Olimpiada de matematică 2023 națională, clasa a XI-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a XI-a?

Patru probleme: funcțiile de două ori derivabile cu (f'(x))² + f''(x) ≤ 0, o caracterizare a egalității rangurilor a două matrice, matricele cu A²B = A și comutatorul AB - BA și o problemă despre derivabilitatea unei funcții continue definită printr-o limită pe un șir.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa națională, clasa a XI-a (Craiova, 11 aprilie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: singurele funcții cu $(f^{'})^{2} + f^{″} \leq 0$ sunt constantele; $rang (A) = rang (B)$ se caracterizează prin $A X + Y B = A Z B$ ; din $A^{2} B = A$ rezultă $(A B - B A)^{2} = O_{n}$ ; la problema 4, funcția continuă $f$ este derivabilă.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională din 2023 (ediția a 73-a), desfășurată la Craiova, proba pentru clasa a XI-a a avut loc pe 11 aprilie 2023, cu elevii calificați de la etapa județeană. Subiectul a avut 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă este notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Rezultatele de la etapa națională contează și pentru selecția lotului care participă la barajele pentru olimpiadele internaționale.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–40 de minute (sunt probleme de nivel național), apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · derivate, funcții concave, limite)

Determinați funcțiile de două ori derivabile $f : R \to R$ care verifică relația ${(f^{'} (x))}^{2} + f^{″} (x)$ $\leq 0$ , pentru orice $x \in R$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Varianta 1. Fie $f : R \to R$ o funcție care satisface condițiile din enunț. Definim funcția $g : R \to R$ prin $g (x) = e^{f (x)}$ , $x \in R$ . Funcția $g$ este de două ori derivabilă. Avem $g^{'} (x) = f^{'} (x) e^{f (x)}$ și

g^{″} (x) = e^{f (x)} ({(f^{'} (x))}^{2} + f^{″} (x)), pentru orice x \in R .

(2 p)

Din ipoteză deducem $g^{″} (x) \leq 0$ , $\forall x \in R$ . Atunci funcția $g^{'}$ este descrescătoare, deci există limitele $ℓ_{1}$ $= lim_{x \to - \infty} g^{'} (x)$ și $ℓ_{2}$ $= lim_{x \to \infty} g^{'} (x)$ , cu $ℓ_{1}, ℓ_{2} \in \overset{―}{R}$ . (1 p)

Cu regula lui l'Hôpital obținem

lim_{x \to - \infty} \frac{g (x)}{x} = lim_{x \to - \infty} g^{'} (x) = ℓ_{1} și lim_{x \to \infty} \frac{g (x)}{x} = lim_{x \to \infty} g^{'} (x) = ℓ_{2} .

(1 p)

Din $g (x) > 0$ , $\forall x \in R$ , rezultă $ℓ_{1} \leq 0$ și $ℓ_{2} \geq 0$ . (1 p)

Cum $g^{'}$ este descrescătoare, cu $ℓ_{1} \leq 0$ și $ℓ_{2} \geq 0$ , deducem $ℓ_{2}$ $\leq g^{'} (x)$ $\leq ℓ_{1}$ , deci $g^{'} (x) = 0$ , $\forall x \in R$ . Atunci $g$ este o funcție constantă, strict pozitivă, deci și $f = \ln g$ este o funcție constantă. Reciproc, orice funcție constantă $f$ satisface condițiile din enunț. (2 p)

Varianta 2 (din barem). Cu aceeași funcție $g = e^{f}$ , avem $g^{″} \leq 0$ (2 p). Atunci $g$ este concavă pe $R$ , deci $\frac{g (y) - g (x)}{y - x}$ $\geq \frac{g (z) - g (y)}{z - y}$ pentru orice $x < y < z$ . (1 p) Presupunem prin absurd că există $a < b$ cu $g (a) \neq g (b)$ . (1 p) Dacă $g (a) < g (b)$ , din $\frac{g (a) - g (x)}{a - x}$ $\geq \frac{g (b) - g (a)}{b - a}$ pentru $x < a$ obținem $g (x)$ $\leq \frac{g (b) - g (a)}{b - a} (x - a) + g (a)$ , deci $lim_{x \to - \infty} g (x)$ $= - \infty$ . Dacă $g (a) > g (b)$ , analog, pentru $x > b$ , $g (x)$ $\leq \frac{g (b) - g (a)}{b - a} (x - b) + g (b)$ , deci $lim_{x \to \infty} g (x)$ $= - \infty$ . În ambele cazuri se contrazice $g > 0$ ; deci $g$ , și apoi $f = \ln g$ , este constantă, iar orice constantă verifică. (3 p)

Răspuns: funcțiile constante.

Problema 2 (7 puncte · rangul unei matrice, matrice inversabile)

Fie $A, B \in M_{n} (R)$ . Arătați că $rang (A)$ $= rang (B)$ dacă și numai dacă există matricele inversabile $X, Y, Z \in M_{n} (R)$ astfel încât $A X + Y B = A Z B$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

1. Presupunem că există matricele inversabile $X, Y, Z \in M_{n} (R)$ astfel încât $A X + Y B = A Z B$ . Atunci

rang (A) = rang (A X) = rang ((A Z - Y) B) \leq rang (B) .

Analog, $rang (B)$ $\leq rang (A)$ . Rezultă $rang (A)$ $= rang (B)$ . (3 p)

2. Presupunem $rang (A)$ $= rang (B)$ $= r$ . Atunci există matricele inversabile $T, U, V, W \in M_{n} (R)$ astfel încât

T A U = (\begin{matrix} I_{r} & O_{r, n - r} \\ O_{n - r, r} & O_{n - r} \end{matrix}) = V B W .

(1 p)

Rezultă $A (U W^{- 1})$ $= (T^{- 1} V) B$ . Alegem $λ \in R$ astfel încât $det (B - λ (U W^{- 1})) \neq 0$ și $det (A + λ (T^{- 1} V)) \neq 0$ (ambii determinanți sunt polinoame în $λ$ de grad $n$ , cu coeficientul dominant nenul, deci au un număr finit de rădăcini). Fie matricele inversabile $X$ $= B - λ (U W^{- 1})$ și $Y$ $= A + λ (T^{- 1} V)$ . Obținem

A X + Y B = 2 A B - λ A (U W^{- 1}) + λ (T^{- 1} V) B = 2 A B = A Z B, unde Z = 2 I_{n} .

(3 p)

Problema 3 (7 puncte · matrice, polinom minimal, valori proprii)

Fie un număr natural $n \geq 2$ și matricele $A, B \in M_{n} (C)$ , cu proprietatea $A^{2} B = A$ .

a) Demonstrați că $(A B - B A)^{2} = O_{n}$ .
b) Arătați că pentru oricare număr natural $k \leq n / 2$ există matrice $A, B \in M_{n} (C)$ cu proprietatea din enunț astfel încât $rang (A B - B A)$ $= k$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Varianta 1. Dacă $A$ este inversabilă (atunci $A B = I_{n} = B A$ ) sau $A = O_{n}$ , atunci $A B - B A = O_{n}$ . Fie $A \neq O_{n}$ , cu $det (A) = 0$ , iar $P \in C [X]$ polinomul său minimal. Cum $P (0) = 0$ și $P \neq X$ , polinomul $P$ este de forma $P$ $= X^{k} + a_{k - 1} X^{k - 1} + \dots + a_{1} X$ , unde $2 \leq k \leq n$ . Din relația $P (A) B = O_{n}$ și ipoteză ( $A^{j} B = A^{j - 1}$ pentru $j \geq 2$ ) obținem

A^{k - 1} + a_{k - 1} A^{k - 2} + \dots + a_{2} A + a_{1} A B = O_{n} . (1)

Cum $P$ este minimal, avem $a_{1} \neq 0$ . Ca urmare, $A B$ $= - \frac{1}{a_{1}} (A^{k - 1} + a_{k - 1} A^{k - 2} + \dots + a_{2} A)$ , deci $A B$ comută cu $A$ . Rezultă $A = A^{2} B = A (A B) = A B A$ . (2 p)

Atunci, înmulțind la dreapta relația (1) cu $B A$ , obținem

A^{k - 1} + a_{k - 1} A^{k - 2} + \dots + a_{2} A + a_{1} A B^{2} A = O_{n} . (2)

Din (1) și (2) rezultă $a_{1} (A B^{2} A - A B)$ $= O_{n}$ . Cum $a_{1} \neq 0$ , obținem $A B^{2} A = A B$ . (2 p)

Ca urmare,

\begin{aligned} (A B - B A)^{2} & = (A B A) B - A B^{2} A - B (A^{2} B) + B (A B A) \\ = A B - A B - B A + B A = O_{n} . \end{aligned}

(1 p)

Baremul oficial conține și o a doua variantă pentru a): se arată $A B A = A$ , apoi $(A B - B A)^{3} = (A B - B A)^{2}$ ; valorile proprii ale lui $A B - B A$ sunt în ${0, 1}$ , iar cum $Tr (A B - B A)$ $= 0$ , toate sunt nule, deci $(A B - B A)^{n} = O_{n}$ și de aici $(A B - B A)^{2} = O_{n}$ .

b) Alegem

A = (\begin{matrix} O_{n - k} & O_{n - k, k} \\ O_{k, n - k} & I_{k} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} O_{n - k} & C \\ O_{k, n - k} & I_{k} \end{matrix}),

unde $C \in M_{n - k, k} (C)$ este o matrice cu $rang (C)$ $= k$ $\leq n - k$ (pentru $k = 0$ vom înțelege $A = B = O_{n}$ ). Avem $A^{2} B = A B = A$ , $B A = B$ și

A B - B A = A - B = (\begin{matrix} O_{n - k} & - C \\ O_{k, n - k} & O_{k} \end{matrix}),

deci $rang (A B - B A)$ $= k$ . (2 p)

Remarcă (din barem): reciproc, pentru oricare $A, B \in M_{n} (C)$ astfel încât $A^{2} B = A$ are loc inegalitatea $rang (A B - B A)$ $\leq n / 2$ .

Problema 4 (7 puncte · derivabilitate, funcții continue, supremum)

Considerăm o funcție $f : R \to R$ pentru care există o funcție derivabilă $g : R \to R$ și există un șir $(a_{n})_{n \geq 1}$ de numere reale strict pozitive, convergent la 0, astfel încât

g^{'} (x) = lim_{n \to \infty} \frac{f (x + a_{n}) - f (x)}{a_{n}},

pentru orice $x \in R$ .

a) Dați un exemplu de o astfel de funcție $f$ care nu este derivabilă în niciun punct $x \in R$ .
b) Arătați că dacă $f$ este continuă pe $R$ atunci $f$ este derivabilă pe $R$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Considerăm $f : R \to R$ , $f (x) = 1$ pentru $x \in Q$ și $f (x) = 0$ pentru $x \in R ∖ Q$ (funcția lui Dirichlet). Fie șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu termenii strict pozitivi $a_{n} = 1 / n$ , $\forall n \in N^{*}$ , convergent la 0. Pentru $n \in N^{*}$ avem $x + a_{n} \in Q$ , $\forall x \in Q$ , și $x + a_{n} \in R ∖ Q$ , $\forall x \in R ∖ Q$ . Astfel, $f (x + a_{n}) = f (x)$ , $\forall x \in R$ , $\forall n \in N^{*}$ . Rezultă

lim_{n \to \infty} \frac{f (x + a_{n}) - f (x)}{a_{n}} = 0 = g^{'} (x), \forall x \in R,

unde $g$ este o funcție constantă arbitrară. Funcția $f$ este discontinuă în orice punct $x \in R$ , deci nederivabilă în orice punct $x \in R$ . (2 p)

b) Considerăm funcția $h : R \to R$ , $h = f - g$ . Funcția $h$ este continuă, ca diferență de funcții continue. (1 p)

lim_{n \to \infty} \frac{h (x + a_{n}) - h (x)}{a_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{f (x + a_{n}) - f (x)}{a_{n}} - g^{'} (x) = 0, pentru orice x \in R .

(1 p)

Fie $x, y \in R$ , cu $x < y$ . Fie $c > 0$ și $A (c)$ $= {z \in [x, y] | | h (z) - h (x) | \leq c (z - x)}$ . Cum $x \in A (c) \subset [x, y]$ , există $s = sup A (c) \in [x, y]$ . Din continuitatea lui $h$ rezultă $s \in A (c)$ .

Presupunem, prin absurd, $s < y$ . Atunci există $n_{1} \in N^{*}$ astfel ca $s + a_{n} < y$ , $\forall n \geq n_{1}$ . Din $lim_{n \to \infty} \frac{h (s + a_{n}) - h (s)}{a_{n}}$ $= 0$ rezultă că există $n_{2} \geq n_{1}$ astfel ca $| \frac{h (s + a_{n_{2}}) - h (s)}{a_{n_{2}}} |$ $< c$ . Atunci $s < s + a_{n_{2}} < y$ și au loc inegalitățile

\begin{aligned} | h (s + a_{n_{2}}) - h (x) | & \leq | h (s) - h (x) | + | h (s + a_{n_{2}}) - h (s) | \\ < c (s - x) + c a_{n_{2}} = c [(s + a_{n_{2}}) - x] . \end{aligned}

Rezultă $s + a_{n_{2}} \in A (c)$ , în contradicție cu $s = sup A (c)$ . Prin urmare $y = s \in A (c)$ , deci $| h (y) - h (x) | \leq c (y - x)$ . Cum $c > 0$ este arbitrar, deducem $h (x) = h (y)$ . Rezultă că $h$ este o funcție constantă. (2 p)

Atunci $f = g + h$ este derivabilă pe $R$ , cu $f^{'} = g^{'}$ . (1 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	funcțiile constante
2	demonstrație (pentru reciprocă $Z = 2 I_{n}$ )
3	a) demonstrație; b) exemplu cu matrice bloc, $rang (A B - B A) = k$
4	a) funcția lui Dirichlet, $a_{n} = 1 / n$ ; b) demonstrație ( $f^{'} = g^{'}$ )

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Derivate, funcții concave, regula lui l'Hôpital
2	Rangul unei matrice, matrice inversabile, determinanți
3	Matrice, polinom minimal, valori proprii, urma
4	Limite, continuitate, derivabilitate, marginea superioară

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a XI-a? Patru probleme: funcțiile de două ori derivabile cu $(f^{'} (x))^{2} + f^{″} (x) \leq 0$ , o caracterizare a egalității rangurilor a două matrice, matricele cu $A^{2} B = A$ și comutatorul $A B - B A$ și o problemă despre derivabilitatea unei funcții continue definită printr-o limită pe un șir.

Cum se punctează proba la olimpiada de matematică, etapa națională 2023? Subiectul are 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se acordă puncte și pentru rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială se punctează corespunzător.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023? Soluțiile și baremele de corectare pentru clasele IX–XII sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs; enunțurile problemelor sunt incluse în aceleași documente. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2023, liceu — clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XII-a. Aceeași clasă la etapa județeană: olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a XI-a. Alte competiții de matematică găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Craiova, 11 aprilie 2023): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate pe ssmr.ro. Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa națională — clasa a XI-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · derivate, funcții concave, limite)

Problema 2 (7 puncte · rangul unei matrice, matrice inversabile)

Problema 3 (7 puncte · matrice, polinom minimal, valori proprii)

Problema 4 (7 puncte · derivabilitate, funcții continue, supremum)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe