Olimpiada de matematică 2023 județeană, clasa a VI-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa județeană, clasa a VI-a (sâmbătă, 11 martie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $A ∖ B$ are 3 elemente, iar $A = {24, \dots, 36}$ , $B = {27, \dots, 38}$ ; la geometrie se folosesc triunghiuri isoscele și congruente; suma cerută în tablou este 17; numerele căutate la problema 4 sunt 1 și 4.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 11 martie 2023, toți elevii de clasa a VI-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 2 ore, la care se adaugă 30 de minute pentru întrebări. Conform subiectului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · mulțimi, numere consecutive)

Elementele unei mulțimi $A$ sunt 13 numere naturale consecutive, elementele unei mulțimi $B$ sunt 12 numere naturale consecutive, iar elementele mulțimii $A \cup B$ sunt 15 numere naturale consecutive.

a) Determinați numărul elementelor mulțimii $A ∖ B$ .

b) Dacă, în plus, suma elementelor mulțimii $A$ este egală cu suma elementelor mulțimii $B$ , determinați cele două mulțimi. (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Elementele mulțimii $A ∖ B$ sunt elementele mulțimii $A \cup B$ care nu sunt în $B$ . Ele sunt în număr de $15 - 12 = 3$ . (2 p)

$A$ este formată din elementele lui $A ∖ B$ și din cele ale lui $A \cap B$ ; la fel, $B$ din $B ∖ A$ și $A \cap B$ . Cum sumele elementelor lui $A$ și $B$ sunt egale, scăzând suma elementelor comune obținem: suma elementelor din $A ∖ B$ este egală cu suma elementelor din $B ∖ A$ . (1 p)
$A \cap B$ are $13 - 3 = 10$ elemente consecutive; fie $A \cap B$ $= {n, n + 1, n + 2, \dots, n + 9}$ , $n \in N$ . $A ∖ B$ are 3 elemente și $B ∖ A$ are $12 - 10 = 2$ elemente, așezate de o parte și de alta a lui $A \cap B$ (cele două mulțimi sunt „intervale” de numere consecutive). Dacă cele 3 elemente ale lui $A ∖ B$ ar fi după $A \cap B$ și cele 2 ale lui $B ∖ A$ înainte, atunci suma celor 3 numere mai mari ar depăși suma celor 2 mai mici, deci nu se poate. Rămâne $n \geq 3$ , $A ∖ B$ $= {n - 3, n - 2, n - 1}$ și $B ∖ A$ $= {n + 10, n + 11}$ . (2 p)
Obținem $n - 3 + n - 2 + n - 1$ $= n + 10 + n + 11$ , adică $3 n - 6 = 2 n + 21$ , deci $n = 27$ . Așadar $A$ $= {24, 25, 26, 27, \dots, 36}$ și $B$ $= {27, 28, 29, \dots, 38}$ . (2 p)

Verificare: suma elementelor lui $A$ este $13 \cdot 30 = 390$ , iar a lui $B$ este $6 \cdot (27 + 38) = 390$ ✓.

Răspuns: a) 3 elemente; b) $A = {24, 25, \dots, 36}$ , $B = {27, 28, \dots, 38}$ .

Problema 2 (7 puncte · triunghiul isoscel, congruența triunghiurilor)

Fie $A B C$ un triunghi isoscel, cu $A B = A C$ și $∠ A B C = 72^{\circ}$ . Pe dreapta $B C$ considerăm punctul $D$ astfel încât $C$ să aparțină segmentului $B D$ și $C D = A B$ .

a) Arătați că $A C$ este bisectoarea unghiului $∠ B A D$ .

b) Pe paralela la $A B$ dusă prin $D$ luăm punctul $E$ , în același semiplan cu $A$ față de $B D$ , astfel încât $D E = D B$ . Fie $F$ punctul de intersecție a dreptelor $A D$ și $B E$ . Demonstrați că dreptele $A C$ și $A E$ sunt perpendiculare și $A F = F C = B C$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) În triunghiul isoscel $A B C$ , $∠ A C B$ $= ∠ A B C$ $= 72^{\circ}$ , deci $∠ B A C$ $= 180^{\circ} - 2 \cdot 72^{\circ}$ $= 36^{\circ}$ . Triunghiul $A C D$ este isoscel ( $C A = A B = C D$ ), cu $∠ A C D$ $= 180^{\circ} - 72^{\circ}$ $= 108^{\circ}$ , deci $∠ C A D$ $= ∠ A D C$ $= (180^{\circ} - 108^{\circ}) : 2$ $= 36^{\circ}$ . Așadar $∠ B A C = ∠ C A D$ , deci $A C$ este bisectoarea unghiului $∠ B A D$ . (2 p)

$∠ B A D$ $= 36^{\circ} + 36^{\circ}$ $= 72^{\circ}$ $= ∠ A B D$ , deci triunghiul $A B D$ este isoscel, cu $A D = B D$ . Cum $D E = D B$ , triunghiul $A D E$ este isoscel ( $D A = D E$ ). Din $D E ∥ A B$ , $∠ A D E$ $= ∠ B A D$ $= 72^{\circ}$ (unghiuri alterne interne), deci $∠ D A E$ $= (180^{\circ} - 72^{\circ}) : 2$ $= 54^{\circ}$ . Astfel $∠ C A E$ $= ∠ C A D + ∠ D A E$ $= 36^{\circ} + 54^{\circ}$ $= 90^{\circ}$ , adică $A C ⊥ A E$ . (2 p)
Triunghiul $D B E$ este isoscel ( $D B = D E$ ), iar $∠ B D E$ $= 180^{\circ} - ∠ A B D$ $= 108^{\circ}$ (unghiuri interne de aceeași parte a secantei $B D$ , cu $D E ∥ A B$ ), deci $∠ D B E = 36^{\circ}$ și $∠ A B F$ $= 72^{\circ} - 36^{\circ}$ $= 36^{\circ}$ . Atunci $∠ A F B$ $= 180^{\circ} - ∠ B A F - ∠ A B F$ $= 180^{\circ} - 72^{\circ} - 36^{\circ}$ $= 72^{\circ}$ .
Triunghiurile $B A C$ și $A B F$ au latura $A B$ comună, $∠ A B C$ $= ∠ B A F$ $= 72^{\circ}$ și $∠ B A C$ $= ∠ A B F$ $= 36^{\circ}$ , deci $△ B A C \equiv △ A B F$ (ULU), de unde $B C = A F$ . Cum $B D = A D$ , rezultă $C D$ $= B D - B C$ $= A D - A F$ $= F D$ . Triunghiurile $B A C$ și $C D F$ au $A B = A C = D C = D F$ și $∠ B A C$ $= ∠ C D F$ $= 36^{\circ}$ , deci $△ B A C \equiv △ C D F$ (LUL) și $B C = F C$ . Așadar $A F = F C = B C$ . (3 p)

Notă: în baremul oficial, prima congruență este marcată „(L.U.L.)”; elementele folosite (o latură și cele două unghiuri alăturate ei) corespund cazului ULU.

Problema 3 (7 puncte · sume, numere întregi, tablă de șah)

Considerăm tabloul din figura alăturată. În fiecare pătrățel al lui scriem câte un număr întreg, astfel încât suma numerelor scrise în pătrățelele albe să fie 23, iar suma numerelor scrise în pătrățelele de pe coloanele cu număr impar să fie 40. Înlocuim apoi numerele din pătrățelele albe cu opusele lor.

Cât este acum suma numerelor din pătrățelele de pe liniile cu număr impar?

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: nu putem afla fiecare număr, dar putem grupa pătrățelele în câteva „blocuri” ale căror sume le cunoaștem. În tablou, pătrățelul de pe linia $i$ și coloana $j$ este colorat (negru în barem) când $i + j$ este par și alb când $i + j$ este impar.

Fie $a_{p}$ suma numerelor din pătrățelele albe de pe liniile cu număr par și $a_{i}$ suma numerelor din pătrățelele albe de pe liniile cu număr impar. Avem $a_{i} + a_{p} = 23$ . (2 p)
Pe o coloană impară, pătrățelele colorate sunt exact cele de pe liniile impare, iar cele albe — exact cele de pe liniile pare. Deci mulțimea pătrățelelor colorate din coloanele cu număr impar coincide cu mulțimea pătrățelelor colorate din liniile cu număr impar, iar mulțimea pătrățelelor albe din coloanele cu număr impar coincide cu mulțimea pătrățelelor albe din liniile cu număr par. (2 p)
Fie $n$ suma numerelor din pătrățelele colorate de pe coloanele cu număr impar (aceeași cu suma din pătrățelele colorate de pe liniile impare). Din ipoteză, $n + a_{p} = 40$ . După schimbarea semnelor în pătrățelele albe, suma de pe liniile impare devine $n - a_{i}$ . Rezultă $n - a_{i}$ $= (n + a_{p}) - (a_{i} + a_{p})$ $= 40 - 23$ $= 17$ . (3 p)

Răspuns: suma este 17.

Problema 4 (7 puncte · divizibilitate, numere prime)

Determinați numerele naturale $n$ pentru care cel mai mare divizor prim al numărului $n^{2} + 2$ este egal cu cel mai mare divizor prim al numărului $n^{2} + 2 n + 3$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Un divizor comun $d$ al celor două numere divide și diferențele lor convenabile: $n^{2} + 2 n + 3 - (n^{2} + 2)$ $= 2 n + 1$ , apoi $n \cdot (2 n + 1)$ $= 2 n^{2} + n$ , $2 n^{2} + n - 2 \cdot (n^{2} + 2)$ $= n - 4$ și $2 n + 1 - 2 \cdot (n - 4)$ $= 9$ . Deci orice divizor comun divide 9. (2 p)
Cel mai mare divizor prim al celor două numere (același pentru amândouă) este un divizor comun prim, deci divide 9, adică este 3. Așadar 3 este cel mai mare factor prim al ambelor numere; singurul alt factor prim care mai poate apărea este 2. Cele două numere diferă prin $2 n + 1$ , care este impar, deci unul este par și celălalt impar: factorul 2 apare în cel mult unul dintre ele. În plus, cel mai mare divizor comun divide 9, deci măcar unul dintre numere are exponentul lui 3 cel mult 2. (1 p)
Dacă $n$ este par, atunci $n^{2} + 2$ este par, dar nu este divizibil cu 4 ( $n^{2}$ se divide cu 4), iar $n^{2} + 2 n + 3$ este o putere a lui 3. Avem cazurile: I) $n^{2} + 2 = 2 \cdot 3$ ; II) $n^{2} + 2 = 2 \cdot 3^{2}$ ; III) $n^{2} + 2 n + 3 = 3$ ; IV) $n^{2} + 2 n + 3 = 3^{2}$ . Cazul I dă $n = 2$ , dar $2^{2} + 2 \cdot 2 + 3 = 11$ nu convine; cazul III dă $n = 0$ , dar $0^{2} + 2 = 2$ nu convine; cazul IV dă $(n + 1)^{2} = 7$ , imposibil. Obținem doar soluția $n = 4$ (cazul II): $18 = 2 \cdot 3^{2}$ și $27 = 3^{3}$ . (2 p)
Dacă $n$ este impar, atunci $n^{2} + 2 n + 3$ $= (n + 1)^{2} + 2$ este par, dar nu este divizibil cu 4, iar $n^{2} + 2$ este o putere a lui 3. Cazurile: V) $n^{2} + 2 n + 3 = 2 \cdot 3$ ; VI) $n^{2} + 2 n + 3 = 2 \cdot 3^{2}$ ; VII) $n^{2} + 2 = 3$ ; VIII) $n^{2} + 2 = 3^{2}$ . Cazul VI dă $n = 3$ , dar $3^{2} + 2 = 11$ nu convine; cazul VIII dă $n^{2} = 7$ , imposibil. Obținem doar soluția $n = 1$ (cazurile V și VII): $3$ și $6 = 2 \cdot 3$ . (2 p)

Verificare: pentru $n = 1$ : 3 și 6, cel mai mare divizor prim este 3 pentru ambele ✓; pentru $n = 4$ : 18 și 27, tot 3 ✓.

Răspuns: $n \in {1, 4}$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) 3 elemente; b) $A = {24, 25, \dots, 36}$ , $B = {27, 28, \dots, 38}$
2	demonstrații: $∠ B A C = ∠ C A D = 36^{\circ}$ ; $∠ C A E = 90^{\circ}$ ; $△ B A C \equiv △ A B F$ , $△ B A C \equiv △ C D F$
3	17
4	$n \in {1, 4}$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Mulțimi: reuniune, intersecție, diferență	fișă mulțimi
2	Triunghiul isoscel, unghiuri, cazuri de congruență	fișă triunghiul isoscel · fișă congruența triunghiurilor
3	Numere întregi, opusul unui număr, sume pe grupe	fișă numere întregi
4	Divizibilitate, numere prime, descompunere în factori	fișă divizibilitate

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VI-a? Patru probleme: două mulțimi de numere consecutive cu reuniunea de 15 elemente, un triunghi isoscel cu unghiul de $72^{\circ}$ la bază, un tablou 8 × 8 colorat ca o tablă de șah în care se schimbă semnele pe pătrățelele albe și o problemă despre cel mai mare divizor prim al numerelor $n^{2} + 2$ și $n^{2} + 2 n + 3$ .

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2023? La clasa a VI-a, timpul de lucru a fost de 2 ore pentru 4 probleme, plus 30 de minute pentru întrebări. Conform subiectelor oficiale din 2023, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2023? Subiectele și soluțiile cu baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs și preluate de presa de educație (linkurile sunt la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa județeană 2023: clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Subiectele mai noi: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VI-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană, 11 martie 2023): subiectul și soluțiile și baremul, copii publicate de edupedu.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a VI-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · mulțimi, numere consecutive)

Problema 2 (7 puncte · triunghiul isoscel, congruența triunghiurilor)

Problema 3 (7 puncte · sume, numere întregi, tablă de șah)

Problema 4 (7 puncte · divizibilitate, numere prime)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe