Olimpiada matematică etapa locală 2023 clasa a 5-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada de matematică 2023, etapa locală din București, clasa a V-a (sâmbătă, 11 februarie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: 29 de numere și 7 zerouri la problema 1; produsul cifrelor este 108; numerele de pe tablă sunt 2011, 2012, …, 2035; ultima cifră este 7.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa locală nu are un subiect unic la nivel național: fiecare inspectorat școlar își stabilește propriul subiect, așa că problemele diferă de la un județ la altul. Pe această pagină este subiectul dat în București (Inspectoratul Școlar al Municipiului București, același subiect în toate sectoarele), sâmbătă, 11 februarie 2023. Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană 2023 (clasa a V-a).

La clasa a V-a, subiectul din București a avut 4 probleme, timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte (se acordă numai punctaje întregi), deci punctajul maxim este 28. Soluțiile de mai jos urmează baremul oficial („Soluții și bareme orientative”) publicat după concurs.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 15–20 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă rezolvare corectă se punctează conform baremului.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · multipli, numărul de zerouri)

a) Aflați câte numere naturale de 3 cifre se împart exact la 31.

b) Cu câte zerouri se termină produsul acestor numere?

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Cel mai mic număr de 3 cifre divizibil cu 31 este $124 = 31 \cdot 4$ (căci $31 \cdot 3 = 93$ are doar 2 cifre), iar cel mai mare este $992 = 31 \cdot 32$ (căci $31 \cdot 33 = 1023$ are 4 cifre). (2 p)

Numerele sunt $31 \cdot 4, 31 \cdot 5, \dots, 31 \cdot 32$ , deci în total $32 - 4 + 1 = 29$ de numere de 3 cifre care se împart exact la 31. (1 p)

b) Un produs se termină cu un 0 pentru fiecare înmulțire cu $10 = 5 \cdot 2$ ; factori 2 sunt din belșug (orice număr par îi conține), deci numărul de zerouri este dat de numărul factorilor 5. (1 p)

Cum 31 nu se divide cu 5, factorii 5 apar doar de la numerele $31 \cdot 5$ , $31 \cdot 10$ , $31 \cdot 15$ , $31 \cdot 20$ , $31 \cdot 25$ și $31 \cdot 30$ . (1 p)

Dar $25 = 5 \cdot 5$ aduce doi factori 5, deci în produs sunt $5 + 2 = 7$ factori 5 și produsul se termină în 7 zerouri. (2 p)

Problema 2 (7 puncte · împărțirea cu rest, scrierea în baza 10)

Un număr natural, scris în baza 10, are 3 cifre și, împărțit la răsturnatul său, dă câtul 2 și restul 100. Aflați produsul cifrelor numărului.

autor: Manuela Popescu, G.M. 9/2022

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie numărul $\overset{―}{a b c}$ . Din teorema împărțirii cu rest, $\overset{―}{a b c}$ $= \overset{―}{c b a} \cdot 2 + 100$ , care este număr par, deci $c$ este cifră pară. (Împărțitorul trebuie să fie mai mare decât restul 100, deci $\overset{―}{c b a}$ are 3 cifre și $c \neq 0$ .) (1 p)

Cum $\overset{―}{c b a} \cdot 2 + 100$ $< 1000$ , rezultă $\overset{―}{c b a} < 450$ , deci $c \leq 4$ . Rămân cazurile $c = 4$ și $c = 2$ . (1 p)

Cazul I: $c = 4$ . Atunci $\overset{―}{a b 4}$ $= \overset{―}{4 b a} \cdot 2 + 100$ $\geq 900$ , deci $a = 9$ . Comparăm ultimele cifre în $\overset{―}{9 b 4}$ $= \overset{―}{4 b 9} \cdot 2 + 100$ : în stânga ultima cifră este 4, în dreapta este ultima cifră a lui $9 \cdot 2 = 18$ , adică 8. Cum $4 \neq 8$ , cazul este imposibil. (2 p)

Cazul II: $c = 2$ . Atunci $\overset{―}{a b 2}$ $= \overset{―}{2 b a} \cdot 2 + 100$ , deci ultima cifră a lui $a \cdot 2$ este 2, adică $a = 1$ sau $a = 6$ . Cum $\overset{―}{2 b a} \geq 200$ , avem $\overset{―}{a b 2} \geq 500$ , deci $a = 6$ . (2 p)

Din $\overset{―}{6 b 2}$ $= \overset{―}{2 b 6} \cdot 2 + 100$ obținem $602 + 10 b = 512 + 20 b$ , deci $10 b = 90$ și $b = 9$ . Numărul este $\overset{―}{a b c} = 692$ (verificare: $692 = 296 \cdot 2 + 100$ , cu $100 < 296$ ), iar produsul cifrelor este $a \cdot b \cdot c$ $= 6 \cdot 9 \cdot 2$ $= 108$ . (1 p)

Problema 3 (7 puncte · numere consecutive, paritate)

Profesorul scrie pe tablă 25 de numere naturale consecutive. Andrei afirmă că suma numerelor pare scrise pe tablă este cu 2023 mai mare decât suma numerelor impare scrise pe tablă, iar Bogdan că suma numerelor impare este mai mare cu 2023 decât suma celor pare. Știind că una dintre cele două afirmații este adevărată, aflați numerele scrise pe tablă.

autor: Traian Preda

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm numerele consecutive cu $a, a + 1, a + 2, \dots, a + 24$ și cu $S_{p}$ , $S_{i}$ sumele numerelor pare, respectiv impare, dintre cele 25 de numere scrise pe tablă. Numerele $a, a + 2, \dots, a + 24$ (13 numere) au aceeași paritate, iar $a + 1, a + 3, \dots, a + 23$ (12 numere) au cealaltă paritate. Diferența dintre suma celor 13 numere și suma celor 12 numere se grupează astfel: $a$ , plus diferențele $(a + 2) - (a + 1)$ , $(a + 4) - (a + 3)$ , …, $(a + 24) - (a + 23)$ . Fiecare dintre cele 12 diferențe este egală cu 1, deci diferența sumelor este întotdeauna $a + 12$ . (2 p)

I. Dacă $a$ este par, avem 13 numere pare și 12 impare, iar $S_{p} > S_{i}$ , cu $S_{p} - S_{i} = a + 12$ . Dacă afirmația lui Andrei ar fi corectă, atunci $a + 12 = 2023$ , deci $a = 2011$ . Dar 2011 este impar, iar $a$ este par, deci Andrei nu poate spune adevărul. (2 p)

II. Dacă $a$ este impar, avem 13 numere impare și 12 pare, iar $S_{i} > S_{p}$ , cu $S_{i} - S_{p} = a + 12$ . Atunci $a + 12 = 2023$ , deci $a = 2011$ , număr impar. Așadar afirmația lui Bogdan este cea corectă, iar numerele de pe tablă sunt $2011, 2012, 2013, \dots, 2035$ . (3 p)

Problema 4 (7 puncte · ultima cifră, sume de pătrate perfecte)

a) Determinați ultima cifră a numărului $n$ $= (6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2})^{2023}$ .

b) Fie numărul

N = \underset{2024 cifre}{\underset{⏟}{20232023 \dots 2023}} .

Scrieți numărul $N$ ca suma a 2024 pătrate perfecte distincte și nenule.

autori: Cristian Olteanu și Traian Preda

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) $6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}$ $= 36 + 81 + 225 + 1681$ $= 2023$ , deci $n = 2023^{2023}$ . Ultimele cifre ale puterilor lui 3 (deci și ale lui 2023) se repetă din 4 în 4: 3, 9, 7, 1. Cum $2023 = 4 \cdot 505 + 3$ , numărul $n$ are ultima cifră 7. (2 p)

b) $N$ este format din $2024 : 4 = 506$ grupe „2023”, deci $N = 2023 \cdot 10^{2020}$ $+ 2023 \cdot 10^{2016}$ $+ \dots$ $+ 2023 \cdot 10^{4}$ $+ 2023$ . (2 p)

Folosind $2023$ $= 6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}$ de la punctul a): $N$ $= (6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}) \cdot 10^{2020}$ $+ (6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}) \cdot 10^{2016}$ $+ \dots$ $+ (6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}) \cdot 10^{4}$ $+ (6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2})$ . (1 p)

Cum $10^{2020} = (10^{1010})^{2}$ , $10^{2016} = (10^{1008})^{2}$ și așa mai departe, obținem $N = (6 \cdot 10^{1010})^{2}$ $+ (9 \cdot 10^{1010})^{2}$ $+ (15 \cdot 10^{1010})^{2}$ $+ (41 \cdot 10^{1010})^{2}$ $+ (6 \cdot 10^{1008})^{2}$ $+ (9 \cdot 10^{1008})^{2}$ $+ (15 \cdot 10^{1008})^{2}$ $+ (41 \cdot 10^{1008})^{2}$ $+ \dots$ $+ 6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}$ , o sumă de $506 \cdot 4 = 2024$ pătrate perfecte nenule. Ele sunt distincte: numerele $6, 9, 15, 41$ sunt diferite și nu se obțin unul din altul prin înmulțire cu o putere a lui 10, deci bazele $6 \cdot 10^{k}, 9 \cdot 10^{k}, 15 \cdot 10^{k}, 41 \cdot 10^{k}$ ( $k = 0, 2, 4, \dots, 1010$ ) sunt toate diferite. (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) 29 de numere; b) 7 zerouri
2	numărul este 692, produsul cifrelor 108
3	Bogdan are dreptate; numerele sunt $2011, 2012, \dots, 2035$
4	a) 7; b) $N$ = suma pătratelor numerelor $6 \cdot 10^{k}$ , $9 \cdot 10^{k}$ , $15 \cdot 10^{k}$ , $41 \cdot 10^{k}$ , pentru $k = 0, 2, 4, \dots, 1010$ (2024 de pătrate)

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Multipli, numărul de zerouri ale unui produs	fișă divizibilitate
2	Împărțirea cu rest, scrierea în baza 10	fișă operații cu numere naturale
3	Numere consecutive, sume, paritate	fișă metode aritmetice
4	Ultima cifră a unei puteri, pătrate perfecte	fișă puteri

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa locală, clasa a V-a, în București? Patru probleme: numerele de 3 cifre divizibile cu 31 și zerourile produsului lor, un număr de 3 cifre care împărțit la răsturnatul său dă câtul 2 și restul 100, 25 de numere consecutive cu diferența 2023 între sume și ultima cifră a lui $2023^{2023}$ (cu $2023 = 6^{2} + 9^{2} + 15^{2} + 41^{2}$ ).

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2023, clasa a V-a, în București? Timpul de lucru a fost de 2 ore pentru 4 probleme, fiecare notată de la 0 la 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, numai cu punctaje întregi.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2023? SSMR a publicat subiectele și baremele etapei locale din 2023 pe județe, pe o hartă a României (pentru București: arhiva cu subiectele pentru gimnaziu și liceu). Pe această pagină, enunțurile sunt transcrise din documentele oficiale, iar fiecare soluție are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa locală 2023 (București): clasa a VI-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Etapa următoare: olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a V-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 5-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiect oficial © Ministerul Educației / SSMR / Inspectoratul Școlar al Municipiului București (Olimpiada Națională de Matematică, etapa locală, București, 11 februarie 2023): subiectele și baremele etapei locale pe județe, publicate de SSMR. Explicațiile suplimentare și figura: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa locală (București) — clasa a V-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · multipli, numărul de zerouri)

Problema 2 (7 puncte · împărțirea cu rest, scrierea în baza 10)

Problema 3 (7 puncte · numere consecutive, paritate)

Problema 4 (7 puncte · ultima cifră, sume de pătrate perfecte)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe