Olimpiada matematică etapa locală 2024 clasa a 6-a

Subiectul oficial de la Olimpiada de matematică 2024, etapa locală din București, clasa a VI-a (sâmbătă, 10 februarie 2024): un test grilă cu 24 de probleme, fiecare cu rezolvare explicată și răspunsul din baremul oficial. Temele: unghiuri și bisectoare, divizibilitate, rapoarte și proporții, procente, cercul.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa locală nu are un subiect unic la nivel național: fiecare inspectorat școlar își stabilește propriul subiect, așa că problemele diferă de la un județ la altul. Pe această pagină este subiectul dat în București (Inspectoratul Școlar al Municipiului București, același subiect în toate sectoarele), sâmbătă, 10 februarie 2024. Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană 2024 (clasa a VI-a).

La clasa a VI-a, subiectul din București a fost un test grilă: 24 de probleme, fiecare cu cinci variante de răspuns (A–E), dintre care una singură este corectă. Timp de lucru: 180 de minute. Fiecare problemă se punctează cu 1 punct, deci punctajul maxim este 24. Baremul oficial conține doar literele răspunsurilor corecte; rezolvările de mai jos sunt scrise de Matepenet și ajung la răspunsul din barem.

Cum să folosești pagina: rezolvă problemele pe o foaie, notează litera aleasă, apoi deschide rezolvarea. Varianta corectă este marcată cu verde; dacă vrei să lucrezi fără să o vezi, folosește butonul de printare a subiectului.

Cuprins: Problemele 1–12 · Problemele 13–24 · Răspunsuri pe scurt

Problemele 1–12

Problema 1 (1 punct · mărimi proporționale)

Doi muncitori sapă 2 m de șanț în 2 ore. În 5 ore, câți muncitori vor săpa 5 m de șanț?

5
10
4
3
2 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Doi muncitori sapă 2 m în 2 ore, deci un muncitor sapă 1 m în 2 ore, adică 0,5 m pe oră. În 5 ore, un muncitor sapă 2,5 m, așa că pentru 5 m sunt necesari $5 : 2, 5 = 2$ muncitori.

Răspuns corect: E (conform baremului oficial).

Problema 2 (1 punct · proporționalitate directă)

Dacă $\overset{―}{a b a b}$ și răsturnatul său sunt direct proporționale cu numerele 2 și 9, atunci suma $a + b$ este egală cu:

11
7
9 ✓ răspuns corect
8
0

Vezi rezolvarea

Răsturnatul este $\overset{―}{b a b a}$ . Cum $\overset{―}{a b a b}$ $= 101 \cdot \overset{―}{a b}$ și $\overset{―}{b a b a}$ $= 101 \cdot \overset{―}{b a}$ , condiția $\frac{\overset{―}{a b a b}}{2}$ $= \frac{\overset{―}{b a b a}}{9}$ devine $9 \cdot \overset{―}{a b}$ $= 2 \cdot \overset{―}{b a}$ :

$90 a + 9 b = 20 b + 2 a$ , deci $88 a = 11 b$ , adică $b = 8 a$ . Cifrele nenule dau $a = 1$ , $b = 8$ (verificare: $1818 : 2 = 909 = 8181 : 9$ ), iar $a + b = 9$ .

Răspuns corect: C (conform baremului oficial).

Problema 3 (1 punct · procente)

Un obiect se ieftinește cu 40%. Cu cât la sută ar trebui să se scumpească, pentru a ajunge la prețul inițial?

0,(6)%
40%
60%
66,(6)% ✓ răspuns corect
70%

Vezi rezolvarea

Dacă prețul inițial este $p$ , după ieftinire devine $0, 6 p$ . Scumpirea trebuie să adauge $0, 4 p$ , adică $\frac{0, 4 p}{0, 6 p}$ $= \frac{2}{3}$ din prețul redus, iar $\frac{2}{3} = 66, (6) %$ .

Răspuns corect: D (conform baremului oficial).

Problema 4 (1 punct · unghiuri adiacente suplementare)

Fie două unghiuri adiacente suplementare $∠ A O B$ și $∠ B O D$ și semidreapta $O C \subset Int (∠ B O D)$ . Aflați $∠ C O D - ∠ A O B$ , dacă au loc egalitățile:

6 \cdot ∠ A O B = 3 \cdot ∠ B O C = 4 \cdot ∠ C O D .

$0^{\circ}$
$20^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$100^{\circ}$
$60^{\circ}$
$40^{\circ}$

Vezi rezolvarea

Notăm valoarea comună cu $12 k$ : $∠ A O B = 2 k$ , $∠ B O C = 4 k$ , $∠ C O D = 3 k$ . Cum $O C$ este în interiorul unghiului $B O D$ , $∠ A O B + ∠ B O C + ∠ C O D$ $= 180^{\circ}$ , deci $9 k = 180^{\circ}$ , $k = 20^{\circ}$ .

$∠ C O D - ∠ A O B$ $= 60^{\circ} - 40^{\circ}$ $= 20^{\circ}$ .

Răspuns corect: B (conform baremului oficial).

Problema 5 (1 punct · complement și suplement)

Dacă raportul dintre măsura complementului și măsura suplementului unui unghi este $\frac{2}{5}$ , atunci măsura unghiului este:

$15^{\circ}$
$30^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$60^{\circ}$
$90^{\circ}$
$150^{\circ}$

Vezi rezolvarea

$\frac{90^{\circ} - x}{180^{\circ} - x}$ $= \frac{2}{5}$ , deci $450^{\circ} - 5 x$ $= 360^{\circ} - 2 x$ , $3 x = 90^{\circ}$ , $x = 30^{\circ}$ . Verificare: $60^{\circ} : 150^{\circ}$ $= 2 : 5$ .

Răspuns corect: B (conform baremului oficial).

Problema 6 (1 punct · bisectoare)

Fie $∠ A O B$ și $∠ B O C$ două unghiuri neadiacente. Știind că diferența lor este egală cu $60^{\circ}$ , atunci măsura unghiului determinat de bisectoarele celor două unghiuri este egală cu:

$90^{\circ}$
$45^{\circ}$
$60^{\circ}$
$30^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$0^{\circ}$

Vezi rezolvarea

Unghiurile au latura comună $O B$ și nu sunt adiacente, deci interioarele lor se suprapun: celelalte laturi $O A$ și $O C$ sunt de aceeași parte a lui $O B$ . Dacă $∠ A O B = a$ , $∠ B O C = c$ , $a - c = 60^{\circ}$ , bisectoarele formează cu $O B$ unghiurile $\frac{a}{2}$ și $\frac{c}{2}$ , de aceeași parte, deci unghiul dintre ele este $\frac{a - c}{2} = 30^{\circ}$ .

Răspuns corect: D (conform baremului oficial).

Problema 7 (1 punct · numere prime, paritate)

Știind că $a - b + c = 44$ și $a + b = 76$ , atunci suma numerelor naturale prime $a$ , $b$ , $c$ , este egală cu:

123
67
76
78 ✓ răspuns corect
79

Vezi rezolvarea

Dacă $c$ ar fi impar, $a - b = 44 - c$ ar fi impar, deci $a$ și $b$ ar avea parități diferite; unul ar fi 2, iar celălalt 74, care nu e prim. Deci $c = 2$ .

Atunci $a - b = 42$ și $a + b = 76$ , de unde $a = 59$ , $b = 17$ (ambele prime). Suma: $59 + 17 + 2 = 78$ .

Răspuns corect: D (conform baremului oficial).

Problema 8 (1 punct · resturi, puteri)

Restul împărțirii lui $8^{2024}$ la 13 este:

12
1 ✓ răspuns corect
8
9
5

Vezi rezolvarea

$8^{4}$ $= 4096$ $= 13 \cdot 315 + 1$ . Cum $2024 = 4 \cdot 506$ , $8^{2024} = (8^{4})^{506}$ , iar o putere a unui număr de forma $M_{13} + 1$ este tot de forma $M_{13} + 1$ . Restul este 1.

Răspuns corect: B (conform baremului oficial).

Problema 9 (1 punct · proporționalitate directă)

Câte numere naturale $\overset{―}{a b c}$ pentru care $\overset{―}{a b c}, \overset{―}{b c a}, \overset{―}{c a b}$ sunt direct proporționale cu $\overset{―}{a b}, \overset{―}{b c}, \overset{―}{c a}$ există?

1
10
8
0
9 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

$\overset{―}{a b c}$ $= 10 \cdot \overset{―}{a b} + c$ , deci $\frac{\overset{―}{a b c}}{\overset{―}{a b}}$ $= 10 + \frac{c}{\overset{―}{a b}}$ ; analog pentru celelalte rapoarte. Condiția devine $\frac{c}{\overset{―}{a b}}$ $= \frac{a}{\overset{―}{b c}}$ $= \frac{b}{\overset{―}{c a}}$ $= r$ .

Adunând numărătorii și numitorii: $r$ $= \frac{a + b + c}{\overset{―}{a b} + \overset{―}{b c} + \overset{―}{c a}}$ $= \frac{a + b + c}{11 (a + b + c)}$ $= \frac{1}{11}$ . Deci $10 a + b = 11 c$ , $10 b + c = 11 a$ , $10 c + a = 11 b$ .

Fie $M$ cea mai mare dintre cifrele $a, b, c$ . Relația care o conține pe $11 M$ (de exemplu, dacă $M = a$ , relația $11 a = 10 b + c$ ) are forma $11 M = 10 x + y$ , cu $x, y \leq M$ . Cum $10 x + y \leq 10 M + M = 11 M$ , egalitatea are loc doar pentru $x = y = M$ . Deci toate cifrele sunt egale: 111, 222, …, 999, adică 9 numere.

Răspuns corect: E (conform baremului oficial).

Problema 10 (1 punct · ecuații în numere naturale)

Câte perechi de numere naturale nenule $(x, y)$ care verifică $x y + 2 x + 3 y = 22$ există:

0
1
2 ✓ răspuns corect
3
4

Vezi rezolvarea

Adunăm 6: $x y + 2 x + 3 y + 6 = 28$ , adică $(x + 3) (y + 2) = 28$ , cu $x + 3 \geq 4$ și $y + 2 \geq 3$ .

Variante: $4 \cdot 7$ ( $x = 1$ , $y = 5$ ) și $7 \cdot 4$ ( $x = 4$ , $y = 2$ ); $14 \cdot 2$ și $28 \cdot 1$ dau $y \leq 0$ . Există 2 perechi.

Răspuns corect: C (conform baremului oficial).

Problema 11 (1 punct · fracții, paritate)

Știind că $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{337}$ $= \frac{2021}{2022}$ , atunci suma numerelor naturale $x, y, z$ este egală cu:

58 ✓ răspuns corect
342
2021
56
3

Vezi rezolvarea

Cum $2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337$ , înmulțim cu 2022: $1011 x + 674 y + 6 z = 2021$ .

$1011 x \leq 2021$ dă $x \leq 1$ ; pentru $x = 0$ membrul stâng e par, iar 2021 impar, deci $x = 1$ . Rămâne $674 y + 6 z = 1010$ : $y = 0$ dă $6 z = 1010$ (imposibil), deci $y = 1$ și $6 z = 336$ , $z = 56$ . Suma: $1 + 1 + 56 = 58$ .

Notă: în foaia de concurs variantele apar tipărite în ordinea A, C, B, D, E; aici sunt așezate în ordinea literelor.

Răspuns corect: A (conform baremului oficial).

Problema 12 (1 punct · divizori, pătrate și cuburi perfecte)

Numărul divizorilor lui $N = 2023^{22}$ care sunt pătrate perfecte sau cuburi perfecte este egal cu:

364 ✓ răspuns corect
33
265
44
18

Vezi rezolvarea

$2023 = 7 \cdot 17^{2}$ , deci $N = 7^{22} \cdot 17^{44}$ , iar divizorii sunt $7^{i} \cdot 17^{j}$ , $0 \leq i \leq 22$ , $0 \leq j \leq 44$ .

pătrate perfecte ( $i, j$ pare): $12 \cdot 23 = 276$ ;
cuburi perfecte ( $i, j$ multipli de 3): $8 \cdot 15 = 120$ ;
și pătrate, și cuburi ( $i, j$ multipli de 6): $4 \cdot 8 = 32$ .

Total: $276 + 120 - 32 = 364$ .

Răspuns corect: A (conform baremului oficial).

Problemele 13–24

Problema 13 (1 punct · pătrate perfecte, descompunere)

Se știe că numărul $A$ $= \overset{―}{a b c a b c} + \overset{―}{d 00 d}$ este pătrat perfect. Câte numere $\overset{―}{a b c}$ există?

0
10
9
5
8 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

$\overset{―}{a b c a b c}$ $= 1001 \cdot \overset{―}{a b c}$ și $\overset{―}{d 00 d}$ $= 1001 \cdot d$ , deci $A$ $= 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot (\overset{―}{a b c} + d)$ . Pentru ca $A$ să fie pătrat perfect, $\overset{―}{a b c} + d$ trebuie să se dividă cu 1001; cum $101$ $\leq \overset{―}{a b c} + d$ $\leq 1008$ , obținem $\overset{―}{a b c} + d = 1001$ .

$d$ este cifră nenulă, iar $\overset{―}{a b c} = 1001 - d$ trebuie să aibă trei cifre, deci $d \in {2, \dots, 9}$ : 8 numere (992, …, 999).

Răspuns corect: E (conform baremului oficial).

Problema 14 (1 punct · unghiuri, bisectoare)

În jurul punctului O considerăm unghiurile $∠ A O B$ și $∠ B O C$ adiacente, cu $∠ A O B < ∠ B O C$ și $∠ A O B + ∠ B O C$ $< 180^{\circ}$ . Notăm cu $O M$ și $O N$ bisectoarele unghiurilor $∠ A O B$ , respectiv $∠ B O C$ , iar cu $O P$ bisectoarea unghiului $∠ M O N$ . Știind că suplementul unghiului $∠ A O C$ este de 4 ori mai mare decât $∠ P O B$ , atunci măsura unghiului $B O C$ este egală cu:

$36^{\circ}$
$30^{\circ}$
$45^{\circ}$
$90^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$15^{\circ}$

Vezi rezolvarea

Fie $∠ A O B = 2 a$ , $∠ B O C = 2 b$ , $a < b$ . Atunci $∠ M O B = a$ , $∠ B O N = b$ , $∠ M O N = a + b$ , $∠ M O P$ $= \frac{a + b}{2}$ , deci $∠ P O B$ $= \frac{a + b}{2} - a$ $= \frac{b - a}{2}$ .

Condiția: $180^{\circ} - 2 a - 2 b$ $= 4 \cdot \frac{b - a}{2}$ $= 2 b - 2 a$ , deci $4 b = 180^{\circ}$ , $b = 45^{\circ}$ și $∠ B O C = 90^{\circ}$ .

Răspuns corect: D (conform baremului oficial).

Problema 15 (1 punct · unghiul alungit)

Fie unghiul alungit $∠ A O B$ . De aceeași parte a dreptei $A B$ , pornind de la $A$ spre $B$ , se consideră punctele $M$ , $N$ și $P$ . Unghiurile $∠ A O M$ , $∠ M O N$ , $∠ N O P$ și $∠ P O B$ au măsurile exprimate prin grade sexagesimale astfel: $∠ A O M = x$ , $∠ M O N = x + n$ , $∠ N O P = x + 2 n$ , $∠ P O B = x + 3 n$ , unde $x > 1$ și $n \in N^{*}$ . Diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare pe care o poate lua $x$ este:

$35^{\circ}$
$45^{\circ}$
$42^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$44^{\circ}$
$30^{\circ}$

Vezi rezolvarea

Suma celor patru unghiuri este $180^{\circ}$ : $4 x + 6 n = 180$ , deci $x = 45 - 1, 5 n$ .

Cea mai mare valoare se obține pentru $n = 1$ : $x = 43, 5^{\circ}$ . Din $x > 1$ rezultă $1, 5 n < 44$ , adică $n \leq 29$ ; pentru $n = 29$ , $x = 1, 5^{\circ}$ . Diferența: $43, 5^{\circ} - 1, 5^{\circ}$ $= 42^{\circ}$ . (Răspunsul din barem presupune că $x$ nu trebuie să fie număr întreg.)

Răspuns corect: C (conform baremului oficial).

Problema 16 (1 punct · unghiuri, rapoarte)

Fie unghiul $∠ A O D$ cu $∠ A O D < 180^{\circ}$ și, în interiorul său, semidreptele $O X$ , $O B$ , $O C$ , $O Y$ , astfel încât să avem următoarea ordine: $O A$ , $O X$ , $O B$ , $O C$ , $O Y$ , $O D$ . Dacă $∠ A O D = t ∠ B O C$ , $∠ B O X = k ∠ A O X$ , $∠ Y O C = k ∠ D O Y$ , unde $k, t > 1$ , atunci valoarea raportului $\frac{∠ B O C}{∠ X O Y}$ este egală cu:

$\frac{k}{t}$
$\frac{k + 1}{k t}$
$\frac{k}{k t + 1}$
$\frac{k + 1}{k t + 1}$ ✓ răspuns corect
$\frac{k}{t k + 1}$

Vezi rezolvarea

Fie $∠ A O X = u$ , $∠ D O Y = v$ , $∠ B O C = w$ . Atunci $∠ B O X = k u$ , $∠ Y O C = k v$ și $∠ A O D$ $= (k + 1) (u + v) + w$ $= t w$ , deci $u + v$ $= \frac{(t - 1) w}{k + 1}$ .

$∠ X O Y$ $= k (u + v) + w$ $= \frac{k (t - 1) w}{k + 1} + w$ $= \frac{(k t + 1) w}{k + 1}$ , de unde $\frac{∠ B O C}{∠ X O Y}$ $= \frac{k + 1}{k t + 1}$ .

Răspuns corect: D (conform baremului oficial).

Problema 17 (1 punct · divizibilitate, răsturnatul unui număr)

Se consideră mulțimea:

A = {\overset{―}{a b c} ∣ a > c și există p număr natural prim, p > 2 astfel încât (\overset{―}{a b c} - \overset{―}{c b a}) ⋮ p^{3}} .

Atunci cardinalul mulțimii $A$ este egal cu:

10
100
90 ✓ răspuns corect
60
0

Vezi rezolvarea

$\overset{―}{a b c} - \overset{―}{c b a}$ $= 99 (a - c)$ $= 3^{2} \cdot 11 \cdot (a - c)$ . Cum $\overset{―}{c b a}$ este număr de trei cifre, $c \geq 1$ , deci $1 \leq a - c \leq 8$ .

Pentru $p = 11$ ar trebui $11^{2} ∣ (a - c)$ , iar pentru $p \geq 5$ , $p \neq 11$ , ar trebui $p^{3} ∣ (a - c)$ : imposibil. Rămâne $p = 3$ : $27 ∣ 99 (a - c)$ înseamnă $3 ∣ (a - c)$ , adică $a - c \in {3, 6}$ .

Perechi $(a, c)$ : pentru $a - c = 3$ : $(4, 1), \dots, (9, 6)$ — 6 perechi; pentru $a - c = 6$ : $(7, 1), (8, 2), (9, 3)$ — 3 perechi. Cu 10 valori pentru $b$ : $9 \cdot 10 = 90$ de numere.

Răspuns corect: C (conform baremului oficial).

Problema 18 (1 punct · divizibilitate, numărare)

În mulțimea ${1, 2, 3, \dots, n}$ , 123 de numere se divid cu 2, dar nu se divid cu 4, iar 62 de numere se divid cu 4, dar nu se divid cu 8. Câte numere n îndeplinesc condiția.

0
1
492
2 ✓ răspuns corect
$n \geq 400$

Vezi rezolvarea

Numerele divizibile cu 2, dar nu cu 4 sunt $2, 6, 10, \dots$ (de forma $4 k + 2$ ); al 123-lea este $4 \cdot 122 + 2 = 490$ , al 124-lea este 494. Deci $490 \leq n \leq 493$ .

Numerele divizibile cu 4, dar nu cu 8 sunt $4, 12, 20, \dots$ (de forma $8 k + 4$ ); al 62-lea este $8 \cdot 61 + 4 = 492$ , al 63-lea este 500. Deci $492 \leq n \leq 499$ .

Ambele condiții: $n \in {492, 493}$ — 2 numere.

Răspuns corect: D (conform baremului oficial).

Problema 19 (1 punct · segmente, mijlocul unui segment)

Pe segmentul $A B$ se consideră punctele $M$ și $N$ astfel încât $\frac{A M}{A B}$ $= \frac{2}{3}$ și $\frac{A N}{A B}$ $= \frac{4}{5}$ . Fie $O$ și $P$ mijloacele segmentelor $M N$ , respectiv $A B$ . Dacă $O P = 10, 5$ cm, atunci lungimea segmentului $A B$ este:

nu se poate determina
90 cm
45 cm ✓ răspuns corect
60 cm
50,5 cm

Vezi rezolvarea

Luăm $A B = 30 u$ . Atunci $A M = 20 u$ , $A N = 24 u$ , $A O$ $= \frac{20 u + 24 u}{2}$ $= 22 u$ , $A P = 15 u$ , deci $O P = 7 u = 10, 5$ cm, $u = 1, 5$ cm și $A B = 45$ cm.

Răspuns corect: C (conform baremului oficial).

Problema 20 (1 punct · unghiuri în jurul unui punct)

Unghiurile $A O B$ și $B O C$ sunt adiacente suplementare și $∠ A O B = 150^{\circ}$ . În semiplanul opus semiplanului determinat de dreapta $A C$ și punctul $B$ se consideră semidreptele $O D$ , $O E$ $O F \subset Int (∠ A O D)$ astfel încât $∠ D O B = 120^{\circ}$ , $∠ E O C$ $= 2 \cdot ∠ B O C$ și $∠ F O D \equiv ∠ E O C$ . Atunci măsurile unghiurilor $E O B$ , $D O C$ și $B O F$ sunt:

$90^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$60^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$
$30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$
$30^{\circ}, 60^{\circ}, 180^{\circ}$
$45^{\circ}, 45^{\circ}, 180^{\circ}$

Vezi rezolvarea

$∠ B O C$ $= 180^{\circ} - 150^{\circ}$ $= 30^{\circ}$ . Semidreapta $O C$ este între $O B$ și $O D$ , deci $∠ D O C$ $= 120^{\circ} - 30^{\circ}$ $= 90^{\circ}$ și $∠ A O D = 90^{\circ}$ .

$∠ E O C = 60^{\circ}$ , cu $O E$ în semiplanul lui $D$ : $∠ E O B$ $= 60^{\circ} + 30^{\circ}$ $= 90^{\circ}$ .

$∠ F O D = 60^{\circ}$ , cu $O F$ în interiorul unghiului $A O D$ : $∠ A O F = 30^{\circ}$ , deci $∠ B O F$ $= 150^{\circ} + 30^{\circ}$ $= 180^{\circ}$ (semidreptele $O B$ și $O F$ sunt opuse).

Răspuns corect: A (conform baremului oficial).

Problema 21 (1 punct · cercul, arce, proporționalitate)

Pe cercul $C (O, R)$ se consideră punctele $A, B, C, D, E$ , distincte, în această ordine astfel încât măsurile arcelor $\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{C D}$ să fie direct proporționale cu numerele 5, 2, 4, iar măsurile arcelor $\overset{⌢}{C D}, \overset{⌢}{D E}$ și $\overset{⌢}{E A}$ să fie invers proporționale cu numerele 0,1(6), 0,(6), 0,5. Dacă $O M$ este bisectoarea $∠ B O D$ și $O N$ este bisectoarea unghiului $∠ E O A$ atunci $∠ M O D + ∠ E O N$ :

$88^{\circ}$
$99^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$90^{\circ}$
$45^{\circ}$
$60^{\circ}$

Vezi rezolvarea

$0, 1 (6) = \frac{1}{6}$ , $0, (6) = \frac{2}{3}$ , $0, 5 = \frac{1}{2}$ ; invers proporționale cu ele înseamnă direct proporționale cu $6, \frac{3}{2}, 2$ , adică cu $12, 3, 4$ .

Potrivim cele două șiruri prin arcul $C D$ : $A B : B C : C D : D E : E A$ $= 15 : 6 : 12 : 3 : 4$ . Suma $40$ părți $= 360^{\circ}$ , deci o parte $= 9^{\circ}$ : $A B = 135^{\circ}$ , $B C = 54^{\circ}$ , $C D = 108^{\circ}$ , $D E = 27^{\circ}$ , $E A = 36^{\circ}$ .

$∠ B O D$ $= 54^{\circ} + 108^{\circ}$ $= 162^{\circ}$ , $∠ M O D = 81^{\circ}$ ; $∠ E O A = 36^{\circ}$ , $∠ E O N = 18^{\circ}$ . Suma: $99^{\circ}$ .

Răspuns corect: B (conform baremului oficial).

Problema 22 (1 punct · unghiuri opuse la vârf, bisectoare)

Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în $O$ ( $∠ A O D$ ascuțit). Fie $O M$ bisectoarea $∠ A O D$ , $O L$ bisectoarea $∠ M O B$ , $O F$ bisectoarea $∠ L O C$ . Dacă $∠ A O D = x$ și $∠ M O F = 139^{\circ}$ , atunci măsurile unghiurilor $x$ și $∠ M O L$ sunt egale cu:

$41^{\circ}, 82^{\circ}$
$32^{\circ}, 82^{\circ}$ ✓ răspuns corect
$32^{\circ}, 64^{\circ}$
$30^{\circ}, 90^{\circ}$
$15^{\circ}, 60^{\circ}$

Vezi rezolvarea

$∠ M O D = \frac{x}{2}$ , $∠ M O B$ $= 180^{\circ} - \frac{x}{2}$ , deci $∠ M O L$ $= ∠ L O B$ $= 90^{\circ} - \frac{x}{4}$ .

$∠ B O C$ $= ∠ A O D$ $= x$ (opuse la vârf), deci $∠ L O C$ $= 90^{\circ} - \frac{x}{4} + x$ $= 90^{\circ} + \frac{3 x}{4}$ și $∠ L O F$ $= 45^{\circ} + \frac{3 x}{8}$ .

$∠ M O F$ $= ∠ M O L + ∠ L O F$ $= 135^{\circ} + \frac{x}{8}$ $= 139^{\circ}$ , deci $x = 32^{\circ}$ și $∠ M O L$ $= 90^{\circ} - 8^{\circ}$ $= 82^{\circ}$ .

Răspuns corect: B (conform baremului oficial).

Problema 23 (1 punct · unghiuri, proporționalitate)

Fie unghiul propriu $∠ A O B$ și punctele $M$ , $N$ astfel încât $M$ este în interiorul unghiului $∠ A O B$ , iar $N$ în exteriorul unghiului $∠ A O B$ . Considerăm semidreapta $O P$ , unde $P$ aparține interiorului unghiului $∠ A O M$ , astfel încât măsurile unghiurilor $∠ A O P$ și $∠ P O M$ sunt direct proporționale cu 2 și 3, iar $∠ P O B = 60^{\circ}$ . Dacă $∠ B O M$ $= 3 \cdot ∠ B O N$ , iar $O Q$ este bisectoarea unghiului $∠ A O P$ , atunci măsura unghiului $∠ N O Q$ este:

$110^{\circ}$
$120^{\circ}$
$100^{\circ}$
$90^{\circ}$
$80^{\circ}$ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Fie $∠ A O P = 2 s$ , $∠ P O M = 3 s$ . Din $∠ P O B$ $= ∠ P O M + ∠ M O B$ $= 60^{\circ}$ : $∠ M O B = 60^{\circ} - 3 s$ , deci $∠ B O N = 20^{\circ} - s$ , cu $O N$ în afara unghiului $A O B$ (dincolo de $O B$ ).

$∠ Q O P = s$ , deci $∠ N O Q$ $= ∠ Q O P + ∠ P O B + ∠ B O N$ $= s + 60^{\circ} + 20^{\circ} - s$ $= 80^{\circ}$ .

Răspuns corect: E (conform baremului oficial).

Problema 24 (1 punct · raționament logic, numărare)

La un concurs de matematică, la care participă 50 de elevi, se oferă spre rezolvare 3 probleme. Se știe că fiecare elev a rezolvat cel puțin o problemă corect și că numărul de soluții corecte ale tuturor concurenților este 100. Notăm cu $m$ numărul celor care au rezolvat corect toate cele trei probleme. Care din afirmațiile următoare este adevărată?

$m = 26$
$m > 26$
$m > 25$
toate afirmațiile sunt false
$m \leq 25$ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Fie $n_{1}$ , $n_{2}$ , $m$ numărul elevilor cu exact 1, 2, respectiv 3 probleme rezolvate: $n_{1} + n_{2} + m = 50$ și $n_{1} + 2 n_{2} + 3 m = 100$ . Scăzând: $n_{2} + 2 m = 50$ , deci $m \leq 25$ .

Afirmațiile A, B, C sunt false, iar E este adevărată (și D, deci, falsă). Valoarea $m = 25$ se poate atinge: 25 de elevi cu 3 probleme și 25 cu una.

Răspuns corect: E (conform baremului oficial).

Răspunsuri pe scurt

1	2	3	4	5	6
E	C	D	B	B	D
7	8	9	10	11	12
D	B	E	C	A	A
13	14	15	16	17	18
E	D	C	D	C	D
19	20	21	22	23	24
C	A	B	B	E	E

Ce capitole verifică subiectul

Problemele	Temă	Recapitulează
1, 2, 3, 9	Mărimi proporționale, proporții, procente	fișă rapoarte și proporții
4, 5, 6, 14, 15, 16, 20, 22, 23	Unghiuri, bisectoare, unghiuri în jurul unui punct	fișă unghiuri
7, 8, 10, 11, 12, 13, 17, 18	Divizibilitate, numere prime, resturi	fișă divizibilitate
19, 21	Segmente, cercul și arce	fișă cercul · fișă recapitulare geometrie
24	Raționament logic, sisteme simple	fișă recapitulare algebră

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa locală, clasa a VI-a, în București? Un test grilă cu 24 de probleme (variante A–E): multe probleme cu unghiuri și bisectoare, mărimi proporționale și procente, divizori ai lui $2023^{22}$ , restul lui $8^{2024}$ la 13, numere de forma $\overset{―}{a b c a b c} + \overset{―}{d 00 d}$ , arce de cerc și o problemă de logică despre un concurs.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2024, clasa a VI-a, în București? Timpul de lucru a fost de 180 de minute pentru 24 de probleme grilă, fiecare cu un singur răspuns corect dintre cinci variante. Fiecare problemă rezolvată corect valorează 1 punct, deci punctajul maxim este 24.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2024? SSMR a publicat subiectele și baremele etapei locale din 2024 pe județe, pe o hartă a României (pentru București: arhiva cu subiectele pentru gimnaziu și liceu). Pe această pagină, enunțurile sunt transcrise din documentele oficiale, iar fiecare rezolvare are răspunsul (sau punctajul) din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa locală 2024 (București): clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Etapa următoare: olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a VI-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiect oficial © Ministerul Educației / SSMR / Inspectoratul Școlar al Municipiului București (Olimpiada Națională de Matematică, etapa locală, București, 10 februarie 2024): subiectele și baremele etapei locale pe județe, publicate de SSMR. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa locală (București) — clasa a VI-a, subiecte rezolvate

Problemele 1–12

Problema 1 (1 punct · mărimi proporționale)

Problema 2 (1 punct · proporționalitate directă)

Problema 3 (1 punct · procente)

Problema 4 (1 punct · unghiuri adiacente suplementare)

Problema 5 (1 punct · complement și suplement)

Problema 6 (1 punct · bisectoare)

Problema 7 (1 punct · numere prime, paritate)

Problema 8 (1 punct · resturi, puteri)

Problema 9 (1 punct · proporționalitate directă)

Problema 10 (1 punct · ecuații în numere naturale)

Problema 11 (1 punct · fracții, paritate)

Problema 12 (1 punct · divizori, pătrate și cuburi perfecte)

Problemele 13–24

Problema 13 (1 punct · pătrate perfecte, descompunere)

Problema 14 (1 punct · unghiuri, bisectoare)

Problema 15 (1 punct · unghiul alungit)

Problema 16 (1 punct · unghiuri, rapoarte)

Problema 17 (1 punct · divizibilitate, răsturnatul unui număr)

Problema 18 (1 punct · divizibilitate, numărare)

Problema 19 (1 punct · segmente, mijlocul unui segment)

Problema 20 (1 punct · unghiuri în jurul unui punct)

Problema 21 (1 punct · cercul, arce, proporționalitate)

Problema 22 (1 punct · unghiuri opuse la vârf, bisectoare)

Problema 23 (1 punct · unghiuri, proporționalitate)

Problema 24 (1 punct · raționament logic, numărare)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe