Olimpiada de matematică 2024 județeană, clasa a XII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a XII-a?

Patru probleme: o ecuație de gradul al doilea în inelul Z_n, o problemă cu primitive și funcția inversă, o problemă de inele și monoizi (proprietatea CP(k)) și o inegalitate cu integrale.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa județeană, clasa a XII-a (duminică, 10 martie 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: ecuația $x^{2} - \hat{3} x + \hat{5} = \hat{0}$ are soluție unică doar în $Z_{11}$ ; funcția $g$ din problema 2 are un punct fix cu $g^{'} (c) = - 1$ ; $Z_{4}$ nu are proprietatea $C P (k)$ ; o inegalitate integrală prin monotonie.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 10 martie 2024, toți elevii de clasa a XII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial din 2024, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · inelul claselor de resturi)

Determinați numerele naturale $n$ , cu $n \in N$ , $n \geq 2$ , pentru care ecuația

x^{2} - \hat{3} \cdot x + \hat{5} = \hat{0} (1)

are o unică soluție în inelul $(Z_{n}, +, \cdot)$ . (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm cu $M$ mulțimea numerelor $n \geq 2$ pentru care ecuația (1) are o unică soluție în $Z_{n}$ . Vom arăta că $M = {11}$ .

În $Z_{11}$ , ecuația se scrie echivalent $x^{2} - \hat{14} \cdot x + \hat{49}$ $= \hat{0}$ , adică $(x - \hat{7})^{2} = \hat{0}$ , cu soluția unică $x = \hat{7}$ (11 fiind prim, $Z_{11}$ nu are divizori ai lui zero). Deci $11 \in M$ . (1 p)
Deoarece $k^{2} - 3 k + 5$ $= (k - 1) (k - 2) + 3$ este impar pentru orice $k \in Z$ , ecuația nu are soluții în $Z_{n}$ pentru niciun $n$ par. Deci $M \subseteq 2 N + 1$ . (1 p)
Fie $n \in M$ și $x$ soluția unică. Pentru $y = \hat{3} - x$ avem $y^{2} - \hat{3} y + \hat{5}$ $= \hat{9} - \hat{6} x + x^{2} - \hat{9} + \hat{3} x + \hat{5}$ $= x^{2} - \hat{3} x + \hat{5}$ $= \hat{0}$ , deci și $y$ este soluție. Din unicitate, $x = \hat{3} - x$ , adică $\hat{2} x = \hat{3}$ . Cum $n$ este impar, $\hat{2}$ este inversabil și $x$ $= \hat{3} \cdot {\hat{2}}^{- 1}$ . (2 p)
Faptul că $x$ $= \hat{3} \cdot {\hat{2}}^{- 1}$ verifică (1) este echivalent (înmulțind cu $\hat{4}$ , inversabil pentru $n$ impar) cu $\hat{9} - \hat{18} + \hat{20}$ $= \hat{0}$ , adică $\hat{11} = \hat{0}$ , deci $n ∣ 11$ . Cum $n \geq 2$ , rezultă $n = 11$ ; așadar $M \subseteq {11}$ . (2 p)
Din $11 \in M \subseteq {11}$ rezultă $M = {11}$ . (1 p)

Răspuns: $n = 11$ (soluția unică este $x = \hat{7}$ ).

Problema 2 (7 puncte · primitive, funcția inversă, derivata)

Fie $f : [0, 1] \to (0, \infty)$ o funcție continuă pe $[0, 1]$ , iar $A$ $= \int_{0}^{1} f (t) d t$ .

a) Arătați că funcția $F : [0, 1] \to [0, A]$ , definită pentru orice $x \in [0, 1]$ prin $F (x)$ $= \int_{0}^{x} f (t) d t$ , este inversabilă, cu inversa derivabilă.

b) Arătați că există o unică funcție $g : [0, 1] \to [0, 1]$ , astfel încât egalitatea

\int_{0}^{x} f (t) d t = \int_{g (x)}^{1} f (t) d t (2)

să aibă loc pentru orice $x \in [0, 1]$ .

c) Arătați că există $c \in [0, 1]$ pentru care $lim_{x \to c} \frac{g (x) - c}{x - c}$ $= - 1$ , unde $g$ este funcția unic determinată prin relația (2).

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Cum $f$ este continuă, $F$ este derivabilă, cu $F^{'} (x) = f (x) > 0$ pe $[0, 1]$ . Deci $F$ este strict crescătoare, adică injectivă. Fiind continuă, $F$ are proprietatea lui Darboux, iar $F (0) = 0$ , $F (1) = A$ , deci $F$ este surjectivă. Așadar $F$ este bijectivă, deci inversabilă. Cum $F^{'} (x) > 0$ , $F^{- 1}$ este derivabilă, cu ${(F^{- 1})}^{'} (x)$ $= \frac{1}{f (F^{- 1} (x))}$ pentru orice $x \in [0, A]$ . (1 p)

b) Egalitatea (2) devine $F (x)$ $= F (1) - F (g (x))$ $= A - F (g (x))$ , adică $F (g (x)) = A - F (x)$ pentru orice $x \in [0, 1]$ . (1 p)

Cum $F$ este crescătoare cu valori în $[0, A]$ , avem $A - F (x) \in [0, A]$ , deci funcția $g (x) = F^{- 1} (A - F (x))$ este bine definită, cu valori în $[0, 1]$ , și este unica funcție cu proprietatea (2) (pentru că $F$ este injectivă). (2 p)

c) Cum $F$ și $F^{- 1}$ sunt derivabile, $g$ este derivabilă și $g^{'} (x) = \frac{- f (x)}{f (F^{- 1} (A - F (x)))} (3)$ pentru orice $x \in [0, 1]$ . Funcția $g$ este strict descrescătoare, deci are un unic punct fix $c \in [0, 1]$ (funcția $g (x) - x$ este strict descrescătoare, cu $g (0) - 0 = 1 \geq 0$ și $g (1) - 1 = - 1 \leq 0$ ). Pentru acesta, $2 F (c) = F (c) + F (g (c)) = A$ , deci $F (c) = \frac{A}{2}$ și $c$ $= F^{- 1} (\frac{A}{2})$ . (2 p)

Cum $g$ este derivabilă, există limita $\begin{aligned} lim_{x \to c} \frac{g (x) - c}{x - c} & = lim_{x \to c} \frac{g (x) - g (c)}{x - c} = g^{'} (c) \\ = \frac{- f (c)}{f (F^{- 1} (A - F (c)))} \\ = \frac{- f (c)}{f (c)} = - 1, \end{aligned}$ pentru că $F^{- 1} (A - F (c))$ $= g (c)$ $= c$ . (1 p)

Problema 3 (7 puncte · inele, grupuri, monoizi)

Fie $k \in N^{*}$ . Spunem că inelul $(A, +, \cdot)$ are proprietatea $C P (k)$ , dacă pentru orice $a, b \in A$ există $c \in A$ , astfel încât $a^{k} = b^{k} + c^{k}$ .

a) Dați un exemplu de inel finit $(A, +, \cdot)$ , care nu are proprietatea $C P (k)$ pentru niciun număr natural $k$ , cu $k \geq 2$ .

b) Fie $n \in N$ , $n \geq 3$ , iar $M (n)$ $= {m \in N^{*} ∣ (Z_{n}, +, \cdot) are proprietatea C P (m)}$ . Demonstrați că $M (n)$ este un monoid în raport cu operația de înmulțire, inclus în mulțimea $2 \cdot N + 1$ a numerelor naturale impare.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Pentru fiecare $k \in N^{*}$ notăm $P_{k} (A)$ $= {a^{k} ∣ a \in A}$ . Condiția $C P (k)$ este echivalentă cu: $x - y \in P_{k} (A)$ pentru orice $x, y \in P_{k} (A)$ , adică $P_{k} (A)$ este un subgrup al grupului aditiv $(A, +)$ . (1 p)

a) Pentru $A = Z_{4}$ : ${\hat{0}}^{2} = \hat{0}$ , ${\hat{1}}^{2} = \hat{1}$ , ${\hat{2}}^{2} = \hat{0}$ , ${\hat{3}}^{2} = \hat{1}$ , deci $P_{2 k} (Z_{4})$ $= {\hat{0}, \hat{1}}$ , iar $P_{2 k + 1} (Z_{4})$ $= {\hat{0}, \hat{1}, \hat{3}}$ , pentru orice $k \in N^{*}$ . Acestea nu sunt subgrupuri ale lui $(Z_{4}, +)$ (de exemplu $\hat{1} + \hat{1}$ $= \hat{2}$ nu aparține niciuneia). Prin urmare, $Z_{4}$ nu are proprietatea $C P (k)$ pentru niciun $k \geq 2$ . (2 p)

Pentru $n \geq 3$ , considerăm inelul $Z_{n}$ . Cum $\hat{1} \in P_{k} (Z_{n})$ pentru orice $k$ , iar $(Z_{n}, +)$ este ciclic, generat de $\hat{1}$ , rezultă $C P (k) ⟺ P_{k} (Z_{n})$ $= Z_{n}$ . Echivalent, $C P (k)$ are loc dacă și numai dacă funcția $p_{k} : Z_{n} \to Z_{n}$ , $p_{k} (x) = x^{k}$ , este bijectivă (o funcție surjectivă de la o mulțime finită la ea însăși este bijectivă). Deci $M (n)$ $= {m \in N^{*} ∣ p_{m} este bijectivă}$ .
Pentru $k$ par, $p_{k} (\hat{1})$ $= p_{k} (- \hat{1})$ , iar $\hat{1} \neq - \hat{1}$ (pentru că $n \geq 3$ ); deci $p_{k}$ nu este injectivă și orice $m \in M (n)$ este impar: $M (n) \subseteq 2 N + 1$ . (2 p)
Cum $p_{1}$ $= {id}_{Z_{n}}$ este bijectivă, $1 \in M (n)$ . Dacă $m_{1}, m_{2} \in M (n)$ , funcțiile $p_{m_{1}}$ , $p_{m_{2}}$ sunt bijective, iar $p_{m_{1} m_{2}}$ $= p_{m_{1}} \circ p_{m_{2}}$ este bijectivă, fiind compunerea a două bijecții; deci $m_{1} m_{2} \in M (n)$ . Rezultă că $M (n)$ este un submonoid al monoidului $(N^{*}, \cdot)$ . (2 p)

Problema 4 (7 puncte · integrale, inegalități, monotonie)

Fie $f : [0, \infty) \to R$ o funcție derivabilă, cu derivata continuă, astfel încât $f (0) = 0$ , iar $0 \leq f^{'} (x) \leq 1$ pentru orice $x > 0$ . Demonstrați că

\begin{aligned} \int_{0}^{a} f (t)^{2 n + 1} d t \\ \leq (n + 1) \cdot {(\int_{0}^{a} f (t)^{n} d t)}^{2}, \end{aligned}

pentru orice $a > 0$ și orice $n \in N^{*}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: transformăm inegalitatea într-o funcție de capătul superior $x$ și arătăm că această funcție este crescătoare.

Cum $f^{'} (x) \geq 0$ , $f$ este crescătoare, deci $f (x) \geq f (0) = 0$ pentru orice $x \geq 0$ . (1 p)
Fixăm $n$ și definim $\begin{aligned} F (x) = & (n + 1) {(\int_{0}^{x} f (t)^{n} d t)}^{2} \\ - \int_{0}^{x} f (t)^{2 n + 1} d t, x \geq 0. \end{aligned}$ Vom arăta că $F$ este crescătoare; cum $F (0) = 0$ , rezultă inegalitatea. Funcția $f$ fiind continuă, $F$ este derivabilă și $\begin{aligned} F^{'} (x) & = 2 (n + 1) (\int_{0}^{x} f (t)^{n} d t) f (x)^{n} \\ - f (x)^{2 n + 1} \\ = f (x)^{n} (2 (n + 1) \int_{0}^{x} f (t)^{n} d t \\ - f (x)^{n + 1}) . \end{aligned}$ (2 p)
Deoarece $f^{'} (x) \leq 1$ și $f (x) \geq 0$ , avem $f (x)^{n} \geq f (x)^{n} f^{'} (x)$ , deci $\begin{aligned} (n + 1) \int_{0}^{x} f (t)^{n} d t & \geq \int_{0}^{x} (n + 1) f (t)^{n} f^{'} (t) d t \\ = f (x)^{n + 1} . \end{aligned}$ (2 p)
Rezultă $\begin{aligned} F^{'} (x) & \geq f (x)^{n} (2 f (x)^{n + 1} - f (x)^{n + 1}) \\ = f (x)^{2 n + 1} \geq 0 \end{aligned}$ pentru orice $x \geq 0$ . Așadar $F$ este crescătoare și $F (a) \geq F (0) = 0$ pentru orice $a > 0$ , adică inegalitatea din enunț. (2 p)

Observație: pentru $f (x) = x$ și $n = 1$ : $\int_{0}^{a} t^{3} d t$ $= \frac{a^{4}}{4}$ , iar $2 {(\frac{a^{2}}{2})}^{2}$ $= \frac{a^{4}}{2}$ , deci inegalitatea are loc ✓.

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$n = 11$ (soluția $x = \hat{7}$ )
2	$g (x) = F^{- 1} (A - F (x))$ ; $c = F^{- 1} (A / 2)$
3	a) $Z_{4}$ ; b) demonstrație
4	demonstrație (funcția $F$ este crescătoare)

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a XII-a? Patru probleme: o ecuație de gradul al doilea în inelul $Z_{n}$ , o problemă cu primitive și funcția inversă, o problemă de inele și monoizi (proprietatea $C P (k)$ ) și o inegalitate cu integrale.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2024? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare problemă valorează 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2024? Soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate de SSMR după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase de liceu, etapa județeană 2024: clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XI-a. Formulele utile le găsești la formule clasa a 12-a. Vezi și concursurile de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 10 martie 2024): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa județeană — clasa a XII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · inelul claselor de resturi)

Problema 2 (7 puncte · primitive, funcția inversă, derivata)

Problema 3 (7 puncte · inele, grupuri, monoizi)

Problema 4 (7 puncte · integrale, inegalități, monotonie)

Răspunsuri pe scurt

Întrebări frecvente

Formule conexe