Olimpiada de matematică 2026 națională, clasa a VI-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VI-a?

Patru probleme: mărimi direct și invers proporționale cu numere prime p și q, numărarea ortocentrelor, centrelor de greutate și centrelor cercurilor circumscrise într-o rețea de 36 de puncte, o problemă cu un triunghi isoscel în care AN = AD = DE și împărțirea mulțimii A_n în trei submulțimi cu aceeași sumă.

Q: Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026?

Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa națională, clasa a VI-a (Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $y = 3$ și $x + y = q$ este prim; în rețeaua de 36 de puncte sunt 36 de ortocentre, 16 centre de greutate și 36 de centre ale cercului circumscris; triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel; condiția de la problema 4 este îndeplinită pentru 675 de valori ale lui $n$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa națională 2026 pentru clasele V–VIII s-a desfășurat între 30 martie și 3 aprilie 2026, la Drobeta-Turnu Severin (județul Mehedinți); proba scrisă a avut loc pe 31 martie 2026, data din antetul documentelor oficiale. Elevii de clasa a VI-a calificați de la etapa județeană au primit același subiect: 4 probleme. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu (total 100).

Cum să folosești pagina: sunt probleme grele, de nivel național — citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–40 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial, așa că vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (22,5 puncte · mărimi proporționale, numere prime)

Fie $p$ și $q$ numere prime impare, cu $p < q < 2 p$ și $x$ , $y$ numere naturale nenule astfel încât $x + 1$ și $y - 1$ sunt direct proporționale cu $p$ și $q - p$ , iar $x - 1$ și $y + 1$ sunt invers proporționale cu $2 q - 2 p$ și $2 p - q$ .

a) Demonstrați că $y = 3$ .

b) Demonstrați că $x + y$ este număr prim.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Din enunț rezultă (proporționalitatea inversă cu $2 q - 2 p$ și $2 p - q$ înseamnă proporționalitate directă cu $2 p - q$ și $2 q - 2 p$ ):

\frac{x + 1}{p} = \frac{y - 1}{q - p} (1) și \frac{x - 1}{2 p - q} = \frac{y + 1}{2 q - 2 p} .

(3 p)

Folosind proprietatea șirului de rapoarte egale (adunăm numărătorii și numitorii):

\frac{x + 1}{p} = \frac{y - 1}{q - p} = \frac{x + y}{q} și \frac{x - 1}{2 p - q} = \frac{y + 1}{2 q - 2 p} = \frac{x + y}{q},

de unde $\frac{y - 1}{q - p}$ $= \frac{y + 1}{2 (q - p)}$ , ceea ce duce la $y - 1 = \frac{y + 1}{2}$ , adică $2 y - 2 = y + 1$ , deci $y = 3$ . (6 p)

b) Înlocuind $y = 3$ în (1) obținem $\frac{x + 1}{p}$ $= \frac{2}{q - p}$ , adică $x$ $= \frac{3 p - q}{q - p} \in N^{*}$ . (3 p)

Rezultă $q - p ∣ 3 p - q$ . Cum $q - p ∣ 3 q - 3 p$ , adunând deducem $q - p ∣ 2 q$ . (3 p)

Cum $q$ este număr prim, divizorii lui $2 q$ sunt $1, 2, q, 2 q$ . Dar $q - p < q$ , iar $q - p$ este par (diferența a două numere impare) și $q - p \geq 2$ , deci $q - p = 2$ . Atunci $x$ $= \frac{3 p - q}{2}$ $= \frac{2 p - 2}{2}$ $= p - 1$ $= q - 3$ și $x + y = q$ , care este număr prim. (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Observație (din barem): o rezolvare completă a punctului b) bazată pe folosirea concluziei de la a) se notează cu cele 12 puncte corespunzătoare lui b).

Exemplu: $p = 5$ , $q = 7$ : $x = 4$ , $y = 3$ ; $\frac{5}{5} = \frac{2}{2}$ și $\frac{3}{3} = \frac{4}{4}$ , iar $x + y = 7$ este prim. ✓

Problema 2 (22,5 puncte · ortocentru, centru de greutate, cerc circumscris)

Pe o foaie cu pătrățele a fost evidențiată o mulțime $M$ de 36 de puncte, situate ca în figura alăturată. Considerăm mulțimea $T$ a triunghiurilor (nedegenerate) care au toate cele trei vârfuri în $M$ .

a) Câte dintre punctele mulțimii $M$ sunt ortocentre ale unor triunghiuri din $T$ ?

b) Câte dintre punctele mulțimii $M$ sunt centre de greutate ale unor triunghiuri din $T$ ?

c) Câte dintre punctele mulțimii $M$ sunt centre ale cercurilor circumscrise unor triunghiuri din $T$ ?

Vezi soluția (după baremul oficial)

Luăm ca unitate de măsură latura unui pătrățel mic. Astfel, mulțimea $M$ este situată pe laturile și în interiorul unui pătrat $P$ de latură 5 (6 puncte pe fiecare linie, 6 linii).

a) Ortocentrul unui triunghi dreptunghic este vârful unghiului drept. Fiecare punct al mulțimii $M$ este vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic din $T$ , având catetele de lungime 1 (de-a lungul liniilor caroiajului, spre interiorul pătratului). (3 p) Reiese că toate cele 36 de puncte ale mulțimii $M$ convin. (3 p)

b) Punctele de pe laturile lui $P$ nu sunt situate în interiorul niciunui triunghi din $T$ (toate triunghiurile sunt în pătrat), deci nu pot fi centre de greutate ale unor astfel de triunghiuri. (3 p)

Fiecare dintre cele 16 puncte rămase (cele interioare) este centrul de greutate al unui triunghi isoscel din $T$ , cu baza de lungime 2 și înălțimea de lungime 3 (centrul de greutate se află pe înălțime, la o treime de bază: alegem baza cu un rând sub punct și vârful cu două rânduri deasupra, sau invers). Așadar, răspunsul este 16. (3 p)

c) Fiecare punct care nu este vârf al lui $P$ este mijlocul ipotenuzei de lungime 2 a unui triunghi dreptunghic (isoscel) din $T$ , deci este centrul cercului circumscris acestui triunghi (mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri). (3 p)

Fiecare vârf al lui $P$ este centrul unui cerc $C$ de rază 5, care trece prin alte două vârfuri ale lui $P$ . Deoarece $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ , cercul $C$ trece și printr-un punct al lui $M$ situat în interiorul lui $P$ , obținut prin parcurgerea pe orizontală a unei distanțe de 4 unități și apoi pe verticală a unei distanțe de 3 unități. Cele trei puncte nu sunt coliniare, deci formează un triunghi din $T$ . Cum orice punct din $M$ convine, răspunsul este 36. (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: a) 36; b) 16; c) 36.

Problema 3 (22,5 puncte · triunghiul isoscel, congruența triunghiurilor)

Se consideră triunghiul isoscel $A B C$ , cu $A B = A C$ . Pe laturile $(B C)$ și $(A C)$ luăm punctele $D$ , respectiv $E$ , astfel încât $B D = C E < \frac{1}{2} B C$ . Dreapta $D E$ taie perpendiculara în $C$ pe $B C$ în punctul $N$ . Presupunem că $A N = A D = D E$ .

a) Demonstrați că $A C = C D$ .

b) Demonstrați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) În triunghiurile $A D B$ și $D E C$ avem $A D = D E$ , $D B = E C$ și $∠ A B D = ∠ D C E$ (unghiurile de la baza triunghiului isoscel $A B C$ ). (6 p)

Două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele nu ajung, singure, pentru congruență; de aceea arătăm că unghiurile $∠ A D B$ și $∠ D E C$ sunt amândouă obtuze:

$∠ D E C$ este obtuz, deoarece are ca suplement unghiul $∠ A E D$ , care este un unghi de la baza triunghiului isoscel $A D E$ ( $D A = D E$ ), deci ascuțit;
$∠ A D B$ este obtuz, deoarece este unghi exterior pentru triunghiul dreptunghic $A D M$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $B C$ ( $A M ⊥ B C$ , iar $D$ este între $B$ și $M$ , pentru că $B D < \frac{1}{2} B C$ ).

Atunci în ambele triunghiuri al treilea unghi ( $∠ B A D$ , respectiv $∠ E D C$ ) este ascuțit, iar triunghiurile sunt determinate: $△ A D B \equiv △ D E C$ (cazul LLU). Rezultă că $D C = A B = A C$ . (6 p)

b) Din congruență, $∠ B A D = ∠ C D E$ . Avem $∠ A D C$ $= ∠ A B D + ∠ B A D$ (unghi exterior al triunghiului $A B D$ ) și $∠ A D C$ $= ∠ A D N + ∠ C D E$ , deci $∠ A B D = ∠ A D N$ . Rezultă că triunghiurile isoscele $A B C$ și $A D N$ ( $A D = A N$ ) au unghiurile de la bază congruente, deci au toate unghiurile respectiv congruente; în particular $∠ B A C = ∠ D A N$ . (6 p)

Scăzând unghiul comun $∠ D A C$ obținem $∠ N A C$ $= ∠ B A D$ $= ∠ C D E$ . În plus, $A N = D E$ și $A C = D C$ , deci $△ N A C \equiv △ E D C$ (LUL). Deducem $∠ N C A$ $= ∠ E C D$ $= ∠ A C D$ . Cum $∠ N C A + ∠ A C D$ $= ∠ N C B$ $= 90^{\circ}$ , obținem $∠ A C D = 45^{\circ}$ , deci $∠ A B C$ $= ∠ A C B$ $= 45^{\circ}$ și $∠ B A C = 90^{\circ}$ : triunghiul $A B C$ este dreptunghic (isoscel) în $A$ . (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Observații (din barem): 1. La a), în locul cazului de congruență LLU se poate folosi un raționament bazat, de exemplu, pe ducerea înălțimilor din $D$ și $E$ în triunghiurile $A D B$ , respectiv $D E C$ ; în acest caz trebuie argumentat că picioarele perpendicularelor sunt situate în interiorul laturilor pe care au fost duse. 2. O rezolvare completă a punctului b) bazată pe concluzia de la a) se notează cu cele 9 puncte corespunzătoare lui b).

Problema 4 (22,5 puncte · mulțimi, numere întregi)

Pentru $n$ număr natural nenul considerăm mulțimea $A_{n}$ a numerelor întregi având modulul mai mic sau egal cu $n$ . Determinați pentru câte valori $n \leq 2026$ este îndeplinită condiția:

Mulțimea $A_{n}$ poate fi împărțită în trei submulțimi disjuncte $X$ , $Y$ , $Z$ având același număr de elemente, iar $s (X) = s (Y) = s (Z)$ .

Am notat cu $s (M)$ suma elementelor mulțimii $M \subset Z$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Mulțimea $A_{n}$ $= {- n, \dots, - 1, 0, 1, \dots, n}$ are $2 n + 1$ elemente, iar suma lor este 0, deci fiecare dintre $X, Y, Z$ trebuie să aibă suma 0.

Pentru ca împărțirea să fie posibilă, $2 n + 1$ trebuie să fie multiplu de 3. Reiese că $n$ este de forma $n = 3 k + 1$ , $k \in N$ . Pentru $k = 0$ : $A_{1} = {- 1, 0, 1}$ , iar submulțimile ar avea câte un element cu suma 0 — doar ${0}$ are această proprietate, deci împărțirea nu este posibilă. (6 p)
Pentru $k = 1$ : $A_{4}$ $= {- 4, - 3, \dots, 3, 4}$ și o partiție validă este $X = {1, 3, - 4}$ , $Y = {- 1, - 3, 4}$ , $Z = {- 2, 0, 2}$ ; deci $n = 4$ convine. (6 p)
Pentru $k \geq 2$ , pornim de la partiția lui $A_{4}$ de mai sus. Numerele rămase, $\pm 5, \pm 6, \pm 7, \dots, \pm (3 k + 1)$ , formează $3 (k - 1)$ perechi de numere întregi opuse (suma fiecărei perechi este 0). Adăugăm câte $k - 1$ perechi la $X$ , $Y$ , respectiv $Z$ : cele trei mulțimi au câte $2 k + 1$ elemente și suma 0. Astfel, orice $n$ de forma $3 k + 1$ , $k \geq 1$ , convine. (6 p)
$3 k + 1$ $\leq 2026 ⟺ k$ $\leq 675$ , iar $k$ ia valorile $1, 2, \dots, 675$ : există exact 675 de valori convenabile ale lui $n$ . (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: 675 de valori ( $n = 4, 7, 10, \dots, 2026$ ).

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $y = 3$ ; b) $q - p = 2$ , $x = q - 3$ , $x + y = q$ prim
2	a) 36; b) 16; c) 36
3	demonstrații: $△ A D B \equiv △ D E C$ , apoi $△ N A C \equiv △ E D C$ , $∠ A C B = 45^{\circ}$
4	675 de valori ( $n = 3 k + 1$ , $k \geq 1$ )

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Mărimi direct și invers proporționale, șir de rapoarte egale, numere prime	fișă rapoarte și proporții
2	Ortocentru, centru de greutate, centrul cercului circumscris	fișă triunghiul
3	Triunghiul isoscel, cazuri de congruență, unghi exterior	fișă congruența triunghiurilor · fișă triunghiul isoscel
4	Mulțimi, numere întregi, sume	fișă mulțimi · fișă numere întregi

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VI-a? Patru probleme: mărimi direct și invers proporționale cu numere prime $p$ și $q$ , numărarea ortocentrelor, centrelor de greutate și centrelor cercurilor circumscrise într-o rețea de 36 de puncte, o problemă cu un triunghi isoscel în care $A N = A D = D E$ și împărțirea mulțimii $A_{n}$ în trei submulțimi cu aceeași sumă.

Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026? Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2026 — clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a; aceeași clasă, etapa județeană: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VI-a; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VI-a — subiecte și soluții

Problema 1 (22,5 puncte · mărimi proporționale, numere prime)

Problema 2 (22,5 puncte · ortocentru, centru de greutate, cerc circumscris)

Problema 3 (22,5 puncte · triunghiul isoscel, congruența triunghiurilor)

Problema 4 (22,5 puncte · mulțimi, numere întregi)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe