Olimpiada de matematică 2022 județeană, clasa a VIII-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2022, etapa județeană, clasa a VIII-a (sâmbătă, 26 martie 2022), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: inegalitatea de la problema 1 se rezolvă cu inegalitatea lui Bergström; la problema 2, $n \in {1, 2, 4, 6}$ ; la problema 3 b) $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; la problema 4 minimul sumei este $(n - 1) \sqrt{3}$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 26 martie 2022, toți elevii de clasa a VIII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore (conform regulamentului specific ONM 2022). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate s-au calificat la etapa națională din aprilie 2022 (Constanța pentru clasele V–VI, Iași pentru clasele VII–VIII).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · inegalități, inegalitatea lui Bergström)

Fie $a, b, c \in (0, \infty)$ . Arătați că:

a) $\sqrt{\frac{2 a}{b + c}}$ $\geq \frac{4 a}{2 a + b + c}$ ;

b) $\frac{b}{a} \cdot \sqrt{\frac{2 a}{b + c}} + \frac{c}{b} \cdot \sqrt{\frac{2 b}{c + a}} + \frac{a}{c} \cdot \sqrt{\frac{2 c}{a + b}}$ $\geq 3$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Ambii membri sunt pozitivi, deci putem ridica la pătrat: inegalitatea devine $\frac{2 a}{b + c}$ $\geq \frac{16 a^{2}}{(2 a + b + c)^{2}}$ , adică $2 a (2 a + b + c)^{2}$ $\geq 16 a^{2} (b + c)$ , echivalent cu $2 a [(2 a + b + c)^{2} - 8 a (b + c)]$ $\geq 0$ . Cum $(2 a + b + c)^{2} - 8 a (b + c)$ $= (b + c - 2 a)^{2}$ , obținem inegalitatea echivalentă $2 a \cdot (b + c - 2 a)^{2}$ $\geq 0$ , de unde rezultă concluzia. (3 p)

Folosind punctul a) (și analoagele lui), obținem $\frac{b}{a} \sqrt{\frac{2 a}{b + c}} + \frac{c}{b} \sqrt{\frac{2 b}{c + a}} + \frac{a}{c} \sqrt{\frac{2 c}{a + b}} \geq \frac{4 b}{2 a + b + c} + \frac{4 c}{2 b + c + a} + \frac{4 a}{2 c + a + b} .$ (1 p)
Notăm cu $E$ membrul drept. Folosind inegalitatea lui Bergström, obținem $\begin{aligned} E & = \frac{(2 b)^{2}}{2 a b + b^{2} + b c} + \frac{(2 c)^{2}}{2 b c + c^{2} + c a} + \frac{(2 a)^{2}}{2 a c + a^{2} + a b} \\ \geq \frac{(2 a + 2 b + 2 c)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 a b + 3 b c + 3 c a} . \end{aligned}$ (2 p)
Este suficient să arătăm că $\frac{(2 a + 2 b + 2 c)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 a b + 3 b c + 3 c a}$ $\geq 3$ , adică $4 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 8 (a b + b c + c a)$ $\geq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 9 (a b + b c + c a)$ , ceea ce este echivalent cu $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $\geq a b + b c + c a$ — inegalitate adevărată, deoarece $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$ $= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}$ $\geq 0$ . De aici rezultă concluzia. (1 p)

Inegalitatea lui Bergström: $\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}}$ $\geq \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ pentru $y_{1}, y_{2}, y_{3} > 0$ .

Problema 2 (7 puncte · partea întreagă, radicali, divizibilitate)

Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numerele $\frac{n}{[\sqrt{n + 2}]}$ și $\frac{n + 2}{[\sqrt{n}]}$ sunt naturale. (Notația $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm $[\sqrt{n + 2}]$ $= k \in N^{*}$ . Din inegalitatea părții întregi rezultă $k^{2}$ $\leq n + 2$ $< (k + 1)^{2}$ , deci $k - \frac{2}{k} \leq \frac{n}{k} < k + 2 - \frac{1}{k} .$ (1 p)
Pentru $k > 2$ avem $k - 1 < k - \frac{2}{k}$ și $k + 2 - \frac{1}{k}$ $< k + 2$ ; cum $\frac{n}{k}$ este natural, obținem $\frac{n}{k} \in {k, k + 1}$ . (2 p)
Dacă $\frac{n}{k} = k$ , atunci $n = k^{2}$ și $\frac{n + 2}{[\sqrt{n}]}$ $= \frac{k^{2} + 2}{k}$ $= k + \frac{2}{k} \notin N$ . (1 p)
Dacă $\frac{n}{k} = k + 1$ , atunci $n = k^{2} + k$ , $[\sqrt{n}] = k$ și $\frac{n + 2}{[\sqrt{n}]}$ $= \frac{k^{2} + k + 2}{k}$ $= k + 1 + \frac{2}{k} \notin N$ . (1 p)
Pentru $k = 1$ obținem $n = 1$ (din $1 \leq n + 2 < 4$ ), iar pentru $k = 2$ rezultă $2 \leq n < 7$ ; verificând, condițiile din enunț sunt îndeplinite dacă $n \in {1, 2, 4, 6}$ . (2 p)

Observație (din barem): cele 2 puncte de la ultimul pas se acordă și în cazul în care se obțin toate soluțiile prin verificare directă.

Verificare: $n = 1$ : $\frac{1}{1}$ , $\frac{3}{1}$ ; $n = 2$ : $\frac{2}{2}$ , $\frac{4}{1}$ ; $n = 4$ : $\frac{4}{2}$ , $\frac{6}{2}$ ; $n = 6$ : $\frac{6}{2}$ , $\frac{8}{2}$ — toate naturale ✓ ( $n = 3$ și $n = 5$ nu convin).

Răspuns: $n \in {1, 2, 4, 6}$ .

Problema 3 (7 puncte · paralelism dreaptă–plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan)

Fie $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ un paralelipiped dreptunghic și punctele $M$ , $N$ pe muchiile sale $B C$ , respectiv $D D^{'}$ , astfel încât $\frac{C M}{M B}$ $= \frac{D N}{N D^{'}}$ $= k$ . Notăm cu $P$ intersecția dreptelor $D M$ și $A C$ , și cu $Q$ intersecția dreptelor $C N$ și $D C^{'}$ .

a) Arătați că dreapta $P Q$ este paralelă cu planul $(A B C^{'})$ .

b) Dacă $∠ (P Q, (A B C))$ $= 30^{\circ}$ , determinați valoarea lui $k$ pentru care paralelipipedul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ este cub.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie ${X} = D M \cap A B$ . Atunci $C^{'} X = (A B C^{'}) \cap (D M C^{'})$ . (1 p)
Cum $D C ∥ A X$ , triunghiurile $D C M$ și $X B M$ sunt asemenea, deci $\frac{C D}{B X}$ $= \frac{C M}{B M}$ $= k$ (*). Apoi $D N ∥ C C^{'}$ , deci triunghiurile $D Q N$ și $C^{'} Q C$ sunt asemenea, iar $\frac{D Q}{Q C^{'}}$ $= \frac{D N}{C C^{'}}$ $= \frac{k}{k + 1}$ (deoarece $D N = \frac{k}{k + 1} D D^{'}$ ). Din $D C ∥ A X$ , triunghiurile $D P C$ și $X P A$ sunt asemenea, iar $\frac{D P}{P X}$ $= \frac{C D}{A X}$ $= \frac{k}{k + 1}$ (folosind (*): $A X$ $= A B + B X$ $= C D + \frac{C D}{k}$ ). (2 p)
Rezultă $\frac{D Q}{Q C^{'}}$ $= \frac{D P}{P X}$ și din reciproca teoremei lui Thales (în triunghiul $D C^{'} X$ ) deducem că $P Q ∥ C^{'} X$ . Deoarece $P \notin (A B C^{'})$ , iar $C^{'} X \subset (A B C^{'})$ , obținem că $P Q ∥ (A B C^{'})$ . (1 p)

b) Căutăm $k > 0$ astfel încât $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ să fie un cub de latură $a$ .

Cum $P Q ∥ C^{'} X$ , avem $∠ (P Q, (A B C))$ $= ∠ (C^{'} X, (A B C))$ $= ∠ C^{'} X C$ $= 30^{\circ}$ ( $C^{'} C ⊥ (A B C)$ ). (1 p)
În triunghiul $C C^{'} X$ (cu $∠ C = 90^{\circ}$ ) avem $C^{'} X = 2 C C^{'} = 2 a$ , iar $C X = a \sqrt{3}$ . Din (*) rezultă că $B X = \frac{a}{k}$ . Cu teorema lui Pitagora în triunghiul $B C X$ (dreptunghic în $B$ ) deducem $3 a^{2}$ $= C X^{2}$ $= a^{2} + \frac{a^{2}}{k^{2}}$ , deci $k^{2} = \frac{1}{2}$ și $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . (2 p)

Răspuns: b) $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Problema 4 (7 puncte · cubul, distanțe în spațiu, configurații extreme)

Un cub $C$ de latură $n \geq 2$ , $n \in N$ , este împărțit în $n^{3}$ cuburi de latură 1, cu interioarele disjuncte două câte două.

Spunem că două dintre cuburile de latură 1 sunt olimpice, dacă orice plan paralel cu oricare dintre fețele cubului $C$ intersectează cel mult unul dintre interioarele acestor cuburi. Alegem cuburile $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ olimpice două câte două, și notăm cu $O_{1}, O_{2}, \dots, O_{n}$ centrele lor. Determinați valoarea minimă a sumei $O_{1} O_{2} + O_{2} O_{3} + \dots + O_{n - 1} O_{n}$ și stabiliți care sunt configurațiile formate din $n$ cuburi de latură 1 pentru care se atinge acest minim.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Cerința ca două cuburi să fie olimpice revine la a spune că ele au cel mult un vârf comun, iar dreapta determinată de centrele lor nu este paralelă cu nicio față a cubului $C$ (cuburile se află pe „straturi” diferite în toate cele trei direcții). Deci pentru orice $k \in {1, 2, \dots, n - 1}$ putem forma un paralelipiped dreptunghic $P_{k}$ cu muchiile paralele cu cele ale cubului $C$ , pentru care $O_{k}$ și $O_{k + 1}$ sunt vârfuri opuse. (2 p)
Cum paralelipipedul $P_{k}$ are toate laturile de dimensiuni numere naturale nenule, rezultă că $O_{k} O_{k + 1}$ $\geq \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$ $= \sqrt{3}$ , deci $O_{1} O_{2} + O_{2} O_{3} + \dots + O_{n - 1} O_{n}$ $\geq (n - 1) \sqrt{3}$ . (1 p)
Valoarea $(n - 1) \sqrt{3}$ este atinsă atunci când punctele $O_{1}, O_{2}, \dots, O_{n}$ sunt coliniare și se află, în această ordine, pe o diagonală a cubului $C$ (cuburile mici „de pe diagonală”). Așadar $min {O_{1} O_{2} + O_{2} O_{3} + \dots + O_{n - 1} O_{n}}$ $= (n - 1) \sqrt{3}$ . (1 p)
Arătăm că singurele configurații în care se atinge minimul sunt cele de mai înainte. Pentru a atinge acest minim, trebuie ca $O_{1} O_{2}$ $= O_{2} O_{3}$ $= \dots$ $= O_{n - 1} O_{n}$ $= \sqrt{3}$ . Deoarece distanța de la centrul unui cub olimpic la oricare dintre vârfurile sale este $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , rezultă că pentru orice $k \in {1, 2, \dots, n - 1}$ , cuburile olimpice cu centrele în $O_{k}$ și $O_{k + 1}$ au exact un vârf comun. (1 p)
Fie $C_{2}$ $= A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Acest cub are un vârf comun cu fiecare dintre cuburile $C_{1}$ , respectiv $C_{3}$ . Fără a restrânge generalitatea, putem considera că $C_{1}$ și $C_{2}$ au în comun vârful $A$ . Cuburile $C_{2}$ și $C_{3}$ au un vârf comun, care nu poate fi pe niciuna dintre fețele lui $C_{2}$ care îl conțin pe $A$ , deoarece atunci ar exista plane paralele cu una dintre fețele lui $C$ care ar intersecta două dintre cuburile $C_{1}$ și $C_{3}$ . (1 p)
Așadar vârful comun al cuburilor $C_{2}$ și $C_{3}$ este $C^{'}$ (vârful opus lui $A$ ), iar punctele $O_{1}, A, O_{2}, C^{'}, O_{3}$ sunt coliniare, $O_{2}$ fiind mijlocul segmentului $O_{1} O_{3}$ . Se arată la fel că $O_{3}$ este mijlocul segmentului $O_{2} O_{4}$ , …, $O_{n - 1}$ este mijlocul segmentului $O_{n - 2} O_{n}$ . În concluzie, centrele tuturor cuburilor olimpice alese sunt coliniare. Suma diagonalelor acestor cuburi este $n \sqrt{3}$ , adică este egală cu lungimea diagonalei cubului $C$ , deci toate cuburile olimpice au centrele pe aceeași diagonală a cubului $C$ . (1 p)

Observație (din barem): pentru descrierea corectă a unei configurații minimale se acordă 2 puncte. Notă: în textul baremului oficial apare „ $O_{3}$ este mijlocul segmentului $O_{1} O_{3}$ ”; evident, este vorba de segmentul $O_{2} O_{4}$ .

Răspuns: minimul este $(n - 1) \sqrt{3}$ , atins doar când cele $n$ cuburi sunt așezate, în ordine, de-a lungul unei diagonale a cubului $C$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	demonstrații (ridicare la pătrat; inegalitatea lui Bergström)
2	$n \in {1, 2, 4, 6}$
3	a) demonstrație ( $P Q ∥ C^{'} X$ ); b) $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$
4	minimul este $(n - 1) \sqrt{3}$ : cuburile de pe o diagonală a cubului mare

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Inegalități, radicali, inegalitatea lui Bergström	fișă intervale și inecuații · fișă calcul prescurtat
2	Partea întreagă, radicali, divizibilitate	fișă intervale și inecuații
3	Paralelism dreaptă–plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan, paralelipipedul	fișă paralelism · fișă cubul și paralelipipedul
4	Cubul, distanțe în spațiu, configurații extreme	fișă cubul și paralelipipedul

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VIII-a? Patru probleme: o inegalitate cu radicali (rezolvată cu inegalitatea lui Bergström), numere naturale $n$ cu condiții de divizibilitate și partea întreagă a radicalului, un paralelipiped dreptunghic cu o dreaptă paralelă cu un plan și cuburi „olimpice” într-un cub de latură $n$ .

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022? La clasa a VIII-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme (clasele V–VI: 2 ore, clasele VII–VIII: 3 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022? Enunțurile, soluțiile și baremul de corectare sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România (SSMR), împreună cu Ministerul Educației, în documentul „soluții și bareme” pentru fiecare clasă (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa județeană 2022: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VII-a. Subiectele mai noi: etapa județeană 2023, clasa a VIII-a · olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VIII-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 8-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 26 martie 2022): enunțurile, soluțiile și baremul — clasa a VIII-a, publicate de SSMR (ssmr.ro). Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VIII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · inegalități, inegalitatea lui Bergström)

Problema 2 (7 puncte · partea întreagă, radicali, divizibilitate)

Problema 3 (7 puncte · paralelism dreaptă–plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan)

Problema 4 (7 puncte · cubul, distanțe în spațiu, configurații extreme)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe