Olimpiada de matematică 2023 națională, clasa a V-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a V-a?

Patru probleme: o împărțire a lui 2023 la un pătrat perfect cu restul 223 - (3)/(2) · n, numerele „speciale” cu cifre alăturate consecutive, ecuația n(n + 1) = 3^m + s(n) + 1182 și numerele care au un factor prim cu exponentul 3.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la etapa națională a olimpiadei de matematică 2023?

Subiectul are 4 probleme. Timpul de lucru a fost de 2 ore la clasele V–VI și de 4 ore la clasele VII–VIII. Fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28; se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa națională, clasa a V-a (11 aprilie 2023, Slobozia), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: câtul împărțirii este 14; cel mai mare număr special are 1349 de cifre (1212…121), iar cel mai mic are 239 de cifre (56787 urmat de 117 grupe „89”); $m = 0$ , $n = 34$ ; $N = 16$ și numerele 73, 74, …, 87.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională participă elevii calificați după etapa județeană. În 2023, etapa națională pentru clasele V–VI s-a desfășurat la Slobozia, între 10 și 13 aprilie, iar pentru clasele VII–VIII în județul Brașov, între 10 și 14 aprilie. Proba scrisă pentru clasa a V-a a avut loc marți, 11 aprilie 2023, la Slobozia (județul Ialomița): 4 probleme, timp de lucru 2 ore (conform regulamentului olimpiadei din acel an). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte (fără puncte din oficiu).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · împărțirea cu rest, pătrate perfecte)

Numărul natural nenul $n$ este pătrat perfect. Prin împărțirea lui 2023 la $n$ se obține restul $223 - \frac{3}{2} \cdot n$ . Aflați câtul împărțirii.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: restul trebuie să fie un număr natural mai mic decât împărțitorul; din aceste două condiții îl „prindem” pe $n$ între două valori.

Notăm cu $c$ câtul împărțirii. Din teorema împărțirii cu rest are loc egalitatea $2023 = n \cdot c + 223 - \frac{3}{2} \cdot n . (1)$ (2 p)
Restul $223 - \frac{3}{2} \cdot n$ este număr natural, deci $\frac{3}{2} \cdot n$ este natural, adică $n$ este par; în plus, restul este mai mic decât împărțitorul: $0$ $\leq 223 - \frac{3}{2} \cdot n$ $< n$ .
Din $0$ $\leq 223 - \frac{3}{2} \cdot n$ rezultă $3 n \leq 446$ , adică $n \leq \frac{446}{3}$ , deci $n \leq 148$ . (1 p)
Din $223 - \frac{3}{2} \cdot n$ $< n$ rezultă $446 < 5 n$ , adică $n$ $> \frac{446}{5}$ $= 89, 2$ , deci $n \geq 90$ . (1 p)
Așadar $n$ este un pătrat perfect par cuprins între 90 și 148. Pătratele perfecte din acest interval sunt 100, 121 și 144, iar dintre ele sunt pare doar 100 și 144. (1 p)
Înmulțim relația (1) cu 2: $4046 = 2 n c + 446 - 3 n$ , de unde $(2 c - 3) \cdot n = 3600$ . Pentru $n = 100$ obținem $2 c - 3 = 36$ , imposibil, pentru că $2 c - 3$ este impar. Pentru $n = 144$ obținem $2 c - 3 = 25$ , deci $c = 14$ . (2 p)

Verificare: restul este $223 - \frac{3}{2} \cdot 144$ $= 223 - 216$ $= 7$ $< 144$ , iar $144 \cdot 14 + 7$ $= 2016 + 7$ $= 2023$ . ✓

Răspuns: câtul este 14 (împărțitorul este $n = 144$ , restul este 7).

Problema 2 (7 puncte · scrierea zecimală, suma cifrelor)

Spunem că un număr natural este special dacă toate cifrele sale sunt nenule și oricare două cifre alăturate din scrierea sa zecimală sunt consecutive (nu neapărat ordonate crescător).

a) Determinați cel mai mare număr special $m$ care are suma cifrelor egală cu 2023.

b) Determinați cel mai mic număr special $n$ care are suma cifrelor egală cu 2022.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: un număr cu mai multe cifre este mai mare. Deci la a) vrem cât mai multe cifre (cifre mici), iar la b) cât mai puține cifre (cifre mari).

a) Cel mai mare număr $m$ va avea cât mai multe cifre, astfel că vom alege cele mai mici cifre posibile. Cum lângă o cifră de 1 nu putem pune decât o cifră de 2 (cifra 0 este interzisă), iar $2023 = 3 \cdot 674 + 1$ , alegem numărul cu 674 de cifre de 2 și 675 de cifre de 1, așezate alternativ, începând și terminând cu 1. Astfel, cel mai mare număr special cu suma cifrelor 2023 este

m = \underset{1349 cifre}{\underset{⏟}{12121 \dots 121}} .

(2 p)

(Verificare: $675 \cdot 1 + 674 \cdot 2$ $= 675 + 1348$ $= 2023$ .)

Cele mai mari două cifre alăturate posibile sunt 8 și 9, cu suma $8 + 9 = 17$ , iar $2022 = 17 \cdot 118 + 16$ . Dacă în scrierea lui $n$ am folosi cel mult 237 de cifre, atunci suma cifrelor lui $n$ ar fi cel mult $118 \cdot (8 + 9) + 9$ $= 2015$ $< 2022$ , deci nu putem folosi mai puțin de $2 \cdot 118 + 2 = 238$ de cifre.
Pentru a folosi exact 238 de cifre, trebuie să formăm 118 grupe de cifre 8 și 9 și încă două cifre cu suma 16, adică fie 9 și 7, fie 8 și 8. Dacă cele două cifre sunt 7 și 9, vom avea 120 de cifre impare și 118 cifre pare, iar dacă cele două cifre sunt ambele 8, vom avea 120 de cifre pare și 118 cifre impare.
Niciunul dintre cazuri nu convine, deoarece în scrierea unui număr special cifrele pare alternează cu cele impare (două cifre consecutive au parități diferite), deci numărul de cifre pare fie este egal, fie diferă cu o unitate de numărul cifrelor impare. (2 p)
În concluzie, în scrierea numărului $n$ se folosesc cel puțin 239 de cifre. După primele trei cifre rămân 236 de cifre, cu suma cel mult $118 \cdot 17 = 2006$ , deci primele trei cifre trebuie să aibă suma cel puțin $2022 - 2006 = 16$ . Căutăm trei cifre consecutive, mai mici decât 8, a căror sumă să fie cel puțin 16, care să fie primele cifre ale numărului, încercând să alegem o primă cifră cât mai mică. Secvențele 123, 234, 345, 456 nu convin, pentru că suma cifrelor este mai mică decât 16 (de exemplu $4 + 5 + 6 = 15$ ).
Secvența 567 conduce la cel mai mic număr special $n = 56787 \underset{117 grupe}{\underset{⏟}{8989 \dots 89}} .$ (3 p)

Verificare: $n$ are $5 + 2 \cdot 117 = 239$ de cifre, iar suma cifrelor este $5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 117 \cdot 17$ $= 33 + 1989$ $= 2022$ . ✓

Răspuns: a) $m = 1212 \dots 121$ (1349 de cifre); b) $n = 56787 89 89 \dots 89$ (după 56787 urmează 117 grupe „89”).

Problema 3 (7 puncte · suma cifrelor, divizibilitatea cu 3 și 9)

Determinați numerele naturale $m$ și $n$ știind că

n \cdot (n + 1) = 3^{m} + s (n) + 1182,

unde $s (n)$ reprezintă suma cifrelor numărului natural $n$ .

Notă. Pentru un număr natural $a$ , scris cu o singură cifră, se consideră $s (a) = a$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: un număr și suma cifrelor sale dau același rest la împărțirea cu 9, deci $n - s (n)$ se divide cu 9. Scriem $n (n + 1) = n^{2} + n$ și mutăm termenii: $n^{2}$ $= 3^{m} + 1182 - (n - s (n))$ .

Numărul $n - s (n)$ este divizibil cu 9, iar 1182 este divizibil cu 3, dar nu și cu 9 ( $1182 = 9 \cdot 131 + 3$ ). Dacă $m \geq 2$ , din egalitatea $n^{2}$ $= 3^{m} + 1182 - (n - s (n))$ deducem că $n^{2}$ se divide cu 3, dar nu se divide cu 9 — imposibil, pentru că dacă 3 divide $n^{2}$ , atunci 3 divide $n$ și 9 divide $n^{2}$ . Așadar $m \leq 1$ . (2 p)
Pentru $m = 1$ obținem $n^{2}$ $= 1185 - (n - s (n))$ , de unde rezultă din nou că $n^{2}$ se divide cu 3, dar nu se divide cu 9 ( $1185 = 9 \cdot 131 + 6$ ), imposibil. (1 p)
Pentru $m = 0$ obținem $n^{2} + (n - s (n))$ $= 1183$ . (1) Rezultă că $n^{2} \leq 1183$ și, cum $34^{2}$ $= 1156$ $< 1183$ $< 1225$ $= 35^{2}$ , deducem că $n \leq 34$ . (1 p)
Dacă $n \leq 9$ , atunci $s (n) = n$ , iar din (1) rezultă $n^{2} = 1183$ , nu convine, deoarece 1183 nu este pătratul unui număr natural.
Dacă $n \geq 10$ , notând $n = \overset{―}{a b}$ , avem $n - s (n)$ $= 10 a + b - a - b$ $= 9 a$ , iar din (1) rezultă ${\overset{―}{a b}}^{2} + 9 a$ $= 1183$ . Cum $n \leq 34$ , cifra $a$ poate lua doar valorile 1, 2 sau 3:
- $a = 1$ : ${\overset{―}{1 b}}^{2} = 1174$ , care nu este pătrat perfect;
- $a = 2$ : ${\overset{―}{2 b}}^{2} = 1165$ , care nu este pătrat perfect;
- $a = 3$ : ${\overset{―}{3 b}}^{2}$ $= 1156$ $= 34^{2}$ , deci $n = 34$ .
Singura soluție a problemei este $m = 0$ , $n = 34$ . (3 p)

Verificare: $34 \cdot 35 = 1190$ și $3^{0} + s (34) + 1182$ $= 1 + 7 + 1182$ $= 1190$ . ✓

Răspuns: $m = 0$ , $n = 34$ .

Problema 4 (7 puncte · descompunerea în factori primi, resturi)

Spunem că un număr natural $n \geq 2$ are proprietatea (P) dacă în descompunerea sa în factori primi cel puțin unul dintre factori are exponentul egal cu 3.

a) Determinați cel mai mic număr natural $N$ cu proprietatea că, oricum am alege $N$ numere consecutive, cel puțin unul dintre acestea are proprietatea (P).

b) Determinați cele mai mici 15 numere naturale consecutive $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{15}$ , care nu au proprietatea (P), pentru care suma numerelor $5 a_{1}, 5 a_{2}, \dots, 5 a_{15}$ este un număr cu proprietatea (P).

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: numerele de forma $16 k + 8 = 8 \cdot (2 k + 1)$ conțin factorul 2 exact la puterea a treia, deci au proprietatea (P), iar printre 16 numere consecutive apare mereu unul de această formă.

Prin împărțirea a 16 numere naturale consecutive la 16 se obțin resturile $0, 1, 2, 3, \dots, 15$ (nu neapărat începând cu 0). Ca urmare, printre orice 16 numere naturale consecutive există un număr de forma $16 k + 8$ $= 2^{3} \cdot (2 k + 1)$ , deci un număr cu proprietatea (P) (factorul 2 apare cu exponentul 3, pentru că $2 k + 1$ este impar). (2 p)
Printre cele 15 numere naturale consecutive de la 9 la 23 nu există niciun număr cu proprietatea (P) (de exemplu $16 = 2^{4}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ ), deci 15 numere consecutive nu ajung, iar $N = 16$ . (1 p)

Notăm $S$ $= 5 a_{1} + 5 a_{2} + \dots + 5 a_{15}$ . Cum $a_{2} = a_{1} + 1$ , $a_{3} = a_{1} + 2$ , …, $a_{15} = a_{1} + 14$ , rezultă $\begin{aligned} S & = 5 \cdot (15 a_{1} + 1 + 2 + \dots + 14) \\ = 5 \cdot (15 a_{1} + 105) = 3 \cdot 5^{2} \cdot (a_{1} + 7) . \end{aligned}$ (1 p)
Cum numerele consecutive $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{15}$ nu au proprietatea (P), niciunul dintre acestea nu poate da restul 8 la împărțirea cu 16. Cele 15 numere dau 15 resturi diferite la împărțirea cu 16, deci lipsește exact restul 8: ele dau resturile $9, 10, \dots, 15, 0, 1, \dots, 7$ . Deducem că $a_{1}$ are forma $16 k + 9$ , unde $k$ este un număr natural. (2 p)
Ca urmare, $S$ $= 3 \cdot 5^{2} \cdot (16 k + 16)$ $= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot (k + 1)$ . Pentru $k = 0, 1, 2, 3$ obținem $S = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ , $2^{5} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ , $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ , $2^{6} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ — fără exponent 3. Cel mai mic număr $k$ pentru care $S$ are proprietatea (P) este $k = 4$ , pentru care avem $S = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{3}$ și $a_{1} = 73$ . Se verifică imediat că secvența $73, 74, 75, \dots, 87$ este formată din 15 numere naturale consecutive care nu au proprietatea (P) (de exemplu $80 = 2^{4} \cdot 5$ , $81 = 3^{4}$ ; cubul $2^{3}$ apare doar în 72 și 88, care nu fac parte din secvență). (1 p)

Verificare: $S$ $= 5 \cdot (73 + 74 + \dots + 87)$ $= 5 \cdot 1200$ $= 6000$ $= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{3}$ . ✓

Răspuns: a) $N = 16$ ; b) numerele 73, 74, …, 87.

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	câtul este 14 ( $n = 144$ , restul 7)
2	a) $m = 1212 \dots 121$ (1349 de cifre); b) $n = 56787 8989 \dots 89$ (117 grupe „89”, 239 de cifre)
3	$m = 0$ , $n = 34$
4	a) $N = 16$ ; b) 73, 74, …, 87

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Teorema împărțirii cu rest, pătrate perfecte	fișă operații cu numere naturale · fișă puteri
2	Scrierea zecimală, suma cifrelor, paritate	fișă operații cu numere naturale
3	Suma cifrelor, divizibilitatea cu 3 și 9	fișă divizibilitate
4	Puteri, descompunere în factori, resturi	fișă puteri · fișă divizibilitate

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a V-a? Patru probleme: o împărțire a lui 2023 la un pătrat perfect cu restul $223 - \frac{3}{2} \cdot n$ , numerele „speciale” cu cifre alăturate consecutive, ecuația $n (n + 1) = 3^{m} + s (n) + 1182$ și numerele care au un factor prim cu exponentul 3.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa națională a olimpiadei de matematică 2023? Subiectul are 4 probleme. Timpul de lucru a fost de 2 ore la clasele V–VI și de 4 ore la clasele VII–VIII. Fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28; se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa națională 2023: clasa a VI-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Clasa a V-a, etapa județeană: 2023 · 2026. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 5-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, 11 aprilie 2023): soluțiile și baremul (documentul conține și enunțurile), publicate pe ssmr.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a V-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · împărțirea cu rest, pătrate perfecte)

Problema 2 (7 puncte · scrierea zecimală, suma cifrelor)

Problema 3 (7 puncte · suma cifrelor, divizibilitatea cu 3 și 9)

Problema 4 (7 puncte · descompunerea în factori primi, resturi)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe