în produs de doi factori (factorii nu pot fi negativi: $b - 3 \geq - 2$ și $c - 3 \geq - 2$ , iar produsul a doi factori din ${- 2, - 1}$ este cel mult 4): $12$ $= 1 \cdot 12$ $= 2 \cdot 6$ $= 3 \cdot 4$ $= 4 \cdot 3$ $= 6 \cdot 2$ $= 12 \cdot 1$ , obținem în final soluțiile $(4, 15)$ , $(5, 9)$ , $(6, 7)$ , $(7, 6)$ , $(9, 5)$ , $(15, 4)$ (în toate, numerele $1, b, c$ sunt distincte). (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Soluție alternativă (din barem). Împărțind prima relație la $a b c$ obținem $1$ $= \frac{3}{b c} + \frac{3}{a c} + \frac{3}{a b}$ (3 p). Putem presupune că $a$ este cel mai mic dintre numere. Dacă $a \geq 3$ , atunci $b, c \geq 4$ (distincte), $a b \geq 12$ , $a c \geq 12$ , $b c \geq 16$ , iar $\frac{3}{b c} + \frac{3}{a c} + \frac{3}{a b}$ $\leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}$ $< 1$ , imposibil (3 p). Dacă $a = 2$ , a doua relație dă $b c - 2 b - 2 c = 7$ , adică $(b - 2) (c - 2) = 11$ : $b = 3, c = 13$ sau $b = 13, c = 3$ , dar în niciunul dintre cazuri nu se verifică prima relație. Așadar cel mai mic dintre numere este 1 (3 p). Pentru $a = 1$ continuăm ca mai sus (12 p).

Verificare: $(1, 4, 15)$ : $1 \cdot 4 \cdot 15$ $= 60$ $= 3 \cdot 20$ și $4 + 60 + 15$ $= 79$ $= 4 \cdot 20 - 1$ . ✓

Răspuns: b) $(b, c) \in {(4, 15), (5, 9), (6, 7), (7, 6), (9, 5), (15, 4)}$ .

Problema 2 (22,5 puncte · patrulatere, trapez, congruență)

În patrulaterul convex $A B C D$ știm că $∠ A D C$ $= 4 \cdot ∠ D A B$ $= 4 \cdot ∠ D B C$ , $B D = B C$ , iar $D B$ este bisectoarea unghiului $A D C$ .

a) Aflați măsurile unghiurilor patrulaterului.

b) Fie $M$ mijlocul laturii $A B$ . Arătați că $A C = 2 \cdot D M$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Notăm $∠ D A B$ $= ∠ D B C$ $= α$ ; rezultă $∠ A D C = 4 α$ , iar, $D B$ fiind bisectoare, $∠ A D B$ $= ∠ B D C$ $= 2 α$ . Din $B D = B C$ rezultă că triunghiul $B C D$ este isoscel, cu $∠ B C D$ $= ∠ B D C$ $= 2 α$ . (3 p)

În triunghiul $B C D$ avem $∠ D B C + ∠ B C D + ∠ C D B$ $= 180^{\circ}$ , adică $5 α = 180^{\circ}$ , de unde $α = 36^{\circ}$ . În triunghiul $A B D$ : $∠ A B D$ $= 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ}$ $= 72^{\circ}$ . Astfel: $∠ D A B = 36^{\circ}$ , $∠ A B C$ $= 72^{\circ} + 36^{\circ}$ $= 108^{\circ}$ , $∠ B C D = 72^{\circ}$ , $∠ C D A = 144^{\circ}$ . (6 p)

b) Deoarece $∠ A B C + ∠ B C D$ $= 180^{\circ}$ , rezultă $C D ∥ A B$ , iar $A B C D$ este trapez. (3 p)

Notăm cu $N$ simetricul lui $D$ față de $M$ ; atunci $D N = 2 \cdot D M$ . Pentru a dovedi concluzia este suficient să arătăm că $△ D B N \equiv △ C B A$ . (*) (3 p)

Diagonalele $A B$ și $D N$ ale patrulaterului $A D B N$ se înjumătățesc în $M$ , deci $A D B N$ este paralelogram. Reiese $B N = A D$ și $∠ N B D$ $= 180^{\circ} - ∠ A D B$ $= 180^{\circ} - 72^{\circ}$ $= 108^{\circ}$ $= ∠ A B C$ . În triunghiul $A B D$ , $∠ A B D$ $= ∠ A D B$ $= 72^{\circ}$ , deci $A D = A B$ , adică $B N = B A$ . Cum și $B D = B C$ , relația (*) este dovedită (cazul LUL). Deci $A C = D N = 2 \cdot D M$ . (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: a) $∠ A = 36^{\circ}$ , $∠ B = 108^{\circ}$ , $∠ C = 72^{\circ}$ , $∠ D = 144^{\circ}$ ; b) demonstrație.

Problema 3 (22,5 puncte · divizibilitate, inegalități)

Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale nenule pentru care numerele $\frac{a^{2} + b}{a + b - 1}$ și $\frac{b^{2} + a}{a + b}$ sunt naturale.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: scoatem „partea întreagă” din fiecare fracție și comparăm resturile.

Avem

m = \frac{a^{2} + b}{a + b - 1} = a + 1 - \frac{a b - 1}{a + b - 1} și n = \frac{b^{2} + a}{a + b} = b + 1 - \frac{a b + b}{a + b} .

(9 p)

(Verificare: $(a + 1) (a + b - 1) - (a b - 1)$ $= a^{2} + b$ și $(b + 1) (a + b) - (a b + b)$ $= b^{2} + a$ .)

Dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale, atunci fracțiile $\frac{a b - 1}{a + b - 1}$ și $\frac{a b + b}{a + b}$ sunt numere întregi, deci și diferența lor

p = \frac{a b + b}{a + b} - \frac{a b - 1}{a + b - 1} = \frac{b^{2} + a}{(a + b) (a + b - 1)}

este un număr întreg, evident pozitiv. Apoi

\begin{aligned} p < 1 & ⟺ b^{2} + a < a^{2} + 2 a b + b^{2} - a - b \\ ⟺ a (a - 2) + b (2 a - 1) > 0, \end{aligned}

iar ultima inegalitate este adevărată pentru $a \geq 2$ . Un număr întreg nu poate fi strict între 0 și 1, deci în cazul $a \geq 2$ nu există soluții. (9 p)

Pentru $a = 1$ : $m$ $= \frac{b + 1}{b}$ $= 1 + \frac{1}{b}$ este natural doar pentru $b = 1$ , iar atunci $n = \frac{2}{2} = 1$ . Obținem soluția $(1, 1)$ . (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Altă soluție (din barem, pe scurt). Dacă $a = 1$ rezultă $m = 1 + \frac{1}{b}$ , natural doar pentru $b = 1$ ; asemănător dacă $b = 1$ . Obținem soluția $(1, 1)$ (3 p). Pentru $a, b \geq 2$ , fie $s = a + b \geq 4$ . Atunci $n$ $= \frac{s + b (b - 1)}{s}$ $= 1 + \frac{c}{s}$ (3 p) și $m$ $= \frac{(s - b)^{2} + b}{s - 1}$ $= s - 2 b + 1 + \frac{c + 1}{s - 1}$ , unde $c = b (b - 1) \geq 2$ (6 p). Dacă $c = k s$ , atunci $s > b$ duce la $k < b - 1$ . Apoi $s - 1 ∣ k s + 1$ $= k (s - 1) + k + 1$ implică $s - 1 ∣ k + 1$ , deci $k$ $\geq s - 2$ $= a + b - 2$ $\geq b$ — contradicție. Astfel, în cazul $a, b \geq 2$ nu există soluții (9 p).

Răspuns: singura pereche este $(a, b) = (1, 1)$ .

Problema 4 (22,5 puncte · teorema lui Ceva, patrulater inscriptibil)

Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în care punctele $M$ și $N$ sunt respectiv mijloacele catetelor $A B$ și $A C$ . Perpendiculara din $M$ pe $B N$ intersectează $B C$ în punctul $P$ . Dreptele $A P$ și $C M$ se intersectează în $K$ . Demonstrați că $∠ A B K = ∠ N B C$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Triunghiul este dreptunghic în $A$ ( $A B$ și $A C$ sunt catete). Notăm ${S} = B K \cap A C$ .

Teorema lui Ceva aplicată în triunghiul $A B C$ pentru cevienele concurente $B S$ , $A P$ și $C M$ dă $\frac{A M}{M B} \cdot \frac{B P}{P C} \cdot \frac{C S}{S A}$ $= 1$ . Cum $C M$ este mediană ( $A M = M B$ ), obținem $\frac{B P}{P C}$ $= \frac{S A}{S C}$ , iar din reciproca teoremei lui Thales rezultă $P S ∥ B A$ . De aici, $∠ B S P = ∠ A B S$ (alterne interne). (1) (6 p)
Notăm ${L} = P M \cap A C$ . În triunghiul $B L N$ , $B A$ (pentru că $B A ⊥ A C$ ) și $L P$ (pentru că $M P ⊥ B N$ ) sunt înălțimi, prin urmare $M$ este ortocentrul triunghiului $B L N$ și, în consecință, $N M$ este, de asemenea, înălțime: $N M ⊥ B L$ . (3 p)
Deoarece $M N$ este linie mijlocie în triunghiul $A B C$ , avem $M N ∥ B C$ , deci $B C ⊥ B L$ . Pe de altă parte, $P S ∥ B A$ și $B A ⊥ A C$ , deci $P S ⊥ S L$ . Astfel, patrulaterul $L B P S$ are două unghiuri opuse drepte ( $∠ L B P$ $= ∠ L S P$ $= 90^{\circ}$ ), deci este inscriptibil, de unde $∠ B S P = ∠ B L P$ (subîntind același arc $B P$ ). Cu (1): $∠ A B K = ∠ B L P$ . (2) (6 p)
În sfârșit, $L P ⊥ B N$ , deci $∠ B L P$ $= 90^{\circ} - ∠ L B N$ ; cum $∠ L B C = 90^{\circ}$ , avem și $∠ N B C$ $= 90^{\circ} - ∠ L B N$ . Așadar $∠ B L P = ∠ N B C$ , iar relația (2) implică $∠ A B K$ $= ∠ A B S$ $= ∠ N B C$ . (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Altă soluție (din barem). Notăm $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ . Arătăm că $B S$ este simediană, adică, conform relației lui Steiner, $\frac{A S}{S C}$ $= \frac{c^{2}}{a^{2}}$ (3 p). Conform teoremei lui Ceva în $△ A B C$ (cu $A M = M B$ ), aceasta revine la $\frac{B P}{P C}$ $= \frac{c^{2}}{a^{2}}$ (6 p). Fie $R$ , $T$ intersecțiile perpendicularei din $A$ pe $B N$ cu $B N$ , respectiv $B C$ . Teorema lui Menelaus în $△ B N C$ cu punctele coliniare $A$ , $R$ , $T$ arată că $\frac{B T}{T C}$ $= \frac{B R}{R N} \cdot \frac{A N}{A C}$ $= \frac{2 c^{2}}{b^{2}}$ , deoarece $\frac{B R}{R N}$ $= \frac{A B^{2}}{A N^{2}}$ $= \frac{4 c^{2}}{b^{2}}$ (teorema catetei în $△ A B N$ ) (9 p). Obținem $\frac{B T}{B C}$ $= \frac{2 c^{2}}{2 c^{2} + b^{2}}$ . Cum $M P ∥ A T$ (ambele sunt perpendiculare pe $B N$ ) și $M$ este mijlocul lui $A B$ , $P$ este mijlocul lui $B T$ , deci $\frac{B P}{B C}$ $= \frac{c^{2}}{2 c^{2} + b^{2}}$ și $\frac{B P}{P C}$ $= \frac{c^{2}}{c^{2} + b^{2}}$ $= \frac{c^{2}}{a^{2}}$ (3 p).

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $(a - 1) (b - 1) (c - 1) = 0$ ; b) $(4, 15), (5, 9), (6, 7), (7, 6), (9, 5), (15, 4)$
2	a) $36^{\circ}, 108^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}$ ; b) $△ D B N \equiv △ C B A$
3	$(a, b) = (1, 1)$
4	demonstrație (Ceva, ortocentru, patrulater inscriptibil)

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Calcul algebric, descompunere în factori	fișă operații cu numere reale
2	Patrulatere, trapez, paralelogram, congruență	fișă patrulatere
3	Divizibilitate, inegalități	fișă recapitulare algebră
4	Teorema lui Thales, linia mijlocie, cercul (patrulater inscriptibil)	fișă Thales și linia mijlocie · fișă cercul

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VII-a? Patru probleme: un sistem cu $a b c = 3 (a + b + c)$ și $a b + b c + c a = 4 (a + b + c) - 1$ , un patrulater convex cu $∠ A D C = 4 \cdot ∠ D A B$ , perechile $(a, b)$ pentru care două fracții sunt numere naturale și o demonstrație de egalitate de unghiuri într-un triunghi dreptunghic.

Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026? Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2026 — clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a; aceeași clasă, etapa județeană: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VII-a; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (22,5 puncte · calcul algebric, descompuneri)

Problema 2 (22,5 puncte · patrulatere, trapez, congruență)

Problema 3 (22,5 puncte · divizibilitate, inegalități)

Problema 4 (22,5 puncte · teorema lui Ceva, patrulater inscriptibil)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe