Olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a VI-a — subiecte și soluții

Ideea: o fracție cu valoare naturală $k$ înseamnă „numărătorul este de $k$ ori numitorul”; comparăm numărătorul cu $1$, $2$, $3$ numitori.

a) Dacă $m\le 1$, atunci $5a+6b+7c+6$ $\le 4a+3b+2c+3$, adică $a+3b+5c+3\le 0$, ceea ce nu se poate (membrul stâng este cel puțin 3). Deci $m\ge 2$. (2 p)

b)

1. Nu putem avea $n\ge 2$, deoarece ar rezulta $a+2b+3c+5$ $\ge 6a+2b+4c+10$, deci $0\ge 5a+c+5$, fals. Cum $n>0$ (numărătorul este pozitiv), obținem $n=1$. (1 p)
2. Din $n=1$ obținem $a+2b+3c+5$ $=3a+b+2c+5$, deci $b+c=2a$. (1 p)
3. Dacă, prin absurd, $m\ge 3$, ar rezulta $5a+6b+7c+6$ $\ge 12a+9b+6c+9$, de unde $c\ge 7a+3b+3$. Adunând $b$ în ambii membri, obținem $b+c\ge 7a+4b+3$, adică $2a\ge 7a+4b+3$, deci $0\ge 5a+4b+3$, fals. Așadar $m<3$, de unde, având în vedere punctul a), obținem $m=2$. (2 p)
4. Din $m=2$ rezultă $5a+6b+7c+6$ $=8a+6b+4c+6$, adică $c=a$, și cum $b+c=2a$, deducem $a=b=c$. Așadar $m=2$ și $n=1$, valori care se obțin pentru $a=b=c$. (1 p)

Verificare: pentru $a=b=c$: $m$ $={\displaystyle \frac{18a+6}{9a+3}}$ $=2$ și $n$ $={\displaystyle \frac{6a+5}{6a+5}}$ $=1$. ✓

Răspuns: $m=2$, $n=1$.

Ideea: scriem $a=dx$, $b=dy$ cu $x$ și $y$ prime între ele; atunci $[a,b]=dxy$ și relațiile devin relații între $x$, $y$, $d$.

1. Observăm că $a$ $\ge {\displaystyle \frac{a}{(a,b)}}$ $>b$ (prima relație), deci $a>b$. (1 p)
2. Notăm cu $d=(a,b)$. Atunci $a=dx$, $b=dy$, $[a,b]=dxy$, cu $(x,y)=1$ și $x>y$. Obținem $$x=dy+\frac{48}{xy}\text{și}y=dx-\frac{312}{xy}.(1)$$ Fracțiile trebuie să fie numere naturale, așadar $xy\mid 48$ și $xy\mid 312$, deci $xy\mid (48,312)=24$. (2 p)

Continuarea 1 (din barem).

1. Tot din (1) rezultă $xy(x-dy)=48$ și $xy(dx-y)=312$, de unde $$\frac{x-dy}{dx-y}=\frac{48}{312}=\frac{2}{13},$$ adică $13x-13dy=2dx-2y$, sau $x(13-2d)$ $=y(13d-2)$. Membrul drept este pozitiv, deci $13-2d>0$, adică $d\le 6$. (1 p)
2. Analizăm cazurile:
   • I. $d=1$: $11x=11y$, deci $a=b$, fals, deoarece $a>b$;
   • II. $d=2$: $9x=24y$, adică $3x=8y$. Cum $(x,y)=1$, obținem $x=8$, $y=3$, deci $a=16$, $b=6$. (1 p)
   • III. $d=3$: $7x=37y$, deci $x=37$, $y=7$, fals, deoarece $xy\mid 24$;
   • IV. $d=4$: $5x=50y$, adică $x=10y$, deci $x=10$, $y=1$, fals, deoarece $xy\mid 24$;
   • V. $d=5$: $3x=63y$, adică $x=21y$, deci $x=21$, $y=1$, fals, deoarece $xy\mid 24$;
   • VI. $d=6$: $x=76y$, deci $x=76$, $y=1$, fals, deoarece $xy\mid 24$. (2 p)

Continuarea 2 (din barem). Din $xy\mid 24$, cu $x>y$ și $(x,y)=1$, rezultă că $xy\in \{1,2,3,4,6,8,12,24\}$, de unde se analizează cazurile în care $(x,y)$ este una dintre perechile $(2,1)$, $(3,1)$, $(4,1)$, $(6,1)$, $(3,2)$, $(8,1)$, $(12,1)$, $(4,3)$, $(24,1)$, $(8,3)$, înlocuind în (1) și căutând un $d$ natural care le verifică pe amândouă. Obținem doar $x=8$, $y=3$ (din $8=3d+2$ și $3=8d-13$), care implică $d=2$ și soluția unică $a=16$, $b=6$. (4 p)

Verificare: $(16,6)=2$, $[16,6]=48$; $16:2$ $=8$ $=6+\frac{48\cdot 2}{48}$ și $6:2$ $=3$ $=16-\frac{312\cdot 2}{48}$ $=16-13$. ✓

Răspuns: $a=16$, $b=6$.

Ce observăm pe figură: pe latura $AB$ punctele sunt, în ordine, $A,E,G,F,B$. Triunghiurile $BDE$ (cu $DB=DE$) și $DFG$ (cu $DF=DG$) sunt isoscele.

a)

1. Triunghiul $DFG$ este isoscel, deci $\mathrm{\angle }DFG=\mathrm{\angle }DGF$; suplementele lor sunt egale: $\mathrm{\angle }DFB=\mathrm{\angle }DGE$. (1) (1 p)
2. Triunghiul $BDE$ este isoscel ($BD=DE$), deci $\mathrm{\angle }DBF=\mathrm{\angle }DEG$. (2) (1 p)
3. Din (1), (2) și $BD=DE$ obținem $\mathrm{△}BDF\equiv \mathrm{△}EDG$ (cazul L.U.U.), de unde $BF=GE$. (2 p)

b)

1. Triunghiul $ABC$ este isoscel, deci $\mathrm{\angle }ABC$ $=\mathrm{\angle }ACB$ $={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\mathrm{\angle }BAC}{2}}$ $={\displaystyle \frac{{150}^{\circ }}{2}}$ $={75}^{\circ }$. (1 p)
2. Din $BF=GE$ rezultă $BG$ $=BF+FG$ $=GE+FG$ $=FE$, iar $FE=BC$, deci $BG=BC$ și triunghiul $BCG$ este isoscel. (1 p)
3. Deci $\mathrm{\angle }BCG$ $=\mathrm{\angle }BGC$ $={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\mathrm{\angle }CBG}{2}}$ $={\displaystyle \frac{{105}^{\circ }}{2}}$ $={52}^{\circ }{30}^{\prime }$. (1 p)

Răspuns: a) $\mathrm{△}BDF\equiv \mathrm{△}EDG$, deci $BF=GE$; b) $\mathrm{\angle }BCG={52}^{\circ }{30}^{\prime }$ (adică $52,5^{\circ }$).

1. Numerele prime au proprietatea din enunț, deoarece, dacă $n$ este număr prim, divizorii săi sunt $1=d_1<d_2=n$, iar $n$ este divizibil cu $d_1=1$. (1 p)
2. Fie $n$ un număr compus, având $k\ge 3$ divizori, cu proprietatea din enunț. Presupunând că $n$ este număr impar, toți cei $k$ divizori ai săi sunt numere impare. Din ipoteză, $n$ este divizibil cu $d_1+d_2$, care este număr par, deci $n$ ar trebui să fie tot număr par, contradicție. Așadar, $n$ este număr par. (2 p)
3. Atunci $d_1=1$, $d_2=2$, deci $n$ este divizibil și cu $d_1+d_2=3$, deci $d_3=3$. În plus, deducem că $6\mid n$. (1 p)
4. Deoarece, pentru orice divizor $d$ al lui $n$, numărul ${\displaystyle \frac{n}{d}}$ este de asemenea un divizor al lui $n$, deducem că ${\displaystyle \frac{n}{6}}$, ${\displaystyle \frac{n}{3}}$ și ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ se află printre cei $k$ divizori ai lui $n$. (1 p)
5. Cum $n$ este divizibil cu $d_1+d_2+\dots +d_{k-1}$, rezultă că $$n\ge d_1+d_2+\dots +d_{k-1}\ge \frac{n}{6}+\frac{n}{3}+\frac{n}{2}=n.$$ Deci au loc egalități: singurii divizori ai lui $n$, mai mici decât $n$, sunt ${\displaystyle \frac{n}{6}}$, ${\displaystyle \frac{n}{3}}$ și ${\displaystyle \frac{n}{2}}$, adică ${\displaystyle \frac{n}{6}}=d_1=1$, ${\displaystyle \frac{n}{3}}=d_2=2$ și ${\displaystyle \frac{n}{2}}=d_3=3$. Așadar $n=6$ este singurul număr compus cu proprietatea din enunț. (2 p)

Verificare: divizorii lui 6 sunt 1, 2, 3, 6, iar 6 se împarte la $1$, la $1+2=3$ și la $1+2+3=6$. ✓

Răspuns: $n$ este număr prim sau $n=6$.