Olimpiada de matematică 2024 națională, clasa a VII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a VII-a?

Patru probleme: o ecuație cu partea întreagă și partea fracționară, un triunghi cu unghiul de 120^ și centrul său de greutate, trei numere între n² și (n + 1)² aflate în progresie geometrică și o problemă cu un pătrat și unghiuri egale rezolvată cu patrulatere inscriptibile.

Q: Cum se punctează subiectul de la etapa națională a olimpiadei de matematică 2024?

Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea din barem primește punctajul maxim.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică 2024, etapa națională?

Enunțurile, soluțiile și baremele sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România pe ssmr.ro (secțiunea ONM 2024, faza națională). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa națională, clasa a VII-a (Huși, 3 aprilie 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $x \in {- \frac{9}{2}, - 4} \cup [0, 1)$ și $y = \sqrt{k^{2} + 4}$ , $k \geq 2$ ; $G P = G N = \frac{A B + A C}{3}$ cu teorema lui Thales; $a = n^{2}$ , $b = n (n + 1)$ , $c = (n + 1)^{2}$ ; patrulatere inscriptibile în pătrat.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională din 2024 au participat elevii calificați după etapa județeană; pentru clasa a VII-a, concursul s-a desfășurat la Huși (proba scrisă din 3 aprilie 2024). Subiectul a avut 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă este notată cu 7 puncte (total 28 de puncte). Problemele sunt mult mai grele decât la etapa județeană: aproape toate cer demonstrații complete.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Pentru orice număr real $x$ se notează $A (x) = x^{2} + 4 \cdot [x]$ .

a) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A (x) = {x}^{2}$ .

b) Determinați numerele reale $y > 0$ pentru care $A (y)$ este pătratul unui număr natural.

( $[z]$ și ${z}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului real $z$ )

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Scriem $x = [x] + {x}$ . Din $([x] + {x})^{2} + 4 \cdot [x]$ $= {x}^{2}$ se obține $[x]^{2} + 2 \cdot [x] \cdot {x} + 4 \cdot [x] = 0, adică [x] \cdot ([x] + 2 {x} + 4) = 0. (*)$

Dacă $x \geq 0$ , atunci $[x] \geq 0$ și paranteza este pozitivă, deci $[x] = 0$ ; așadar orice $x \in [0, 1)$ este soluție a problemei. (1 p)
Dacă $x < 0$ , atunci $[x] \neq 0$ și egalitatea $(*)$ conduce la ${x}$ $= - \frac{[x] + 4}{2}$ . Deoarece ${x} \in [0, 1)$ , ajungem la $- 2 < [x] + 4 \leq 0$ , adică $[x] \in {- 5, - 4}$ . Pentru $[x] = - 5$ : ${x} = \frac{1}{2}$ , $x_{1} = - \frac{9}{2}$ ; pentru $[x] = - 4$ : ${x} = 0$ , $x_{2} = - 4$ . Ambele verifică egalitatea din enunț. Așadar $x \in {- \frac{9}{2}, - 4} \cup [0, 1)$ . (2 p)

Pentru $y \in (0, 1)$ avem $A (y) = y^{2} \in (0, 1)$ , $A (1) = 5$ , iar pentru $y \in (1, 2)$ avem $A (y) = y^{2} + 4 \in (5, 8)$ ; așadar $A (y)$ nu este pătrat perfect pentru $y \in (0, 2)$ . (1 p)
Pentru $y \geq 2$ , cum $4 [y]$ este natural, condiția din enunț conduce la $y^{2} \in N$ , așadar $y = \sqrt{m}$ , cu $m \in N$ , $m \geq 4$ , și se ajunge la $m + 4 \cdot [\sqrt{m}]$ $= p^{2}$ , cu $p \in N$ . Notând $k = [\sqrt{m}]$ , rezultă $k \geq 2$ , $k^{2} \leq m < (k + 1)^{2}$ și $m + 4 k = p^{2}$ . (1 p)
Atunci $\begin{aligned} p^{2} & \geq k^{2} + 4 k > k^{2} + 2 k + 1 = (k + 1)^{2}, \\ p^{2} & < (k + 1)^{2} + 4 k = k^{2} + 6 k + 1 < (k + 3)^{2}, \end{aligned}$ deci $p^{2} = (k + 2)^{2}$ . (Baremul analizează și cazurile $k = 0$ , $k = 1$ , care nu pot apărea pentru $y \geq 2$ .) (1 p)
Așadar $p = k + 2$ și $m$ $= (k + 2)^{2} - 4 k$ $= k^{2} + 4$ (într-adevăr $k^{2}$ $\leq k^{2} + 4$ $< (k + 1)^{2}$ pentru $k \geq 2$ ). Se obțin $y = \sqrt{k^{2} + 4}$ , $k \in N$ , $k \geq 2$ , numere care verifică egalitatea din enunț. (1 p)

Verificare: $y = \sqrt{8}$ : $[y] = 2$ , $A (y) = 8 + 8 = 16 = 4^{2}$ ; $y = \sqrt{13}$ : $[y] = 3$ , $A (y) = 13 + 12 = 25 = 5^{2}$ . ✓

Răspuns: a) $x \in {- \frac{9}{2}, - 4} \cup [0, 1)$ ; b) $y = \sqrt{k^{2} + 4}$ , $k \in N$ , $k \geq 2$ (adică $\sqrt{8}, \sqrt{13}, \sqrt{20}, \dots$ ).

Problema 2 (7 puncte · centrul de greutate, teorema lui Thales)

Se consideră un triunghi $A B C$ cu $∠ B A C = 120^{\circ}$ și triunghiurile isoscele $P A B$ și $N A C$ astfel încât $∠ A P B$ $= ∠ A N C$ $= ∠ B A C$ , dreapta $A B$ să separe punctele $P$ și $C$ și dreapta $A C$ să separe punctele $N$ și $B$ .

Arătați că, dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ , atunci $G P$ $= G N$ $= \frac{A B + A C}{3}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Triunghiurile $P A B$ și $N A C$ fiind isoscele, cu $∠ A P B$ $= ∠ A N C$ $= ∠ B A C$ $= 120^{\circ}$ , rezultă $∠ P A B$ $= ∠ N A C$ $= 30^{\circ}$ . Atunci $∠ P A B + ∠ B A C + ∠ C A N$ $= 30^{\circ} + 120^{\circ} + 30^{\circ}$ $= 180^{\circ}$ , deci punctele $P, A, N$ sunt coliniare. (1 p)
Fie $P F ∥ A C$ , $F \in A B$ și $N E ∥ A B$ , $E \in A C$ . Avem $∠ A P F$ $= ∠ N A C$ $= ∠ F A P$ $(= 30^{\circ})$ , prin urmare triunghiul $F A P$ este isoscel, cu $F A = F P$ (1). Pe de altă parte, din $∠ A P B = 120^{\circ}$ și $∠ A P F = 30^{\circ}$ rezultă $∠ F P B = 90^{\circ}$ , deci triunghiul $P B F$ este de tipul $30^{\circ}$ – $60^{\circ}$ – $90^{\circ}$ ( $∠ P B F = 30^{\circ}$ ), de unde $B F = 2 \cdot F P$ (2). Din (1) și (2) obținem $\frac{B F}{F A} = 2$ (3). (2 p)
Dacă $B B^{'}$ este mediana din $B$ a triunghiului $A B C$ , cum $G$ este centrul de greutate, avem $\frac{B G}{G B^{'}} = 2$ (4). Relațiile (3) și (4) conduc, conform reciprocei teoremei lui Thales (în triunghiul $A B B^{'}$ ), la $F G ∥ A C$ ; cum și $P F ∥ A C$ , punctele $P, F, G$ sunt coliniare. Obținem $∠ G P N$ $= ∠ F P A$ $= 30^{\circ}$ . (2 p)
Analog rezultă $∠ G N P = 30^{\circ}$ și astfel deducem că triunghiul $G N P$ este isoscel, cu $G P = G N$ . (1 p)
Cum $A F G E$ este paralelogram ( $F G ∥ A E$ , $G E ∥ A F$ ), $G P = G F + F P = A E + F A$ . Din (3), $F A = \frac{A B}{3}$ și, analog, $A E = \frac{A C}{3}$ , deci $G P = \frac{A B + A C}{3}$ , de unde rezultă concluzia. (1 p)

Problema 3 (7 puncte · media geometrică, numere prime între ele)

Pentru orice număr natural nenul $n$ se consideră mulțimea $A$ $= {n^{2}, n^{2} + 1, n^{2} + 2, \dots, (n + 1)^{2}}$ .

Determinați numerele $a, b, c \in A$ , $a < b < c$ , știind că $b$ este media geometrică a numerelor $a$ și $c$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Din $b^{2} = a c$ rezultă $\frac{b}{a}$ $= \frac{c}{b}$ $= \frac{x}{y}$ , unde $x, y \in N^{*}$ , $(x, y) = 1$ (fracția ireductibilă) și $x > y$ . Deci $b = a \cdot \frac{x}{y}$ , $c = a \cdot {(\frac{x}{y})}^{2}$ . (2 p)
Cum $c$ $= \frac{a x^{2}}{y^{2}} \in N^{*}$ și $(x, y) = 1$ , rezultă $\frac{a}{y^{2}} \in N^{*}$ , deci $a = p y^{2}$ , unde $p \in N^{*}$ . Numerele sunt $a = p y^{2}$ , $b = p x y$ , $c = p x^{2}$ , unde $x, y, p \in N^{*}$ , $x > y$ . (2 p)
Din $a \in A$ rezultă $\sqrt{p} \cdot y \geq n$ , iar din $c \in A$ rezultă $\sqrt{p} \cdot x \leq n + 1$ , deci $\sqrt{p} (x - y) \leq 1$ . Cum $x - y \geq 1$ , avem $1$ $\geq \sqrt{p} (x - y)$ $\geq \sqrt{p}$ , iar $p \in N^{*}$ , deci $p = 1$ . (2 p)
Obținem $n \leq y < x \leq n + 1$ , deci $y = n$ , $x = n + 1$ și soluția $a = n^{2}$ , $b = n (n + 1)$ , $c = (n + 1)^{2}$ . (1 p)

Verificare: pentru $n = 3$ , $A = {9, 10, \dots, 16}$ : $12^{2} = 144 = 9 \cdot 16$ ✓ (și este singura soluție).

Răspuns: $a = n^{2}$ , $b = n (n + 1)$ , $c = (n + 1)^{2}$ .

Problema 4 (7 puncte · pătratul, patrulatere inscriptibile)

Se consideră un pătrat $A B C D$ și punctele $E$ pe latura $C D$ , $M$ pe diagonala $A C$ și $P$ pe latura $B C$ , astfel încât $∠ B A E$ $= ∠ A E M$ $= ∠ A M P$ . Arătați că:

a) Triunghiul $A M P$ este isoscel.

b) $E M = D E + P B$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Notăm $∠ B A E$ $= ∠ A E M$ $= ∠ A M P$ $= α$ .

Avem, pe rând, $∠ D A E$ $= 90^{\circ} - α$ , $∠ E A C$ $= α - 45^{\circ}$ , $∠ D E A$ $= ∠ E A B$ $= α$ (alterne interne, $A B ∥ C D$ ), $∠ C E M$ $= 180^{\circ} - 2 α$ . (1 p)
Din triunghiul $C P M$ : $∠ P M C$ $= 180^{\circ} - ∠ A M P$ $= 180^{\circ} - α$ și $∠ P C M = 45^{\circ}$ , apoi $∠ C P M$ $= α - 45^{\circ}$ . Astfel $∠ E A C$ $= ∠ C P M$ $= α - 45^{\circ}$ . (1 p)
Notăm cu $H$ intersecția dreptelor $A E$ și $P M$ . Patrulaterul $H A P C$ , având $∠ H A C$ $= ∠ H P C$ $= α - 45^{\circ}$ , este inscriptibil, deci $∠ A H P$ $= ∠ A C P$ $= 45^{\circ}$ . Mai mult, $∠ E H M$ $= ∠ A H P$ $= 45^{\circ}$ $= ∠ E C M$ , astfel că patrulaterul $H E M C$ este inscriptibil, iar $∠ H C M$ $= ∠ A E M$ $= α$ (unghiul exterior al patrulaterului inscriptibil este egal cu unghiul interior opus). (1 p)
Revenind la patrulaterul inscriptibil $H A P C$ , avem $∠ H P A$ $= ∠ H C A$ $= α$ , adică $∠ M P A = ∠ A M P$ , deci triunghiul $A M P$ este isoscel, cu $A M = A P$ . (1 p)

În triunghiul isoscel $M A P$ avem $∠ M A P$ $= 180^{\circ} - 2 α$ , astfel că $∠ P A B$ $= ∠ C A B - ∠ M A P$ $= 45^{\circ} - (180^{\circ} - 2 α)$ $= 2 α - 135^{\circ}$ . (1 p)
Prelungim latura $C D$ dincolo de $D$ cu segmentul $D Q = B P$ . Din congruența triunghiurilor dreptunghice $A D Q$ și $A B P$ (C.C.: $A D = A B$ , $D Q = B P$ ) rezultă $A Q = A P$ și $∠ Q A D$ $= ∠ P A B$ $= 2 α - 135^{\circ}$ . Atunci $∠ E A Q$ $= ∠ E A D + ∠ D A Q$ $= (90^{\circ} - α) + (2 α - 135^{\circ})$ $= α - 45^{\circ}$ , adică $∠ E A Q = ∠ E A M$ . (1 p)
În triunghiurile $E A Q$ și $E A M$ : $∠ E A Q = ∠ E A M$ , latura $A E$ comună și $∠ A E Q$ $= ∠ A E D$ $= α$ $= ∠ A E M$ , deci ele sunt congruente (U.L.U.), de unde rezultă $E M$ $= E Q$ $= E D + D Q$ $= E D + B P$ . (1 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $x \in {- \frac{9}{2}, - 4} \cup [0, 1)$ ; b) $y = \sqrt{k^{2} + 4}$ , $k \in N$ , $k \geq 2$
2	demonstrație: $P, A, N$ coliniare, $P, F, G$ coliniare, $△ G N P$ isoscel
3	$a = n^{2}$ , $b = n (n + 1)$ , $c = (n + 1)^{2}$
4	demonstrații: patrulaterele $H A P C$ , $H E M C$ inscriptibile; $△ E A Q \equiv △ E A M$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Partea întreagă și partea fracționară, numere reale	fișă mulțimea numerelor reale
2	Centrul de greutate, reciproca teoremei lui Thales, triunghiul 30°–60°–90°	fișă teorema lui Thales
3	Media geometrică, fracții ireductibile, radicali	fișă radicali
4	Pătratul, patrulatere inscriptibile, congruență	fișă cercul · fișă patrulatere

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a VII-a? Patru probleme: o ecuație cu partea întreagă și partea fracționară, un triunghi cu unghiul de $120^{\circ}$ și centrul său de greutate, trei numere între $n^{2}$ și $(n + 1)^{2}$ aflate în progresie geometrică și o problemă cu un pătrat și unghiuri egale rezolvată cu patrulatere inscriptibile.

Cum se punctează subiectul de la etapa națională a olimpiadei de matematică 2024? Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea din barem primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică 2024, etapa națională? Enunțurile, soluțiile și baremele sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România pe ssmr.ro (secțiunea ONM 2024, faza națională). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa națională 2024: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a. Aceeași clasă la etapa județeană: OJM 2024 · OJM 2026. Formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a, iar exerciții pe capitole în fișele de lucru.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Huși, 3 aprilie 2024): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate pe ssmr.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a VII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Problema 2 (7 puncte · centrul de greutate, teorema lui Thales)

Problema 3 (7 puncte · media geometrică, numere prime între ele)

Problema 4 (7 puncte · pătratul, patrulatere inscriptibile)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe