Olimpiada matematică etapa locală 2026 Cluj, clasa a 7-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada de matematică 2026, etapa locală din județul Cluj, clasa a VII-a (vineri, 20 februarie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $a = 2$ și $S = 2^{2028} - 1$ , care se termină în 5; $a = 1$ , $b = \frac{24}{25}$ și $\sqrt{a + 25 b} = 5$ ; unghiul $A M B$ are 90°, iar $A M B N$ este dreptunghi; $N = 90$ .

Olimpiada Națională de Matematică are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa locală subiectele diferă de la un județ la altul: fiecare inspectorat școlar își stabilește propriul subiect. Pagina de față conține subiectul dat în județul Cluj, vineri, 20 februarie 2026, elevilor de clasa a VII-a: 4 probleme, timp efectiv de lucru 3 ore. Conform subiectului oficial, problemele 1 și 2 valorează câte 25 de puncte, problemele 3 și 4 câte 20 de puncte, iar 10 puncte se acordă din oficiu (total 100). Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană, care a avut loc pe 7 martie 2026 cu un subiect unic pe țară — îl găsești rezolvat aici: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VII-a.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (25 de puncte · sume Gauss, puteri, ultima cifră)

Se consideră numărul real $a$ $= 2027 - \frac{1 + 2 + 3 + \dots + 2025}{\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + 2025}}$ .

a) Arătați că $a$ este număr natural.

b) Calculați $S$ $= a^{0} + a^{1} + a^{2} + \dots + a^{2027}$ .

c) Arătați că suma $S$ $= a^{0} + a^{1} + a^{2} + \dots + a^{2027}$ este divizibilă cu 5.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Cu formula lui Gauss: $1 + 2 + 3 + \dots + 2025$ $= 2025 \cdot 2026 : 2$ $= 2025 \cdot 1013$ . (4 p)

Suma primelor $n$ numere impare este $n^{2}$ ; de la 1 la 2025 sunt $(2025 + 1) : 2 = 1013$ numere impare, deci $\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + 2025}$ $= \sqrt{1013^{2}}$ $= 1013$ . (4 p)

$a$ $= 2027 - \frac{2025 \cdot 1013}{1013}$ $= 2027 - 2025$ $= 2$ , care este număr natural. (2 p)

b) $S$ $= 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{2027}$ . Notând această sumă cu $S$ , avem $2 S$ $= 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{2028}$ , iar prin scădere $2 S - S = 2^{2028} - 2^{0}$ . Deci $S = 2^{2028} - 1$ . (8 p)

c) Ultimele cifre ale puterilor lui 2 se repetă din 4 în 4 (2, 4, 8, 6), iar $2028 = 4 \cdot 507$ , deci $U (2^{2028}) = 6$ . Atunci $U (S)$ $= U (2^{2028} - 1)$ $= 6 - 1$ $= 5$ , deci $S$ se divide cu 5. (7 p)

Răspuns: a) $a = 2$ ; b) $S = 2^{2028} - 1$ ; c) $S$ se termină în 5, deci $5 ∣ S$ .

Problema 2 (25 de puncte · radicali, modul, sume telescopice)

Se consideră numerele reale:

a = \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{7})^{2}} + \sqrt{(6 - 3 \sqrt{7})^{2}} + \sqrt{(2 \sqrt{7} - 8)^{2}}}{\sqrt{(2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2})^{2}} \cdot \sqrt{(2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})^{2}}}

și $b$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{600}$ . Să se arate că rădăcina pătrată a numărului $a + 25 b$ este un număr natural.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: $\sqrt{x^{2}} = | x |$ ; trebuie doar să stabilim semnul fiecărei paranteze.

$a = \frac{| 4 - \sqrt{7} | + | 6 - 3 \sqrt{7} | + | 2 \sqrt{7} - 8 |}{| 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} | \cdot | 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} |} .$ (3 p)
Comparăm: $4 = \sqrt{16} > \sqrt{7}$ ; $3 \sqrt{7}$ $= \sqrt{63}$ $> 6$ $= \sqrt{36}$ ; $2 \sqrt{7}$ $= \sqrt{28}$ $< 8$ $= \sqrt{64}$ ; $2 \sqrt{3}$ $= \sqrt{12}$ $< 3 \sqrt{2}$ $= \sqrt{18}$ . Deci $a = \frac{4 - \sqrt{7} - 6 + 3 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 8}{(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})} .$ (3 p)
Termenii cu $\sqrt{7}$ se reduc, iar numitorul este o diferență de pătrate: $a$ $= \frac{6}{(3 \sqrt{2})^{2} - (2 \sqrt{3})^{2}}$ . (2 p)
$a = \frac{6}{18 - 12} = 1$ . (2 p)
Numitorii lui $b$ sunt produse de numere consecutive: $2 = 1 \cdot 2$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $12 = 3 \cdot 4$ , …, $600 = 24 \cdot 25$ , deci $b = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{24 \cdot 25} .$ (3 p)
Scriem fiecare numărător ca diferența factorilor de la numitor: $b = \frac{2 - 1}{1 \cdot 2} + \frac{3 - 2}{2 \cdot 3} + \frac{4 - 3}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{25 - 24}{24 \cdot 25} .$ (3 p)
Despărțim fiecare fracție: $b = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{24} - \frac{1}{25} .$ (2 p)
Termenii din mijloc se reduc: $b$ $= 1 - \frac{1}{25}$ $= \frac{24}{25}$ . (2 p)
$\sqrt{a + 25 b}$ $= \sqrt{1 + 25 \cdot \frac{24}{25}}$ (3 p)
$\sqrt{a + 25 b}$ $= \sqrt{1 + 24}$ $= \sqrt{25}$ $= 5$ , care este număr natural. (2 p)

Răspuns: $a = 1$ , $b = \frac{24}{25}$ , $\sqrt{a + 25 b} = 5$ .

Problema 3 (20 de puncte · paralele, triunghi isoscel, dreptunghi)

Fie $D$ mijlocul laturii $A B$ a triunghiului $A B C$ . Paralela prin $D$ la $B C$ intersectează latura $A C$ în punctul $E$ și bisectoarea unghiului $A B C$ în punctul $M$ , iar punctul $N$ este simetricul lui $M$ față de $D$ .

a) Desenați figura corespunzătoare.

b) Aflați măsura unghiului $A M B$ .

c) Arătați că $A M B N$ este dreptunghi.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Desenul este alăturat enunțului: dreapta $D E$ este paralelă cu $B C$ , $B M$ este bisectoarea unghiului $A B C$ , iar $N$ se află pe dreapta $D E$ , de cealaltă parte a lui $D$ , cu $D N = D M$ . (3 p)

$D$ este mijlocul lui $A B$ , deci $A D \equiv D B$ . (2 p)
$D E ∥ B C$ și $M \in D E$ , deci $D M ∥ B C$ ; cu secanta $B M$ obținem $∠ M B C \equiv ∠ D M B$ (unghiuri alterne interne). (2) (2 p)
$B M$ este bisectoarea unghiului $D B C$ , deci $∠ M B C \equiv ∠ D B M$ . (3) (2 p)
Din (2) și (3): $∠ D M B \equiv ∠ D B M$ , deci triunghiul $D B M$ este isoscel și $D M \equiv D B$ . (3 p)
În triunghiul $A M B$ , $M D$ este mediană și $M D = D B = \frac{A B}{2}$ . Conform reciprocei teoremei medianei (o mediană egală cu jumătate din latura pe care cade arată că triunghiul este dreptunghic), $∠ A M B = 90^{\circ}$ . (3 p)

c) În patrulaterul $A M B N$ , $A B$ și $N M$ sunt diagonale. $D$ este mijlocul lui $A B$ ( $A D \equiv D B$ ) și, fiind $N$ simetricul lui $M$ față de $D$ , $D$ este și mijlocul lui $N M$ ( $N D \equiv D M$ ). Diagonalele se înjumătățesc, deci $A M B N$ este paralelogram. (3 p)

Paralelogramul $A M B N$ are $∠ A M B = 90^{\circ}$ , deci $A M B N$ este dreptunghi. (2 p)

Răspuns: b) $∠ A M B = 90^{\circ}$ ; c) paralelogram cu un unghi drept, deci dreptunghi.

Problema 4 (20 de puncte · radicali compuși, comparare)

Arătați că numărul $N$ este natural și $2 \sqrt{2026} > N$ , unde

N = \sqrt{4052 + 2 \sqrt{2025 \cdot 2027}} - \sqrt{4052 - 2 \sqrt{2025 \cdot 2027}} .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: ridicăm la pătrat; produsul celor doi radicali devine un radical dintr-o diferență de pătrate.

$2025 \cdot 2027$ $= (2026 - 1) (2026 + 1)$ $= 2026^{2} - 1$ . (5 p)
Primul radical este mai mare decât al doilea, deci $N > 0$ . Ridicăm la pătrat, cu formula $(x - y)^{2}$ $= x^{2} - 2 x y + y^{2}$ : $N^{2} = 4052 + 2 \sqrt{2025 \cdot 2027} - 2 \sqrt{(4052 + 2 \sqrt{2025 \cdot 2027}) (4052 - 2 \sqrt{2025 \cdot 2027})} + 4052 - 2 \sqrt{2025 \cdot 2027} .$ (5 p)
Termenii cu $\sqrt{2025 \cdot 2027}$ se reduc, iar sub radicalul din mijloc avem o diferență de pătrate. Cum $4052 = 2 \cdot 2026$ , avem $4052^{2} = 4 \cdot 2026^{2}$ , deci $N^{2} = 2 \cdot 4052 - 2 \sqrt{4052^{2} - 4 \cdot 2026^{2} + 4} = 8104 - 2 \sqrt{4} = 8104 - 4 = 8100.$ (4 p)
$N$ $= \sqrt{8100}$ $= 90 \in N$ . (3 p)
Ambele numere sunt pozitive, deci le putem compara pătratele: $2 \sqrt{2026}$ $> 90 \Leftrightarrow 4 \cdot 2026$ $> 8100 \Leftrightarrow 8104$ $> 8100$ , adevărat. (3 p)

Răspuns: $N = 90$ , iar $2 \sqrt{2026}$ $= \sqrt{8104}$ $> \sqrt{8100}$ $= 90$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $a = 2$ ; b) $S = 2^{2028} - 1$ ; c) $U (S) = 5$
2	$a = 1$ , $b = \frac{24}{25}$ , $\sqrt{a + 25 b} = 5$
3	b) $∠ A M B = 90^{\circ}$ ; c) paralelogram cu un unghi drept
4	$N = 90$ și $2 \sqrt{2026} = \sqrt{8104} > 90$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Suma lui Gauss, suma numerelor impare, puteri	fișă mulțimea numerelor reale
2	Radicali, modulul, sume telescopice	fișă radicali · fișă operații cu numere reale
3	Drepte paralele, bisectoare, mediana în triunghiul dreptunghic, dreptunghiul	fișă patrulatere
4	Radicali compuși, diferența de pătrate	fișă radicali

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa locală Cluj, clasa a VII-a? Patru probleme: un număr definit cu suma lui Gauss și suma numerelor impare, urmat de suma puterilor lui 2; o expresie cu radicali din pătrate și o sumă telescopică; o problemă de geometrie cu paralela prin mijlocul unei laturi și bisectoarea unui unghi; și o diferență de radicali compuși egală cu 90.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică? În județul Cluj, în 2026, timpul efectiv de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, notate cu 25, 25, 20 și 20 de puncte, plus 10 puncte din oficiu (maximum 100). Se punctează și rezolvările parțiale, după barem. În alte județe subiectele și punctajele pot fi diferite.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2026? Subiectul și baremul pentru județul Cluj (antet Ministerul Educației și Cercetării și Inspectoratul Școlar Județean Cluj) sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România pe harta subiectelor de la etapa locală 2026, împreună cu subiectele celorlalte județe. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa locală Cluj 2026 — clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a; aceeași clasă, etapa următoare: etapa județeană 2026, clasa a VII-a; toate subiectele: olimpiada de matematică — subiecte rezolvate; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației și Cercetării / Inspectoratul Școlar Județean Cluj (Olimpiada de matematică, etapa locală Cluj, 20 februarie 2026): subiectul și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa locală (Cluj) — clasa a VII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (25 de puncte · sume Gauss, puteri, ultima cifră)

Problema 2 (25 de puncte · radicali, modul, sume telescopice)

Problema 3 (20 de puncte · paralele, triunghi isoscel, dreptunghi)

Problema 4 (20 de puncte · radicali compuși, comparare)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe