Olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a V-a — subiecte și soluții

Ideea: paritatea ne dă imediat cifra $d$; apoi ultima cifră a pătratelor ne arată cât poate fi $b$.

1. Numerele prime de două cifre sunt impare, deci $\overline{ab}$ și $\overline{cb}$ sunt impare, iar pătratele lor sunt impare. Suma a două numere impare este pară, deci ${\overline{ab}}^2+{\overline{cb}}^2$ este par. Cum 2022 este par, rezultă că $d^2$, deci și $d$, este par. Dar $d$ este prim, iar singurul număr prim par este 2, deci $d=2$. (2 p)
2. Relația devine ${\overline{ab}}^2+{\overline{cb}}^2$ $=2022-4$ $=2018$. Deoarece ${47}^2=2209>2018$, numerele prime $\overline{ab}$ și $\overline{cb}$ sunt cel mult egale cu 43. (1 p)
3. Cei doi termeni ${\overline{ab}}^2$ și ${\overline{cb}}^2$ au aceeași ultimă cifră (ambele numere se termină în $b$), iar aceasta este impară. Suma lor se termină în 8, deci fiecare pătrat se termină în 9 ($9+9=18$). Un pătrat se termină în 9 doar dacă numărul se termină în 3 sau în 7, deci $b$ poate fi 3 sau 7. (1 p)
4. Pentru $b=7$: numerele prime cel mult egale cu 43 terminate în 7 sunt doar 17 și 37. Cum ${17}^2=289$ și ${37}^2=1369$, sumele posibile sunt $578$, $1658$, $2738$ — niciuna nu este 2018. (1 p)
5. Pentru $b=3$: numerele prime $\overline{ab}$ și $\overline{cb}$ pot fi 13, 23 sau 43. Cum ${13}^2=169$, ${23}^2=529$ și ${43}^2=1849$, egalitatea ${\overline{ab}}^2+{\overline{cb}}^2$ $=2018$ are loc doar pentru $169+1849$, adică $\overline{ab}=13$ și $\overline{cb}=43$, sau invers. Așadar problema are două soluții: $\overline{abcd}=1342$ și $\overline{abcd}=4312$. (2 p)

Verificare: ${13}^2+{43}^2+2^2$ $=169+1849+4$ $=2022$ ✓.

Răspuns: 1342 și 4312.

Ideea (metoda falsei ipoteze): presupunem că în fiecare lună s-a vândut cel mai mic număr posibil de roboți și vedem câți „lipsesc”.

1. În fiecare dintre cele 12 luni s-au vândut cel puțin 16 roboți. Dacă în fiecare lună s-ar fi vândut exact 16 roboți, s-ar fi vândut $12\cdot 16=192$ de roboți. (2 p)
2. Diferența de $235-192=43$ de roboți provine din lunile cu 20 de roboți (câte 4 în plus) și din lunile cu 25 de roboți (câte 9 în plus). Notând cu $a$ numărul lunilor cu 20 de roboți și cu $b$ numărul lunilor cu 25 de roboți, obținem $4\cdot a+9\cdot b=43$. (2 p)
3. Rezultă $9b\le 43$, deci $b\le 4$; în plus, $9b=43-4a$ este impar, deci $b$ este impar: $b=1$ sau $b=3$. (1 p)
4. Dacă $b=1$, atunci $4\cdot a=34$, imposibil (34 nu se împarte exact la 4). (1 p)
5. Dacă $b=3$, atunci $4\cdot a=43-27=16$, deci $a=4$. Numărul de luni în care s-au vândut câte 20 de roboți este 4. (1 p)

Verificare: 5 luni cu 16, 4 luni cu 20 și 3 luni cu 25: $5+4+3=12$ luni și $80+80+75=235$ de roboți ✓.

Soluția alternativă 1 (din barem): fie $x,y,z$ numărul lunilor cu 16, 20, respectiv 25 de roboți. Atunci $16x+20y+25z=235$, adică $x+5(3x+4y+5z)=235$, de unde $x$ $=5\cdot [47-(3x+4y+5z)]$, deci $x$ se divide cu 5 (4 p). Cum $x\le 12$, $x=5$ sau $x=10$ (1 p). Pentru $x=10$: $4y+5z=15$, adică $4(y+z)+z=15$; cum $y+z=2$, ar rezulta $z=7$, imposibil (1 p). Pentru $x=5$: $4(y+z)+z=31$ și $y+z=7$, deci $z=3$ și $y=4$ (1 p).

Soluția alternativă 2 (din barem): din $16x+20y+25z=235$ rezultă că $25z$ este impar, deci $z$ este impar, și $z\le 9$ (2 p). Pentru $z\in \{1,5,9\}$, $16x+20y$ ar fi 210, 110, respectiv 10, numere care nu se divid cu 4 — imposibil (3 p). Pentru $z=7$: $16x+20y=60$ și $x+y=5$ dau $4x+5y=15$ și $4x+4y=20$, contradicție (1 p). Pentru $z=3$: $4x+5y=40$ și $4x+4y=36$, deci $y=4$ (și $x=5$) (1 p).

Răspuns: au fost vânduți câte 20 de roboți în 4 luni.

a)

1. Notăm cu $a,a+1,a+2,\dots ,a+12$ cele 13 numere consecutive ($a\ge 1$). Suma lor este $13a+(1+2+\dots +12)$ $=13a+78$ $=13\cdot (a+6)$. (1 p)
2. Cel mai mare pătrat perfect de trei cifre este ${31}^2=961$. Un pătrat perfect divizibil cu numărul prim 13 este divizibil cu ${13}^2=169$, deci pătratele de trei cifre divizibile cu 13 sunt doar $169={13}^2$ și $676={26}^2$ (următorul, ${39}^2=1521$, are patru cifre). Așadar $13\cdot (a+6)$ poate fi 169 sau 676. (1 p)
3. Din $a+6=13$ obținem $a=7$, iar din $a+6=52$ obținem $a=46$. În concluzie, există două grupuri deosebite cu proprietatea cerută: $7,8,\dots ,19$ (suma 169) și $46,47,\dots ,58$ (suma 676). (1 p)

b)

1. Pentru $a=1$, în grupul $1,2,3,\dots ,13$ se află 6 numere prime (2, 3, 5, 7, 11, 13), iar pentru $a=2$, în grupul $2,3,4,\dots ,14$ se află tot 6 numere prime. (2 p)
2. Dacă $a\ge 3$, printre cele 13 numere consecutive se află cel puțin 6 numere pare, toate mai mari decât 2, deci neprime. Rămân cel mult 7 numere impare; printre ele se află cel puțin trei numere impare consecutive mai mari decât 3, iar unul dintre acestea este divizibil cu 3 (și mai mare decât 3), deci nu este prim. Așadar în grup sunt cel mult $7-1=6$ numere prime. Numărul maxim de numere prime dintr-un grup deosebit este 6. (2 p)

Răspuns: a) 2 grupuri; b) 6 numere prime.

Ideea: grupul de cifre 2023 poate apărea fie în interiorul unui singur număr, fie „la granița” dintre două numere scrise unul după altul.

1. În interiorul unui număr: secvența 2023 apare în scrierea numerelor 2023, 12023, 22023 și a numerelor 20230, 20231, 20232, …, 20239 — în total $3+10=13$ apariții. (3 p)

În plus, 2023 mai poate apărea lipind sfârșitul unui număr de începutul numărului următor (notăm granița cu |). Avem cazurile:

• 202|3: un număr terminat în 202 urmat de un număr care începe cu 3. Numărul următor diferă de primul doar la ultimele cifre, deci și primul trebuie să înceapă cu 3: singura posibilitate până la 30000 este 3202|3203 — o singură apariție. (1 p)
• 20|23: un număr terminat în 20 urmat de un număr care începe cu 23: 2320|2321 și 23020|23021, 23120|23121, …, 23920|23921 — în total $1+10=11$ apariții. (2 p)
• 2|023: imposibil, deoarece niciun număr nu începe cu 0.

Numărul total de apariții este $13+11+1=25$. (1 p)

Verificare: am numărat și cu calculatorul aparițiile lui 2023 în șirul cifrelor numerelor de la 1 la 30000: rezultatul este tot 25 ✓.

Răspuns: 2023 apare de 25 de ori.