Olimpiada matematică etapa locală 2025 clasa a 8-a București

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa locală din București, clasa a VIII-a?

Patru probleme: inegalitatea (ab)/(a + b) ≤ (a + b)/(4) și o aplicație cu a + b + c = 2025, un tetraedru cu centrele de greutate G_1, G_2, numerele prime p, q pentru care p² + 11pq + 25q² este pătrat perfect și un paralelipiped dreptunghic care trebuie să fie cub.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2025, etapa locală din București, clasa a VIII-a (sâmbătă, 8 februarie 2025), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: inegalitatea se obține din $(a - b)^{2} \geq 0$ ; $A C$ este paralelă cu planul $(G_{1} P Q)$ prin teorema lui Thales; $(p, q) \in {(11, 23), (17, 5), (31, 3)}$ ; paralelipipedul este cub pentru că triunghiul $A B^{'} C$ este echilateral.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa locală subiectele nu sunt aceleași în toată țara: fiecare județ își stabilește propriul subiect. Pe această pagină sunt subiectele din București, elaborate de SSMR și Inspectoratul Școlar al Municipiului București (ISMB), date sâmbătă, 8 februarie 2025: 4 probleme, timp de lucru 3 ore, fiecare problemă notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană (pe sector) din 8 martie 2025, clasa a VIII-a.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · inegalități)

a) Demonstrați că $\frac{a b}{a + b}$ $\leq \frac{a + b}{4}$ , pentru orice $a, b > 0$ .

b) Fie $a, b, c$ numere reale strict pozitive astfel încât $a + b + c = 2025$ . Arătați că $\frac{a}{a + 675} + \frac{b}{b + 675} + \frac{c}{c + 675}$ $\leq \frac{3}{2}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Cum $a + b > 0$ , înmulțim cu $4 (a + b)$ : $\frac{a b}{a + b}$ $\leq \frac{a + b}{4} \Leftrightarrow 4 a b$ $\leq (a + b)^{2} \Leftrightarrow 0$ $\leq (a - b)^{2}$ , adevărat. (2 p)

Înmulțind cu 675, inegalitatea cerută este echivalentă cu $\frac{a \cdot 675}{a + 675} + \frac{b \cdot 675}{b + 675} + \frac{c \cdot 675}{c + 675} \leq \frac{3 \cdot 675}{2} = \frac{2025}{2} .$ Din a) (cu $b$ înlocuit de 675) rezultă $\frac{a \cdot 675}{a + 675}$ $\leq \frac{a + 675}{4}$ și analoagele pentru $b$ și $c$ . (3 p)
Sumând cele trei relații, obținem $\frac{a \cdot 675}{a + 675} + \frac{b \cdot 675}{b + 675} + \frac{c \cdot 675}{c + 675} \leq \frac{a + b + c + 675 \cdot 3}{4} = \frac{2025 + 2025}{4} = \frac{2025}{2} .$ (2 p)

Observație: egalitatea are loc pentru $a = b = c = 675$ .

Problema 2 (7 puncte · paralelism în spațiu, centrul de greutate)

Fie $A B C D$ un tetraedru cu baza $B C D$ triunghi echilateral, iar $G_{1}$ și $G_{2}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $A B D$ , respectiv $A C D$ .

a) Arătați că $G_{1} G_{2} ∥ (B C D)$ .

b) Considerăm o dreaptă $P Q$ , $P \in (C D)$ și $Q \in (B C)$ ce conține centrul bazei. Arătați că $A C ∥ (G_{1} P Q)$ . (suplimentul Gazetei Matematice)

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Notăm cu $M$ și $N$ mijloacele muchiilor $B D$ , respectiv $C D$ . Centrul de greutate se află pe mediană, la două treimi de vârf, deci în triunghiul $A M N$ : $\frac{A G_{1}}{A M}$ $= \frac{A G_{2}}{A N}$ $= \frac{2}{3}$ , de unde obținem, folosind reciproca teoremei lui Thales, că $G_{1} G_{2} ∥ M N$ . Dar $M N \subset (B C D)$ , deci $G_{1} G_{2} ∥ (B C D)$ . (4 p)

Fie $O$ centrul triunghiului echilateral $B C D$ (care este și centrul lui de greutate). Atunci $O \in C M$ și $\frac{O C}{C M}$ $= \frac{2}{3}$ $= \frac{A G_{1}}{A M}$ , adică $\frac{M O}{M C}$ $= \frac{M G_{1}}{M A}$ $= \frac{1}{3}$ . Putem astfel aplica reciproca teoremei lui Thales în triunghiul $A M C$ , obținând $O G_{1} ∥ A C$ . (2 p)
$O \in P Q$ , deci $O \in (G_{1} P Q)$ și $O G_{1} \subset (G_{1} P Q)$ . Cum $A C ∥ O G_{1}$ (iar $A C$ nu este conținută în acest plan), obținem $A C ∥ (G_{1} P Q)$ . (1 p)

Problema 3 (7 puncte · numere prime, pătrate perfecte, descompuneri)

Aflați numerele prime $p$ și $q$ cu proprietatea că numărul $p^{2} + 11 p q + 25 q^{2}$ este pătrat perfect.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: expresia este foarte aproape de pătratul $(p + 5 q)^{2}$ $= p^{2} + 10 p q + 25 q^{2}$ ; diferența este doar $p q$ .

Fie $p^{2} + 11 p q + 25 q^{2} = n^{2}$ , $n \in N$ . Atunci $(p + 5 q)^{2} + p q = n^{2}$ , deci $p q = n^{2} - (p + 5 q)^{2} = (n + p + 5 q) (n - p - 5 q) .$ (2 p)
Divizorii lui $p q$ sunt 1, $p$ , $q$ , $p q$ . Cum $n + p + 5 q > p$ și $n + p + 5 q > q$ , iar $p, q$ sunt prime, rezultă $n + p + 5 q = p q$ și $n - p - 5 q = 1$ . Scăzând: $p q - 2 p - 10 q - 1 = 0$ , adică $(p - 10) (q - 2) = 21.$ (3 p)
Cum $q - 2 \geq 0$ , ambii factori sunt pozitivi, iar $21$ $= 1 \cdot 21$ $= 3 \cdot 7$ $= 7 \cdot 3$ $= 21 \cdot 1$ . Analizând cele 4 cazuri posibile: $(p, q) = (11, 23)$ , $(13, 9)$ — nu convine, 9 nu este prim —, $(17, 5)$ , $(31, 3)$ . Obținem soluțiile $(p, q) \in {(11, 23); (17, 5); (31, 3)}$ . (2 p)

Verificare: $(11, 23)$ : $121 + 2783 + 13225$ $= 16129$ $= 127^{2}$ ; $(17, 5)$ : $289 + 935 + 625$ $= 1849$ $= 43^{2}$ ; $(31, 3)$ : $961 + 1023 + 225$ $= 2209$ $= 47^{2}$ . ✓

Răspuns: $(p, q) \in {(11, 23), (17, 5), (31, 3)}$ .

Problema 4 (7 puncte · paralelipipedul dreptunghic, cubul)

Fie $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ un paralelipiped dreptunghic astfel încât măsurile unghiurilor $∠ B^{'} A C$ , $∠ C A D^{'}$ , $∠ B^{'} A D^{'}$ sunt toate mai mari sau egale cu $60^{\circ}$ . Arătați că paralelipipedul este cub.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: cele trei unghiuri din vârful $A$ sunt, de fapt, cele trei unghiuri ale aceluiași triunghi $A B^{'} C$ (format din diagonale ale fețelor), deci suma lor este $180^{\circ}$ .

Triunghiurile $A B^{'} C$ , $C D^{'} A$ și $B^{'} A D^{'}$ au laturile diagonale ale fețelor: $A B^{'} = C D^{'}$ , $B^{'} C = D^{'} A$ , $A C = B^{'} D^{'}$ . Deci $△ A B^{'} C \equiv △ C D^{'} A \equiv △ B^{'} A D^{'}$ (L.L.L.), de unde $∠ A B^{'} C = ∠ B^{'} A D^{'}$ și $∠ A C B^{'} = ∠ C A D^{'}$ . (3 p)
În triunghiul $A B^{'} C$ avem $∠ B^{'} A C + ∠ A B^{'} C + ∠ A C B^{'}$ $= 180^{\circ}$ , deci $∠ B^{'} A C + ∠ B^{'} A D^{'} + ∠ C A D^{'}$ $= 180^{\circ}$ . Cum fiecare dintre $∠ B^{'} A C$ , $∠ B^{'} A D^{'}$ , $∠ C A D^{'}$ este cel puțin $60^{\circ}$ , toate sunt egale cu $60^{\circ}$ : $∠ B^{'} A C$ $= ∠ A B^{'} C$ $= ∠ A C B^{'}$ $= 60^{\circ}$ , deci $△ A B^{'} C$ este echilateral. (2 p)
Notând dimensiunile paralelipipedului cu $A B = a$ , $B C = b$ și $A A^{'} = c$ , din $A B^{'} = B^{'} C = A C$ (teorema lui Pitagora pe fețe) obținem $a^{2} + c^{2}$ $= b^{2} + c^{2}$ $= a^{2} + b^{2}$ , deci $a^{2} = b^{2} = c^{2}$ și $a = b = c$ , așadar paralelipipedul este cub. (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	demonstrație: $\frac{a b}{a + b} \leq \frac{a + b}{4}$ , aplicată cu 675
2	demonstrație: $G_{1} G_{2} ∥ M N$ , $O G_{1} ∥ A C$
3	$(p, q) \in {(11, 23), (17, 5), (31, 3)}$
4	demonstrație: $△ A B^{'} C$ echilateral, deci $a = b = c$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Inegalități, formule de calcul prescurtat	fișă formule de calcul prescurtat · fișă intervale și inecuații
2	Paralelism dreaptă–plan, tetraedrul	fișă paralelism în spațiu
3	Numere prime, descompuneri în factori	fișă formule de calcul prescurtat
4	Paralelipipedul dreptunghic, cubul, unghiuri	fișă cubul și paralelipipedul · fișă unghiuri în spațiu

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa locală din București, clasa a VIII-a? Patru probleme: inegalitatea $\frac{a b}{a + b} \leq \frac{a + b}{4}$ și o aplicație cu $a + b + c = 2025$ , un tetraedru cu centrele de greutate $G_{1}$ , $G_{2}$ , numerele prime $p, q$ pentru care $p^{2} + 11 p q + 25 q^{2}$ este pătrat perfect și un paralelipiped dreptunghic care trebuie să fie cub.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică 2025? În București, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, fiecare notată de la 0 la 7 puncte (se acordă numai punctaje întregi), deci punctajul maxim este 28. Rezolvările parțiale se punctează după barem, iar orice altă rezolvare corectă se punctează echivalent.

Unde găsesc subiectele și baremul oficial de la etapa locală 2025 din București? Subiectele și baremele etapei locale din București au fost elaborate de filiala București a Societății de Științe Matematice din România (SSMR) împreună cu Inspectoratul Școlar al Municipiului București (ISMB) și au fost distribuite școlilor; copii ale fișierelor oficiale sunt arhivate de site-uri de profil (de exemplu mateinfo.ro). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa locală 2025 (București) — clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VII-a; etapa următoare: olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a VIII-a; toate subiectele: olimpiada de matematică; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 8-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR / ISMB (Olimpiada Națională de Matematică, etapa locală, București, 8 februarie 2025): subiectul și baremul, copii ale fișierelor oficiale arhivate de mateinfo.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2025, etapa locală (București) — clasa a VIII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · inegalități)

Problema 2 (7 puncte · paralelism în spațiu, centrul de greutate)

Problema 3 (7 puncte · numere prime, pătrate perfecte, descompuneri)

Problema 4 (7 puncte · paralelipipedul dreptunghic, cubul)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe