Olimpiada de matematică 2026, etapa locală (Cluj) — clasa a VIII-a, subiecte rezolvate

a) Desfacem parantezele: $$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.$$ (5 p)

Folosim faptul că, pentru numere pozitive, ${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}$ $={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{xy}}$ $\ge 2$ (echivalent cu $x^2+y^2-2xy$ $=(x-y{)}^2$ $\ge 0$), și analog pentru celelalte două perechi. (5 p)

Grupând termenii în perechi, avem $(x+y+z)({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}})$ $\ge 3+2+2+2$ $=9$. (5 p)

b) Cum $x+y+z=1$, avem $1-x=y+z$, $1-y=x+z$, $1-z=x+y$, deci $$\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z}=\frac{x}{x+y+z-x}+\frac{y}{x+y+z-y}+\frac{z}{x+y+z-z}.$$ Vom demonstra că ${\displaystyle \frac{x}{y+z}}+{\displaystyle \frac{y}{x+z}}+{\displaystyle \frac{z}{x+y}}$ $\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$. (2 p)

Adunăm câte 1 la fiecare fracție (și $3$ în membrul drept): ${\displaystyle \frac{x}{y+z}}+1+{\displaystyle \frac{y}{x+z}}+1+{\displaystyle \frac{z}{x+y}}+1$ $\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}+3$ $={\displaystyle \frac{9}{2}}$, adică $$\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge \frac{9}{2}.$$ (2 p)

Scoatem factorul comun $x+y+z$: $(x+y+z)({\displaystyle \frac{1}{y+z}}+{\displaystyle \frac{1}{x+z}}+{\displaystyle \frac{1}{x+y}})$ $\ge {\displaystyle \frac{9}{2}}$. (2 p)

Notăm $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$ (numere pozitive) și avem $x+y+z$ $={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$. Inegalitatea se rescrie ${\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})$ $\ge {\displaystyle \frac{9}{2}}$. (2 p)

Folosind relația demonstrată la punctul a), avem $(a+b+c)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})$ $\ge 9$ și, împărțind la 2, obținem concluzia. (2 p)

Notă: în baremul oficial, ultimul pas trimite la „relația demonstrată la punctul b)”; este vorba, evident, de inegalitatea de la punctul a).

Când avem egalitate? La a) pentru $x=y=z$; la b) pentru $x=y=z={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (fiecare fracție este ${\displaystyle \frac{1}{2}}$).

a) Folosim inegalitatea mediilor $m_a\ge m_g$ (pentru numere pozitive, $u+v\ge 2\sqrt{uv}$): $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}\cdot \frac{a+b}{4}}=2\sqrt{\frac{a^2}{4}}=a.$$ (10 p)

b) Din a), și analog pentru $b$ și $c$ (${\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}+{\displaystyle \frac{b+c}{4}}$ $\ge b$), adunând: $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a+b.$$ (5 p)

Atunci $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}\ge a+b-\frac{a+b}{4}-\frac{b+c}{4}=\frac{3a+2b-c}{4}=\frac{2026}{4}.$$ (5 p)

Dar din enunț ${\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}$ $\le {\displaystyle \frac{2026}{4}}$, deci ${\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}$ $={\displaystyle \frac{2026}{4}}$, adică în ambele inegalități ale mediilor are loc egalitatea. Egalitatea are loc când cei doi termeni sunt egali: ${\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}$ $={\displaystyle \frac{a+b}{4}}\Rightarrow 4a^2$ $=(a+b{)}^2\Rightarrow 2a$ $=a+b\Rightarrow a$ $=b$ și ${\displaystyle \frac{b^2}{b+c}}$ $={\displaystyle \frac{b+c}{4}}\Rightarrow b$ $=c$. Atunci $3a+2a-a=4a=2026$, deci $a$ $=b$ $=c$ $={\displaystyle \frac{2026}{4}}$ $=506,5$. (5 p)

Verificare: $3\cdot 506,5+2\cdot 506,5-506,5$ $=4\cdot 506,5$ $=2026$ ✓; ${\displaystyle \frac{a^2}{2a}}+{\displaystyle \frac{a^2}{2a}}$ $=a$ $=506,5$ $={\displaystyle \frac{2026}{4}}$ ✓.

Răspuns: $a=b=c=506,5$.

Ideea: toți factorii sunt simetrici față de 105, deci notăm $105=a$ și grupăm factorii două câte doi, ca să apară diferențe de pătrate.

1. Notăm $105=a$. (3 p)
2. $$n=(a-5)(a-3)(a+3)(a+5)+(a-4)(a-2)(a+2)(a+4)+100$$ (3 p)
3. $$=(a^2-9)(a^2-25)+(a^2-4)(a^2-16)+100$$ (3 p)
4. $$=(a^4-34a^2+225)+(a^4-20a^2+64)+100$$ (3 p)
5. Împărțim cele $225+64+100=389$ unități în $289={17}^2$ și $100={10}^2$: $$n=(a^4-34a^2+289)+(a^4-20a^2+100)$$ (3 p)
6. $$=(a^2-17{)}^2+(a^2-10{)}^2$$ (3 p)
7. $=({105}^2-17{)}^2+({105}^2-10{)}^2$ $={11008}^2+{11015}^2$, pentru că ${105}^2=11025$. (2 p)

Verificare: $n=242506289$, iar ${11008}^2+{11015}^2$ $=121176064+121330225$ $=242506289$ ✓.

Răspuns: $n={11008}^2+{11015}^2$.

Desen corect (piramida, cu $M$ mijlocul lui $BC$ și $T$ pe $DC$). (3 p)

1. Fie $N$ mijlocul laturii $CD$. Fața $SDC$ este triunghi isoscel, deci $SN\perp DC$ (apotema piramidei) și, cu teorema lui Pitagora în triunghiul $SNC$: $SN$ $=\sqrt{S{C}^2-N{C}^2}$ $=\sqrt{432-144}$ $=\sqrt{288}$ $=12\sqrt{2}$ cm. (7 p)
2. Pentru a găsi drumul minim între un punct aflat pe fața $SDC$ și un punct aflat în planul bazei $ABCD$, trecând prin muchia comună $DC$, desfășurăm fața laterală $SDC$ în același plan cu baza $ABCD$ (în desen, $S$ ajunge în $S^{\prime }$). Punctele $S$, $T$ și $M$ vor fi coliniare în desfășurare pentru ca suma $ST+TM$ să fie minimă: $\{T\}=SM\cap DC$. (5 p)
3. În desfășurare, $\mathrm{\angle }SNT\equiv \mathrm{\angle }MCT$ $={90}^{\circ }$ și $\mathrm{\angle }STN\equiv \mathrm{\angle }MTC$ (unghiuri opuse la vârf), deci $\mathrm{△}SNT\sim \mathrm{△}MCT$. Rezultă ${\displaystyle \frac{CT}{NT}}$ $={\displaystyle \frac{MC}{SN}}$ $={\displaystyle \frac{12}{12\sqrt{2}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$. Cum $CT+NT=NC=12$, notând $CT=t$ avem $\sqrt{2}t=12-t$, deci $t$ $={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{2}+1}}$ $=12(\sqrt{2}-1)$ cm. (5 p)

Răspuns: $CT=12(\sqrt{2}-1)$ cm (aproximativ 4,97 cm).