Olimpiada de matematică 2025 județeană, clasa a XII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a XII-a?

Patru probleme: submulțimi A ale unui grup cu AA = A (din Gazeta Matematică), morfisme f, g, h cu f(xy) = g(x)h(y) în afara unui subgrup propriu, integrale ale unei funcții strict monotone între termenii consecutivi ai unui șir și o identitate integrală pentru media f(x) = (1)/(x)∈t_0^x f(t) dt.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2025, etapa județeană, clasa a XII-a (sâmbătă, 8 martie 2025), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: la problema 1, exemplul este $A = {i, - i}$ în $U_{4}$ ; la problema 2 se arată $g = h$ și apoi $f = g = h$ ; la problema 3, șirurile căutate sunt cele constante și cele cu exact două valori, staționare de la un rang; la problema 4 se folosește funcția $G (x) = x (\tilde{f} (x) - I)^{2}$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 8 martie 2025, toți elevii de clasa a XII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 4 ore. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · grupuri, submulțimi)

Fie $(G, \cdot)$ un grup, cu elementul neutru $e$ , iar $A$ o submulțime nevidă a sa. Notăm cu $A A$ $= {x y ∣ x, y \in A}$ .

a) Arătați că dacă $G$ este finit, atunci $A A = A$ dacă și numai dacă $e \in A$ și $| A A | = | A |$ .

b) Dați un exemplu de grup $G$ și o submulțime $A \subseteq G$ , cu $A A \neq A$ , $| A A | = | A |$ și $A A < G$ .

(Notația $H < G$ înseamnă că $H$ este un subgrup propriu al grupului $G$ , adică un subgrup al lui $G$ diferit de grupul $G$ .)

Gazeta Matematică

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Dacă $A A = A$ , atunci $| A A | = | A |$ . Pentru orice $x \in A$ avem $| x A | = | A | < \infty$ și $x A \subseteq A A = A$ , astfel că $x A = A$ . Dar atunci $x \in x A$ , astfel că $e$ $= x^{- 1} \cdot x \in x^{- 1} \cdot x A$ $= A$ . (2 p)

Reciproc, dacă $e \in A$ și $| A A | = | A |$ , avem $A = e \cdot A \subseteq A A$ și, cum $| A | = | A A | < \infty$ , rezultă $A A = A$ . (2 p)

b) Fie $G = U_{4} = {1, i, - 1, - i}$ grupul rădăcinilor de ordinul 4 ale unității. Considerând $A = {i, - i}$ , avem $A A$ $= {i^{2}, i \cdot (- i), (- i)^{2}}$ $= {1, - 1}$ $= U_{2}$ $< U_{4}$ , $| A A | = 2 = | A |$ și $A A \neq A$ (mai mult, $A A \cap A = \emptyset$ ). (3 p)

Problema 2 (7 puncte · morfisme de grupuri, centrul unui grup)

Fie $(G, \cdot)$ un grup, iar $H < G$ un subgrup propriu al lui $G$ . Dacă există morfisme $f, g, h : G \to G$ ale grupului $G$ , cu proprietatea că $f (x y) = g (x) h (y)$ pentru orice $x, y \in G ∖ H$ , arătați că:

a) $g = h$ ;

b) dacă $G$ este neabelian, iar $H = Z (G)$ , atunci $f = g = h$ .

(Mulțimea $Z (G)$ $= {c \in G ∣ c x = x c, \forall x \in G}$ se numește centrul grupului $G$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Notând cu $e$ elementul neutru al grupului $G$ , pentru orice $x \in G ∖ H$ avem $x^{- 1} \in G ∖ H$ , astfel că

$e = f (e) = f (x \cdot x^{- 1}) = g (x) \cdot h (x^{- 1}) = g (x) \cdot h (x)^{- 1},$

de unde $g (x) = h (x)$ pentru orice $x \in G ∖ H$ . (2 p)

Pentru orice $a \in H$ , alegând un $x \in G ∖ H$ , avem $a x, x^{- 1} \in G ∖ H$ , astfel că

$g (a) = g (a x \cdot x^{- 1}) = g (a x) \cdot g (x^{- 1}) = h (a x) \cdot h (x^{- 1}) = h (a x \cdot x^{- 1}) = h (a) .$

Rezultă deci că $g = h$ . (2 p)

b) Fie $G$ neabelian și $H = Z (G)$ . Ținând cont de punctul anterior, $g = h$ , astfel că relația din enunț devine $f (x y) = g (x) g (y) = g (x y)$ , pentru orice $x, y \in G ∖ Z (G)$ .

Pentru orice $a \in Z (G)$ și $x \in G ∖ Z (G)$ , avem $a x, x^{- 1} \in G ∖ Z (G)$ , astfel că $f (a)$ $= f (a x \cdot x^{- 1})$ $= g (a x \cdot x^{- 1})$ $= g (a)$ . (1 p)

Fie $x \in G ∖ Z (G)$ . Atunci există $y \in G ∖ Z (G)$ cu $x y \neq y x$ . Dacă $x y \in Z (G)$ , atunci am avea $x y$ $= y (x y) y^{- 1}$ $= y x \neq x y$ , contradicție. Prin urmare $x y \in G ∖ Z (G)$ și, cum $y^{- 1} \in G ∖ Z (G)$ , avem $f (x)$ $= f (x y \cdot y^{- 1})$ $= g (x y \cdot y^{- 1})$ $= g (x)$ .

