Olimpiada matematică etapa locală 2023 clasa a 7-a București

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa locală din București, clasa a VII-a?

Patru probleme: numerele prime m, n cu √(2023)m = n√(p), valorile lui n pentru care √((1 · 2 · · n)^5 + 145) este natural, un triunghi echilateral cu un punct D și ABD = 40^ (bisectoare și unghiul FDC) și un cerc de diametru AB cu centrul cercului circumscris triunghiului AEF.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2023?

În București, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, fiecare notată de la 0 la 7 puncte (se acordă numai punctaje întregi), deci punctajul maxim este 28. Rezolvările parțiale se punctează după barem, iar orice altă rezolvare corectă se asimilează conform baremului.

Q: Unde găsesc subiectele și baremul oficial de la etapa locală 2023 din București?

Subiectele și baremele etapei locale din București (11 februarie 2023) au fost elaborate de Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) împreună cu Inspectoratul Școlar al Municipiului București (ISMB); fișierele oficiale sunt publicate de SSMR pe pagina etapei locale 2023 (harta cu subiectele pe județe). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa locală din București, clasa a VII-a (sâmbătă, 11 februarie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $m + n = 24$ ( $m, n \in {7, 17}$ ); $a (n)$ este natural doar pentru $n = 3$ ; $(B E$ este bisectoare și $∢ F D C = 10^{\circ}$ ; $∢ D A C = 45^{\circ}$ , iar $O D B C$ este paralelogram.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa locală subiectele nu sunt aceleași în toată țara: fiecare județ își stabilește propriul subiect. Pe această pagină sunt subiectele din București, elaborate de SSMR și Inspectoratul Școlar al Municipiului București (ISMB), date sâmbătă, 11 februarie 2023: 4 probleme, timp de lucru 3 ore, fiecare problemă notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană (pe sector) din 11 martie 2023, clasa a VII-a.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · radicali, numere prime)

Fie numerele naturale $m, n, p$ astfel încât $\frac{\sqrt{2023}}{m}$ $= \frac{n}{\sqrt{p}}$ . Știind că $m$ și $n$ sunt prime, determinați $m + n$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: descompunem $2023 = 7 \cdot 17^{2}$ în factori primi; factorul 17 trebuie să apară în $m$ sau în $n$ .

Din egalitatea dată, $m n$ $= \sqrt{2023} \cdot \sqrt{p}$ $= \sqrt{2023 p}$ , deci $m^{2} n^{2}$ $= 2023 p$ $= 17^{2} \cdot 7 \cdot p$ . (3 p)
Așadar $17 ∣ m^{2} n^{2}$ ; cum $m$ și $n$ sunt prime, $17 ∣ m$ sau $17 ∣ n$ , adică $m = 17$ sau $n = 17$ . (2 p)
Dacă $m = 17$ , atunci $17^{2} n^{2}$ $= 17^{2} \cdot 7 \cdot p$ , deci $n^{2} = 7 p$ . Rezultă $7 ∣ n^{2}$ , deci $7 ∣ n$ , iar $n$ fiind prim, $n = 7$ (și $p = 7$ ). Analog, dacă $n = 17$ , obținem $m = 7$ . În ambele cazuri $m + n = 24$ . (2 p)

Verificare: pentru $m = 17$ , $n = 7$ , $p = 7$ : $\frac{\sqrt{2023}}{17}$ $= \frac{17 \sqrt{7}}{17}$ $= \sqrt{7}$ și $\frac{7}{\sqrt{7}}$ $= \sqrt{7}$ .

Răspuns: $m + n = 24$ .

Problema 2 (7 puncte · pătrate perfecte, resturi)

Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $a (n)$ $= \sqrt{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n)^{5} + 145}$ este natural.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: un pătrat perfect divizibil cu 5 este divizibil și cu 25; iar resturile pătratelor perfecte la împărțirea cu 7 pot fi doar 0, 1, 2 sau 4.

$a (n) \in N$ dacă și numai dacă $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n)^{5} + 145$ este pătrat perfect. (1 p)
Cazul $n \geq 5$ . Produsul $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ se divide cu 5, deci puterea a cincea a lui se divide cu 25: $(1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)^{5}$ $= M_{25}$ . Cum $145 = M_{25} + 20$ , numărul $(1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)^{5} + 145$ $= M_{25} + 20$ se divide cu 5, dar nu se divide cu 25, deci nu este pătrat perfect (un pătrat perfect divizibil cu 5 se divide cu 25). (2 p)
Cazul $n = 4$ . $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)^{5} + 145$ $= 24^{5} + 145$ $= (M_{7} + 3)^{5} + M_{7} + 5$ $= M_{7} + 3^{5} + M_{7} + 5$ $= M_{7} + 243 + 5$ $= M_{7} + 3$ . Pătratele perfecte dau la împărțirea cu 7 doar resturile 0, 1, 2, 4 (pentru $k = 0, 1, \dots, 6$ , $k^{2}$ dă resturile 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1), deci numărul nu este pătrat perfect. (1 p)
Cazul $n = 3$ . $(1 \cdot 2 \cdot 3)^{5} + 145$ $= 7776 + 145$ $= 7921$ $= 89^{2}$ , deci $n = 3$ este soluție ( $a (3) = 89$ ). (1 p)
Cazul $n = 2$ . $(1 \cdot 2)^{5} + 145 = 177$ , care nu este pătrat perfect ( $13^{2}$ $= 169$ $< 177$ $< 196$ $= 14^{2}$ ). (1 p)
Cazul $n = 1$ . $1^{5} + 145 = 146$ , care nu este pătrat perfect ( $12^{2}$ $= 144$ $< 146$ $< 169$ $= 13^{2}$ ). (1 p)

Răspuns: $n = 3$ (atunci $a (3) = 89$ ).

Problema 3 (7 puncte · triunghiuri isoscele, congruență, bisectoare)

Fie triunghiul echilateral $A B C$ și punctul $D$ situat în același semiplan ca punctul $A$ față de dreapta $B C$ , iar punctul $E \in (D C)$ , astfel încât $A B = B D = D E$ și $∢ A B D$ $= 40^{\circ}$ . Dacă ${F} = A E \cap B C$ ,

a) Arătați că $(B E$ este bisectoarea $∢ A B C$ ;

b) Determinați măsura $∢ F D C$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Cum $A B = B C$ (triunghiul $A B C$ este echilateral) și $A B = B D$ , triunghiul $B D C$ este isoscel ( $B D = B C$ ). Punctul $D$ este în același semiplan cu $A$ față de $B C$ , deci $∢ D B C$ $= ∢ D B A + ∢ A B C$ $= 40^{\circ} + 60^{\circ}$ $= 100^{\circ}$ și $∢ B D C$ $= ∢ B C D$ $= 40^{\circ}$ . (1 p)
Triunghiul $B D E$ este isoscel ( $B D = D E$ ) cu $∢ B D E$ $= ∢ B D C$ $= 40^{\circ}$ , deci $∢ D B E$ $= ∢ D E B$ $= 70^{\circ}$ . Atunci $∢ A B E$ $= 70^{\circ} - 40^{\circ}$ $= 30^{\circ}$ $= \frac{1}{2} ∢ A B C$ , așadar $(B E$ este bisectoarea unghiului $A B C$ . (1 p)

Notăm $A B \cap D E = {O}$ . În triunghiul $O B D$ , $∢ O D B$ $= ∢ O B D$ $= 40^{\circ}$ , deci triunghiul este isoscel și $O B = O D$ . Cum $A B = D E$ , rezultă $A O$ $= A B - O B$ $= D E - O D$ $= O E$ , deci triunghiul $O A E$ este isoscel. (1 p)
Cum $∢ A O E$ $= ∢ B O D$ $= 180^{\circ} - 80^{\circ}$ $= 100^{\circ}$ (unghiuri opuse la vârf), obținem $∢ O A E$ $= ∢ O E A$ $= 40^{\circ}$ . Atunci, în triunghiul $A B F$ , $∢ A F B$ $= 180^{\circ} - (60^{\circ} + 40^{\circ})$ $= 80^{\circ}$ , iar $∢ B O E$ $= 180^{\circ} - 100^{\circ}$ $= 80^{\circ}$ . (1 p)
Triunghiurile $B E O$ și $B E F$ au latura $B E$ comună, $∢ O B E$ $= ∢ F B E$ $= 30^{\circ}$ și $∢ B E O$ $= ∢ B E F$ $= 70^{\circ}$ (al treilea unghi, $180^{\circ} - 30^{\circ} - 80^{\circ}$ ), deci $△ B E O \equiv △ B E F$ (U.L.U.) și $O B = B F$ . Cum $∢ O B F$ $= 60^{\circ}$ , triunghiul $B O F$ este echilateral, deci $O F = O B$ . (2 p)
Dar $O B = O D$ , deci $O F = O D$ și triunghiul $O F D$ este isoscel. Cum $∢ D O F$ $= ∢ D O B + ∢ B O F$ $= 100^{\circ} + 60^{\circ}$ $= 160^{\circ}$ , obținem $∢ O D F$ $= \frac{180^{\circ} - 160^{\circ}}{2}$ $= 10^{\circ}$ , iar $O \in (D C)$ , deci $∢ F D C$ $= ∢ O D F$ $= 10^{\circ}$ . (1 p)

Răspuns: b) $∢ F D C$ $= 10^{\circ}$ .

Problema 4 (7 puncte · cercul, unghi înscris în semicerc, mediatoare)

Fie cercul de diametru $A B$ și punctele $C$ și $D$ pe cerc, de o parte și de alta a dreptei $A B$ . Notăm $B D \cap A C = {E}$ , $B C \cap A D = {F}$ , iar $O$ este centrul cercului circumscris $Δ A E F$ . Dacă $O C ∥ E D$ :

a) Calculați măsura $∢ D A C$ ;

b) Arătați că $O D B C$ este paralelogram.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Atenție: $O$ nu este centrul cercului de diametru $A B$ , ci centrul cercului circumscris triunghiului $A E F$ (punctele $E$ și $F$ sunt în afara cercului).

$∢ A D B$ $= 90^{\circ}$ (unghi înscris în semicerc), deci $B D ⊥ A F$ . Cum $E \in B D$ , dreapta $E D$ este chiar $B D$ , deci $C O ∥ B D$ și $C O ⊥ A F$ . (2 p)
$O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A E F$ , deci se află pe mediatoarea lui $A F$ ; dreapta $C O$ trece prin $O$ și este perpendiculară pe $A F$ , deci $C O$ este mediatoarea lui $A F$ . Rezultă $C A = C F$ : triunghiul $C A F$ este isoscel. (1 p)
$∢ A C B$ $= 90^{\circ}$ (unghi înscris în semicerc), deci triunghiul $C A F$ este dreptunghic isoscel și $∢ C A F$ $= 45^{\circ}$ , adică $∢ D A C$ $= 45^{\circ}$ . (1 p)

$∢ C A F$ $= 45^{\circ}$ și $∢ A D E$ $= 90^{\circ}$ , deci triunghiul $D A E$ este dreptunghic isoscel, de unde $D A = D E$ . (1 p)
Cum $O A = O E$ (raze în cercul circumscris triunghiului $A E F$ ) și $D A = D E$ , punctele $O$ și $D$ sunt pe mediatoarea lui $A E$ , deci $D O$ este mediatoarea lui $A E$ (1 p)
și $D O ⊥ A E$ . Dar $B C ⊥ A E$ ( $∢ A C B$ $= 90^{\circ}$ ), deci $D O ∥ B C$ ; cum și $C O ∥ B D$ , patrulaterul $O D B C$ are laturile opuse paralele, deci este paralelogram. (1 p)

Observație Matepenet: baremul tratează configurația din figură, în care $F$ se află pe semidreapta $(A D$ . Ipoteza mai poate fi îndeplinită și când $D$ este „de partea lui $A$ ” (arcul $C D$ care conține punctul $A$ are $90^{\circ}$ ); atunci $F$ cade pe prelungirea segmentului $D A$ dincolo de $A$ , unghiul dintre dreptele $A D$ și $A C$ are tot $45^{\circ}$ , dar $∢ D A C$ $= 135^{\circ}$ . Raționamentul de la b) rămâne valabil.

Răspuns: a) $∢ D A C$ $= 45^{\circ}$ (în configurația din figură).

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$m + n = 24$
2	$n = 3$ , $a (3) = 89$
3	a) $∢ A B E = 30^{\circ}$ ; b) $∢ F D C = 10^{\circ}$
4	a) $∢ D A C = 45^{\circ}$ ; b) demonstrație ( $D O ∥ B C$ , $C O ∥ B D$ )

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Radicali, descompunere în factori primi	fișă radicali
2	Pătrate perfecte, resturi la împărțire	fișă mulțimea numerelor reale · fișă recapitulare algebră
3	Triunghiuri isoscele și echilaterale, congruență	fișă recapitulare geometrie
4	Cercul, unghi înscris, mediatoare, paralelogram	fișă cercul · fișă patrulatere

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa locală din București, clasa a VII-a? Patru probleme: numerele prime $m, n$ cu $\frac{\sqrt{2023}}{m} = \frac{n}{\sqrt{p}}$ , valorile lui $n$ pentru care $\sqrt{(1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)^{5} + 145}$ este natural, un triunghi echilateral cu un punct $D$ și $∢ A B D = 40^{\circ}$ (bisectoare și unghiul $F D C$ ) și un cerc de diametru $A B$ cu centrul cercului circumscris triunghiului $A E F$ .

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2023? În București, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, fiecare notată de la 0 la 7 puncte (se acordă numai punctaje întregi), deci punctajul maxim este 28. Rezolvările parțiale se punctează după barem, iar orice altă rezolvare corectă se asimilează conform baremului.

Unde găsesc subiectele și baremul oficial de la etapa locală 2023 din București? Subiectele și baremele etapei locale din București (11 februarie 2023) au fost elaborate de Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) împreună cu Inspectoratul Școlar al Municipiului București (ISMB); fișierele oficiale sunt publicate de SSMR pe pagina etapei locale 2023 (harta cu subiectele pe județe). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa locală 2023 (București) — clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a; etapa următoare: olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VII-a; toate subiectele: olimpiada de matematică; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR / ISMB (Olimpiada Națională de Matematică, etapa locală, București, 11 februarie 2023): subiectul și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa locală (București) — clasa a VII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · radicali, numere prime)

Problema 2 (7 puncte · pătrate perfecte, resturi)

Problema 3 (7 puncte · triunghiuri isoscele, congruență, bisectoare)

Problema 4 (7 puncte · cercul, unghi înscris în semicerc, mediatoare)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe