Olimpiada de matematică 2022 județeană, clasa a V-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2022, etapa județeană, clasa a V-a (sâmbătă, 26 martie 2022), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: cifrele de la problema 1 sunt 2, 4, 3 sau 4, 8, 6; Alexia a avut inițial 300 de bile roșii; problema 3 se rezolvă cu resturile pătratelor perfecte la 3 și la 4; cel mai mic număr „special” este 1113, cel mai mare 9997.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 26 martie 2022, toți elevii de clasa a V-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 2 ore (conform regulamentului specific ONM 2022). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate s-au calificat la etapa națională din aprilie 2022 (Constanța pentru clasele V–VI, Iași pentru clasele VII–VIII).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · numere de două cifre, înmulțire)

Am decupat din carton trei cifre nenule diferite. Dacă așez două dintre ele una lângă alta, în cele două moduri posibile, obțin două numere de câte două cifre, care sunt de 8, respectiv de 14 ori mai mari decât a treia cifră. Aflați cele trei cifre. (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm cele trei cifre cu $a$ , $b$ , respectiv $c$ : numerele formate sunt $\overset{―}{a b} = 8 \cdot c$ și $\overset{―}{b a} = 14 \cdot c$ .

Prima rezolvare.

Numerele $8 \cdot c$ și $14 \cdot c$ au două cifre ( $8 \cdot c \geq 10$ și $14 \cdot c \leq 99$ ), deci $c$ poate fi 2, 3, 4, 5, 6 sau 7. (2 p)
Cazul $c = 2$ duce la $\overset{―}{a b} = 16$ și $\overset{―}{b a} = 28$ — imposibil; cazul $c = 4$ duce la $\overset{―}{a b} = 32$ și $\overset{―}{b a} = 56$ — imposibil; cazul $c = 5$ duce la $\overset{―}{a b} = 40$ — imposibil (cifra 0 nu este nenulă, iar 04 nu are două cifre); cazul $c = 7$ duce la $\overset{―}{a b} = 56$ și $\overset{―}{b a} = 98$ — imposibil. (2 p)
Cazul $c = 3$ duce la $\overset{―}{a b} = 24$ , $\overset{―}{b a} = 42$ , iar cazul $c = 6$ duce la $\overset{―}{a b} = 48$ , $\overset{―}{b a} = 84$ . Avem soluțiile $(2, 4, 3)$ și $(4, 8, 6)$ . (3 p)

A doua rezolvare (din barem). Numerele $8 \cdot c$ și $14 \cdot c$ sunt pare, deci $a$ și $b$ sunt pare (2 p). Multiplii lui 14 de două cifre, cu ambele cifre pare și nenule, sunt $2 \cdot 14 = 28$ , $3 \cdot 14 = 42$ și $6 \cdot 14 = 84$ (2 p). Deoarece $2 \cdot 8 = 16 \neq 82$ , $3 \cdot 8 = 24$ și $6 \cdot 8 = 48$ , soluțiile sunt $(2, 4, 3)$ și $(4, 8, 6)$ (3 p).

Verificare: $24 = 8 \cdot 3$ , $42 = 14 \cdot 3$ ; $48 = 8 \cdot 6$ , $84 = 14 \cdot 6$ ✓.

Răspuns: cifrele sunt 2, 4 și 3 sau 4, 8 și 6.

Problema 2 (7 puncte · probleme de schimb, mersul invers)

Trei prietene au împreună 2022 de bile colorate: Alexia are numai bile roșii, Cristina are numai bile galbene, iar Lucia are numai bile albastre.

La un schimb, Alexia dăruiește câte 5 bile roșii fiecăreia dintre cele două prietene ale sale, Cristina dăruiește câte 7 bile galbene fiecăreia dintre cele două prietene, iar Lucia dăruiește câte 11 bile albastre fiecăreia dintre cele două prietene.

După mai multe astfel de schimburi, Lucia rămâne cu 400 de bile, iar Cristina rămâne cu 1082 de bile, dintre care 602 sunt bile galbene.

Aflați câte bile roșii a avut inițial Alexia.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: numărul total de bile nu se schimbă la schimburi, iar bilele „străine” primite de Cristina ne spun câte schimburi au avut loc.

Cum Lucia rămâne cu 400 de bile, iar Cristina cu 1082 de bile, deducem că Alexia rămâne cu $2022 - 400 - 1082 = 540$ de bile. (2 p)
La un schimb, Cristina primește $5 + 11 = 16$ bile (roșii și albastre); cum ea a primit în total $1082 - 602 = 480$ de bile, au avut loc $480 : 16 = 30$ de schimburi. (2 p)
La un schimb, Alexia primește $7 + 11 = 18$ bile și dă $5 + 5 = 10$ bile, deci la fiecare schimb numărul bilelor ei crește cu 8. Deducem că Alexia a avut inițial $540 - 30 \cdot 8 = 300$ de bile. (3 p)

Verificare: inițial Alexia are 300 de bile, Cristina $602 + 30 \cdot 14 = 1022$ , iar Lucia $400 + 30 \cdot 22 - 30 \cdot 12$ $= 700$ ; $300 + 1022 + 700 = 2022$ ✓.

Răspuns: Alexia a avut inițial 300 de bile roșii.

Problema 3 (7 puncte · pătrate perfecte, resturi)

Demonstrați că, dacă $n$ și $m$ sunt numere naturale nenule astfel încât $2^{n} + 3^{m}$ este pătrat perfect, atunci și $2^{n} \cdot 3^{m}$ este pătrat perfect.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: un pătrat perfect dă restul 0 sau 1 la împărțirea cu 3 și restul 0 sau 1 la împărțirea cu 4. Notăm cu $M_{3}$ un multiplu de 3 și cu $M_{4}$ un multiplu de 4.

Arătăm că $n$ și $m$ sunt numere pare. (1 p)
Dacă $n$ este impar, atunci există $k$ natural astfel încât $n = 2 k + 1$ și obținem $2^{n} + 3^{m} = 4^{k} \cdot 2 + 3^{m} = (3 + 1)^{k} \cdot 2 + 3^{m} = (M_{3} + 1) \cdot 2 + M_{3} = M_{3} + 2,$ care nu poate fi pătrat perfect. Așadar $n$ este par, adică există $k \in N^{*}$ astfel încât $n = 2 k$ . (3 p)
Dacă $m$ este impar, atunci există $p$ natural astfel încât $m = 2 p + 1$ și obținem $2^{n} + 3^{m} = 2^{2 k} + 9^{p} \cdot 3 = 4^{k} + (8 + 1)^{p} \cdot 3 = M_{4} + (M_{4} + 1) \cdot 3 = M_{4} + 3,$ care nu poate fi pătrat perfect. Deci și $m$ este par, adică există $p \in N^{*}$ cu $m = 2 p$ . (2 p)
Obținem $2^{n} \cdot 3^{m}$ $= 2^{2 k} \cdot 3^{2 p}$ $= (2^{k})^{2} \cdot (3^{p})^{2}$ $= (2^{k} \cdot 3^{p})^{2}$ , care este pătrat perfect. (1 p)

Observație (din barem): se poate demonstra că singura pereche $(n, m)$ care verifică ipoteza este $(4, 2)$ : $2^{4} + 3^{2} = 25 = 5^{2}$ , iar $2^{4} \cdot 3^{2} = 144 = 12^{2}$ . Demonstrația depășește însă nivelul clasei a V-a.

Problema 4 (7 puncte · scrierea în baza 10, divizibilitate cu 101)

Un număr natural va fi numit special dacă este de forma $\overset{―}{a b c d}$ , cu $a, b, c, d$ cifre nenule, iar numărul $a \cdot c + b \cdot d$ este pătrat perfect.

a) Determinați cel mai mic și cel mai mare număr special.

b) Demonstrați că suma tuturor numerelor speciale este divizibilă cu 101.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Nu putem avea numere speciale mai mici decât un număr de forma $\overset{―}{111 x}$ (cifrele sunt nenule). Pentru $\overset{―}{111 x}$ , $a \cdot c + b \cdot d$ $= 1 + x$ , care este pătrat perfect pentru cel mai mic $x$ egal cu 3 ( $1 + 3 = 4$ ). Deci cel mai mic număr special este 1113. (1 p)
Nu putem avea numere speciale mai mari decât un număr de forma $\overset{―}{999 y}$ . Pentru $\overset{―}{999 y}$ , $a \cdot c + b \cdot d$ $= 81 + 9 y$ ; pentru $y = 9$ și $y = 8$ obținem 162 și 153 (nu sunt pătrate perfecte), iar pentru $y = 7$ obținem $144 = 12^{2}$ . Deci cel mai mare număr special este 9997. (1 p)

b) Analizăm cazuri, după cum cifra miilor este sau nu egală cu cifra zecilor, iar cifra sutelor este sau nu egală cu cifra unităților. Observația-cheie: dacă schimbăm între ele cifrele $a$ și $c$ , sau cifrele $b$ și $d$ , numărul $a \cdot c + b \cdot d$ nu se schimbă, deci numărul obținut este tot special.

Dacă $\overset{―}{a b c d}$ este special și $a \neq c$ , $b \neq d$ , atunci și numerele $\overset{―}{a d c b}$ , $\overset{―}{c b a d}$ , $\overset{―}{c d a b}$ sunt speciale (patru numere diferite) și avem $\overset{―}{a b c d} + \overset{―}{a d c b} + \overset{―}{c b a d} + \overset{―}{c d a b} = (a + c) \cdot 2020 + (b + d) \cdot 202 = M_{101} .$ (1 p)
Dacă $\overset{―}{a b a d}$ este special și $b \neq d$ , atunci și numărul $\overset{―}{a d a b}$ este special și avem $\overset{―}{a b a d} + \overset{―}{a d a b}$ $= a \cdot 2020 + (b + d) \cdot 101$ $= M_{101}$ . (1 p)
Dacă $\overset{―}{a b c b}$ este special și $a \neq c$ , atunci și numărul $\overset{―}{c b a b}$ este special și avem $\overset{―}{a b c b} + \overset{―}{c b a b}$ $= (a + c) \cdot 1010 + b \cdot 202$ $= M_{101}$ . (1 p)
Dacă $\overset{―}{a b a b}$ este special, avem $\overset{―}{a b a b}$ $= (10 \cdot a + b) \cdot 101$ $= M_{101}$ . (1 p)
În acest fel, numerele speciale sunt împărțite în grupe de patru tipuri, astfel încât fiecare număr apare în exact o grupă, iar suma numerelor din fiecare grupă este divizibilă cu 101. Deci suma tuturor numerelor speciale este divizibilă cu 101. (1 p)

Observație (din barem): dacă se organizează altfel gruparea numerelor speciale și nu rezultă clar că fiecare număr este considerat exact o dată, nu se acordă ultimul punct și nici punctele aferente cazurilor omise.

Verificare: am numărat cu calculatorul: există 552 de numere speciale, cu suma $2 878 601$ $= 101 \cdot 28 501$ ✓.

Răspuns: a) cel mai mic număr special este 1113, cel mai mare este 9997; b) demonstrație.

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	cifrele 2, 4, 3 (24 și 42) sau 4, 8, 6 (48 și 84)
2	300 de bile roșii
3	demonstrație: $n$ și $m$ sunt pare, deci $2^{n} \cdot 3^{m} = (2^{k} \cdot 3^{p})^{2}$
4	a) 1113 și 9997; b) demonstrație (grupare în sume divizibile cu 101)

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Scrierea numerelor în baza 10, înmulțirea	fișă operații cu numere naturale
2	Probleme de schimb, mersul invers	fișă metode aritmetice
3	Puteri, pătrate perfecte, resturi	fișă puteri · fișă divizibilitate
4	Scrierea în baza 10, divizibilitate	fișă divizibilitate

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a V-a? Patru probleme: trei cifre care formează numere de 8 și de 14 ori mai mari decât a treia cifră, o problemă cu schimburi de bile colorate, o demonstrație cu pătratele perfecte $2^{n} + 3^{m}$ și $2^{n} \cdot 3^{m}$ și numerele „speciale” $\overset{―}{a b c d}$ cu $a \cdot c + b \cdot d$ pătrat perfect.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022? La clasa a V-a, timpul de lucru a fost de 2 ore pentru 4 probleme (clasele V–VI: 2 ore, clasele VII–VIII: 3 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022? Enunțurile, soluțiile și baremul de corectare sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România (SSMR), împreună cu Ministerul Educației, în documentul „soluții și bareme” pentru fiecare clasă (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa județeană 2022: clasa a VI-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Subiectele mai noi: etapa județeană 2023, clasa a V-a · olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a V-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 5-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 26 martie 2022): enunțurile, soluțiile și baremul — clasa a V-a, publicate de SSMR (ssmr.ro). Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a V-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · numere de două cifre, înmulțire)

Problema 2 (7 puncte · probleme de schimb, mersul invers)

Problema 3 (7 puncte · pătrate perfecte, resturi)

Problema 4 (7 puncte · scrierea în baza 10, divizibilitate cu 101)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe