Olimpiada de matematică 2025, etapa locală (București) — clasa a VI-a, subiecte rezolvate

a) Pentru 2025 avem $\overline{ab}=20$ și $\overline{cd}=25$: ${\displaystyle \frac{20}{4}}$ $={\displaystyle \frac{25}{5}}$ $=5$, deci $2025\in A$. (2 p)

b)

1. Din proporție, $5\cdot \overline{ab}$ $=4\cdot \overline{cd}$, deci $5\mid 4\cdot \overline{cd}$; cum 4 și 5 sunt prime între ele, $5\mid \overline{cd}$. Așadar $\overline{cd}=5\cdot n$ și $\overline{ab}=4\cdot n$, $n\in \mathbb{N}$. Cum $\overline{ab}\ge 10$, avem $4n\ge 10$, adică $n\ge 3$; cum $\overline{cd}\le 99$, avem $5n\le 99$, adică $n\le 19$. Deci $3\le n\le 19$. (2 p)
2. Fiecărei valori a lui $n$ îi corespunde un singur număr $\overline{abcd}$, prin urmare mulțimea $A$ are $19-3+1=17$ elemente. (1 p)

c) Cel mai mic element al mulțimii $A$ se obține pentru $n=3$: 1215, iar cel mai mare pentru $n=19$: 7695. Cum $1215=3^5\cdot 5$ și $7695$ $=3^4\cdot 5\cdot 19$, obținem $(1215,7695)$ $=3^4\cdot 5$ $=405$. (2 p)

Răspuns: b) $A$ are 17 elemente; c) c.m.m.d.c. este 405.

a)

1. Pentru $p=3$: $p+4=7$ și $p^3+2=29$, ambele numere prime. (1 p)
2. Dacă $p=2$, atunci $p+4=6$, care nu este prim. Pentru $p>3$, $p$ nu se împarte la 3, deci are forma $3k+1$ sau $3k+2$:
   • dacă $p=3k+1$, atunci $p^3$ dă restul 1 la împărțirea cu 3, deci $p^3+2$ se împarte la 3 și $p^3+2>3$ — nu este prim;
   • dacă $p=3k+2$, atunci $p+4=3k+6$ se împarte la 3 și este mai mare decât 3 — nu este prim.
   În concluzie, $p=3$. (2 p)

b)

1. Dacă $q=2$, atunci $q^5+4=36$, care se împarte la 2; iar dacă $q=5$, atunci $q^5+4=3129$, care se împarte la 3 (suma cifrelor este 15). În ambele cazuri $q^5+4$ nu este prim. (1 p)
2. Pentru $q$ impar și diferit de 5, ultima cifră a lui $q$ este 1, 3, 7 sau 9, iar ultima cifră a lui $q^4$ este 1 ($1^4=1$, $3^4=81$, $7^4=2401$, $9^4=6561$). Atunci $q^{2024}=(q^4{)}^{506}$ are ultima cifră 1, deci $q^{2024}+4$ are ultima cifră 5. Așadar $q^{2024}+4$ se împarte la 5 și este mai mare decât 5, deci nu este număr prim. (3 p)

Notă: în baremul oficial apare, din greșeală de tipar, „$q^{2024}+1$ nu este număr prim”; corect este $q^{2024}+4$, ca în enunț.

Răspuns: a) $p=3$; b) demonstrație — pentru niciun $q$ prim cele două numere nu sunt simultan prime.

Ce știm: suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este ${360}^{\circ }$. Cum $2025=3^4\cdot 5^2$, divizorii lui 2025 sunt 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025. Un unghi are cel mult ${180}^{\circ }$, deci divizorii 225, 405, 675, 2025 nu pot fi măsuri de unghiuri.

a)

1. Măsurile, în grade, aparțin mulțimii $$A=\{1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135\}.$$ Fiind toate numere impare, iar suma lor $360$ fiind pară, rezultă că $n$ este par. (1 p)
2. Maximul sumei a 4 măsuri este $135+81+75+45$ $=336$ $<360$ (iar cu 2 măsuri suma este și mai mică), deci $n\ge 6$. (1 p)
3. Cum $135+81+75+45+15+9$ $=360$, rezultă $n_{min}=6$. (1 p)

b)

1. Presupunem că există 23 de unghiuri (cu măsuri numere naturale nenule distincte) astfel încât nicio măsură să nu aparțină mulțimii $A$. Suma lor este cel puțin suma celor mai mici 23 de numere naturale nenule care nu sunt în $A$, adică a numerelor de la 1 la 30 fără 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27: $$(1+2+3+\dots +30)-(1+3+5+9+15+25+27)=465-85=380.$$ Am obține $360\ge 380$, contradicție! Prin urmare, presupunerea făcută este falsă. (3 p)
2. Mai rămâne să arătăm că există 23 de unghiuri cu proprietatea din enunț. Dacă înlocuim 21 cu 1 în suma minimă de mai sus, obținem 23 de numere naturale distincte cu suma $380-20=360$, deci 23 de unghiuri în jurul unui punct cu măsurile numere naturale distincte. (1 p)

Observație (din barem): ultimul punct de la b) se acordă doar la final.

Răspuns: a) $n_{min}=6$ (de exemplu ${135}^{\circ },{81}^{\circ },{75}^{\circ },{45}^{\circ },{15}^{\circ },9^{\circ }$); b) demonstrație prin reducere la absurd.

Ideea: o sumă de 45 dintre cele 46 de numere înseamnă suma tuturor, mai puțin unul dintre ele. Mulțimea dată are $(2115-2027):2+1=45$ de elemente, iar noi avem 46 de sume — deci o valoare apare de două ori.

1. Notăm numerele cu $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{46}$ și suma lor cu $S$. Atunci (eventual după renumerotare) $$S-a_{46}=2115=2025+90,S-a_{45}=2113=2025+88,\dots ,S-a_2=2027=2025+2,$$ iar $S-a_1=x$, unde $x\in \{2027,2029,\dots ,2115\}$. (2 p)
2. Sumând egalitățile de mai sus obținem $$46\cdot S-S=2025\cdot 45+2\cdot (1+2+\dots +45)+x,$$ adică $$45S={45}^3+45\cdot 46+x,$$ deci $x$ se împarte la 45. Multiplii lui 45 dintre 2027 și 2115 sunt 2070 și 2115, iar $x$ este impar, deci $x=2115$. (3 p)
3. Atunci $45S$ $=45\cdot 2025+45\cdot 46+45\cdot 47$, deci $S=2025+46+47=2118$, și $a_1$ $=a_{46}$ $=2118-2115$ $=3$, $a_{45}=5$, $a_{44}=7$, …, $a_2=2118-2027=91$. (2 p)

Verificare: numerele sunt 3, 3, 5, 7, 9, …, 91, cu suma $3+(3+5+\dots +91)$ $=3+2115$ $=2118$; scăzând pe rând fiecare număr obținem exact 2115, 2113, …, 2027. ✓

Răspuns: numerele sunt 3, 3, 5, 7, 9, …, 89, 91 (toate numerele impare de la 3 la 91, cu 3 scris de două ori).