Rezultă că $f = g$ și deci $f = g = h$ . (2 p)

Problema 3 (7 puncte · integrala definită, funcții monotone, șiruri)

a) Fie $a, b \in R$ două numere reale, cu $a < b$ , iar $f : [a, b] \to R$ o funcție strict monotonă cu proprietatea că $\int_{a}^{b} f (x) d x$ $= 0$ . Arătați că $f (a) \cdot f (b) < 0$ .

b) Determinați șirurile convergente $(a_{n})_{n \geq 1}$ de numere reale, pentru care există o funcție strict monotonă $f : R \to R$ cu proprietatea că

$\int_{a_{n - 1}}^{a_{n}} f (x) d x = \int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} f (x) d x, pentru orice n \in N, n \geq 2.$

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Presupunem că $f ([a, b]) \subseteq [0, \infty)$ sau $f ([a, b]) \subseteq (- \infty, 0]$ . Atunci $m$ $= | f (\frac{a + b}{2}) |$ $> 0$ (dacă $f$ s-ar anula la mijlocul intervalului, fiind strict monotonă ar lua valori de semne contrare de o parte și de alta), iar pe unul dintre intervalele $(a, \frac{a + b}{2})$ sau $(\frac{a + b}{2}, b)$ are loc inegalitatea $| f (x) | > m$ . Atunci

$0 = | \int_{a}^{b} f (x) d x | = \int_{a}^{b} | f (x) | d x \geq m \cdot \frac{b - a}{2} > 0,$

ceea ce este imposibil. Rezultă că $f (a) \cdot f (b) < 0$ . (1 p)

b) Vom arăta că singurele șiruri care verifică condiția sunt șirurile constante și șirurile care iau exact două valori reale distincte și care devin staționare începând cu un anumit rang.

Dacă $a_{n} = a$ pentru orice $n$ , șirul este convergent și $\int_{a_{k}}^{a_{k + 1}} f (x) d x$ $= 0$ pentru orice $k \geq 1$ și orice funcție $f$ . Dacă ${a_{n} ∣ n \geq 1}$ $= {a, b}$ și există $n_{0} \in N^{*}$ cu $a_{n} = a$ pentru orice $n \geq n_{0}$ , atunci $(a_{n})$ este convergent, cu limita $a$ , iar funcția $f (x) = 2 x - a - b$ este strict monotonă și verifică $\int_{a_{k}}^{a_{k + 1}} f (x) d x$ $= 0$ pentru orice $k \geq 1$ (integrala lui $f$ între $a$ și $b$ este $b^{2} - a^{2} - (a + b) (b - a)$ $= 0$ ). (1 p)

Reciproc, fie $(a_{n})$ convergent pentru care există $f$ strict monotonă cu $\int_{a_{1}}^{a_{2}} f$ $= \int_{a_{2}}^{a_{3}} f$ $= \dots$ $= \int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} f$ $= \dots$ . Fie $I$ această valoare comună și $a = lim a_{n}$ . Pentru $r > 0$ fixat există un rang $n_{r}$ astfel încât $a_{n} \in (a - r, a + r)$ pentru $n \geq n_{r}$ . Cum $f$ este strict monotonă, dacă $M$ $= max (| f (a - r) |, | f (a + r) |)$ , atunci $| f (x) | < M$ pe $(a - r, a + r)$ . Pentru orice $p \in N^{*}$ :

$p \cdot | I | = | \sum_{k = 1}^{p} \int_{a_{n_{r} + k - 1}}^{a_{n_{r} + k}} f (x) d x | = | \int_{a_{n_{r}}}^{a_{n_{r} + p}} f (x) d x | \leq 2 r \cdot M .$

Rezultă $0$ $\leq | I |$ $\leq \frac{2 M r}{p}$ , oricare ar fi $p \in N^{*}$ , deci $I = 0$ . (2 p)

Arătăm că mulțimea valorilor șirului are cel mult 2 elemente. Presupunând contrariul, ar exista $i < j < k$ cu $a_{i}, a_{j}, a_{k}$ distincte două câte două. Avem $\int_{a_{i}}^{a_{j}} f (x) d x$ $= \sum_{l = i}^{j - 1} \int_{a_{l}}^{a_{l + 1}} f (x) d x$ $= (j - i) \cdot I$ $= 0$ și, de asemenea, $\int_{a_{j}}^{a_{k}} f$ $= (k - j) \cdot I$ $= 0$ , respectiv $\int_{a_{i}}^{a_{k}} f = 0$ . (1 p)

Funcția $f$ fiind strict monotonă, din a) rezultă $f (a_{i}) f (a_{j}) < 0$ , $f (a_{i}) f (a_{k}) < 0$ și $f (a_{j}) f (a_{k}) < 0$ . Dar atunci

${(f (a_{i}) f (a_{j}) f (a_{k}))}^{2} = (f (a_{i}) f (a_{j})) (f (a_{i}) f (a_{k})) (f (a_{j}) f (a_{k})) < 0,$

ceea ce este absurd. (1 p)

Deci șirul ia cel mult două valori. Convergența șirului implică în plus, în cazul în care șirul nu este constant, că el este staționar începând cu un anumit rang. (1 p)

Problema 4 (7 puncte · primitive, integrala definită)

Fie $f : [0, 1] \to R$ o funcție continuă. Definim funcția $\tilde{f} : [0, 1] \to R$ prin

$\tilde{f} (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t, & dacă x > 0, \\ f (0), & dacă x = 0. \end{cases}$

Arătați că:

a) funcția $\tilde{f}$ este continuă în 0 și derivabilă pe $(0, 1]$ ;

b) are loc egalitatea $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x$ $= {(\int_{0}^{1} f (x) d x)}^{2} + \int_{0}^{1} {(f (x) - \tilde{f} (x))}^{2} d x$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Funcția $f$ fiind continuă pe $[0, 1]$ , funcția $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ este derivabilă pe $[0, 1]$ , cu $F^{'} = f$ . Rezultă că $\tilde{f} = \frac{F (x)}{x}$ este derivabilă pe $(0, 1]$ , ca produs de funcții derivabile. (1 p)

Rămâne să arătăm că $\tilde{f}$ este continuă în 0. Cum $f$ este continuă, $lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$ , iar cu regula lui l'Hôspital:

$lim_{x \to 0} \tilde{f} (x) = lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{F^{'} (x)}{x^{'}} = lim_{x \to 0} f (x) = f (0) = \tilde{f} (0) .$

Deci $\tilde{f}$ este continuă în 0. (1 p)

b) Fie $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$ . Atunci $\tilde{f} (1) = I$ . Ținând cont de a), funcția $G : [0, 1] \to R$ , $G (x)$ $= x {(\tilde{f} (x) - I)}^{2}$ este continuă în 0 și derivabilă pe $(0, 1]$ . În plus, $G (0) = 0 = G (1)$ . (1 p)

Cum $x \tilde{f}^{'} (x)$ $= f (x) - \tilde{f} (x)$ pentru $x \in (0, 1]$ , avem

$G^{'} (x) = {(\tilde{f} (x) - I)}^{2} + 2 x (\tilde{f} (x) - I) \tilde{f}^{'} (x) = (\tilde{f} (x) - I) (2 f (x) - \tilde{f} (x) - I)$

$= 2 f (x) (\tilde{f} (x) - I) + I^{2} - {\tilde{f}}^{2} (x) = I^{2} - 2 I f (x) + f^{2} (x) - {(f (x) - \tilde{f} (x))}^{2},$

pentru orice $x \in (0, 1]$ . (2 p)

Deoarece există $lim_{x \to 0} G^{'} (x)$ $= (I - f (0))^{2} \in R$ , rezultă că $G$ este derivabilă în 0, cu $G^{'} (0) = (I - f (0))^{2}$ , și $G^{'}$ este continuă pe $[0, 1]$ . Obținem atunci

$\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x - {(\int_{0}^{1} f (x) d x)}^{2} - \int_{0}^{1} {(f (x) - \tilde{f} (x))}^{2} d x = \int_{0}^{1} G^{'} (x) d x = G (1) - G (0) = 0,$

ceea ce demonstrează relația cerută. (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) demonstrație; b) $G = U_{4}$ , $A = {i, - i}$ , $A A = {1, - 1}$
2	demonstrație
3	a) demonstrație; b) șirurile constante și șirurile cu exact două valori, staționare de la un rang
4	demonstrație (cu $G (x) = x (\tilde{f} (x) - I)^{2}$ )

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Grupuri finite, subgrupuri	fișe de lucru clasa a XII-a
2	Morfisme de grupuri, centrul unui grup	fișe de lucru clasa a XII-a
3	Integrala definită, funcții strict monotone, șiruri convergente	fișe de lucru clasa a XII-a
4	Primitive, l'Hôspital, formula Leibniz–Newton	fișe de lucru clasa a XII-a

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a XII-a? Patru probleme: submulțimi $A$ ale unui grup cu $A A = A$ (din Gazeta Matematică), morfisme $f, g, h$ cu $f (x y) = g (x) h (y)$ în afara unui subgrup propriu, integrale ale unei funcții strict monotone între termenii consecutivi ai unui șir și o identitate integrală pentru media $\tilde{f} (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ .

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2025? Timpul de lucru este de 4 ore pentru 4 probleme. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2025? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate de SSMR pe pagina ONM 2025. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa județeană 2025, liceu — clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XI-a; toate subiectele: olimpiada de matematică; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană, 8 martie 2025): soluțiile și baremul, cu enunțurile, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2025, etapa județeană — clasa a XII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · grupuri, submulțimi)

Problema 2 (7 puncte · morfisme de grupuri, centrul unui grup)

Problema 3 (7 puncte · integrala definită, funcții monotone, șiruri)

Problema 4 (7 puncte · primitive, integrala definită)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe