Olimpiada de matematică 2022 județeană, clasa a VII-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2022, etapa județeană, clasa a VII-a (sâmbătă, 26 martie 2022), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: problema 1 folosește cercul înscris; suma a $n$ numere întregi consecutive este 2022 pentru $n \in {1, 3, 4, 12, 337, 1011, 1348, 4044}$ ; la problema 3 b) un exemplu este $a = \sqrt{2}$ , $b = \sqrt{3}$ , $c = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ; la problema 4, $∠ A B C = 60^{\circ}$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 26 martie 2022, toți elevii de clasa a VII-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore (conform regulamentului specific ONM 2022). Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate s-au calificat la etapa națională din aprilie 2022 (Constanța pentru clasele V–VI, Iași pentru clasele VII–VIII).

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · cercul înscris, puncte conciclice)

Fie $I$ punctul de intersecție a bisectoarelor triunghiului $A B C$ . Punctele $D$ , $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $I A$ , $I B$ , respectiv $I C$ , iar $G$ , $H$ și $J$ sunt picioarele perpendicularelor duse din punctul $I$ pe laturile $A B$ , $B C$ , respectiv $C A$ .

Demonstrați că punctele $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ și $J$ sunt conciclice dacă și numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Punctul $I$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$ , deci este egal depărtat de laturile acestuia: $I G = I H = I J$ ( $= r$ , raza cercului înscris). (1 p)
„⇐” Dacă triunghiul $A B C$ este echilateral (de centru $I$ ), atunci punctele $A$ , $D$ , $I$ , $H$ sunt coliniare, cu $A D = D I = I H$ (centrul împarte mediana în raportul $2 : 1$ , deci $A I = 2 I H$ ). Analog pentru punctele $B$ , $E$ , $I$ , $J$ , respectiv $C$ , $F$ , $I$ , $G$ . Întrucât $I G = I H = I J$ , deducem că punctele $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ și $J$ aparțin cercului înscris în triunghi. (2 p)
„⇒” Reciproc, presupunem că $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ și $J$ sunt conciclice. Cum punctele $G$ , $H$ și $J$ determină un cerc (anume cercul înscris în triunghi, de centru $I$ și rază $r$ ), înseamnă că $D$ , $E$ și $F$ aparțin acestui cerc, prin urmare $I D = I E = I F = r$ . (2 p)
În triunghiul $A G I$ , dreptunghic în $G$ , avem $I G = r$ , iar $A I = 2 I D = 2 r$ . Rezultă că unghiul $∠ I A G$ are măsura de $30^{\circ}$ (cateta opusă este jumătate din ipotenuză). Însă $A I$ este bisectoarea unghiului $∠ B A C$ , așadar $∠ B A C$ are măsura de $60^{\circ}$ . Analog se arată că unghiul $∠ A B C$ are măsura de $60^{\circ}$ , deci triunghiul $A B C$ este echilateral. (2 p)

Problema 2 (7 puncte · sume de numere consecutive, divizori)

Suma a $n$ numere întregi consecutive este egală cu 2022. Determinați valorile posibile ale numărului natural nenul $n$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Dacă toți termenii sumei sunt pozitivi, suma are forma $S$ $= (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)$ , cu $m \in N$ . Obținem $n m + \frac{n (n + 1)}{2}$ $= 2022$ , de unde $n (2 m + n + 1) = 4044$ . (2 p)
Cei doi factori au parități diferite (diferența lor, $2 m + 1$ , este impară) și primul este mai mic. Cum $4044$ $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 337$ , avem posibilitățile $(n, 2 m + n + 1) \in {(1, 4044), (3, 1348), (4, 1011), (12, 337)} .$ Deducem că $(n, m) \in {(1, 2021), (3, 672), (4, 503), (12, 162)}$ , prin urmare $n$ poate lua valorile 1, 3, 4, 12. (2 p)
Dacă suma conține și termeni care nu sunt numere pozitive, aceasta va fi de forma $S$ $= (- m) + (- m + 1) + \dots + m + (m + 1) + \dots + (m + k)$ , unde $2 m + k + 1 = n$ : termenii de la $- m$ la $m$ se reduc, iar ce rămâne este suma a $k$ numere pozitive consecutive, $(m + 1) + \dots + (m + k)$ $= 2022$ . Din cazul anterior, $(k, m) \in {(1, 2021), (3, 672), (4, 503), (12, 162)}$ , deci $n = 2 m + k + 1$ poate lua și valorile $4044$ , $1348$ , $1011$ și $337$ . (3 p)

Exemple: $n = 3$ : $673 + 674 + 675 = 2022$ ; $n = 337$ : numerele de la $- 162$ la $174$ .

Răspuns: $n \in {1, 3, 4, 12, 337, 1011, 1348, 4044}$ .

Problema 3 (7 puncte · numere raționale și iraționale)

Fie $a$ , $b$ și $c$ trei numere reale strict pozitive.

a) Dacă $a^{2} + a b + a c$ , $b^{2} + b a + b c$ și $c^{2} + c a + c b$ sunt numere raționale, demonstrați că $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ este tot un număr rațional.

b) Arătați că există $a, b, c > 0$ pentru care $a^{2} + a b + b c$ , $b^{2} + b c + c a$ și $c^{2} + c a + a b$ sunt numere raționale, însă $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ este un număr irațional.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm $a + b + c = s > 0$ . Din ipoteză știm că numerele $s a$ , $s b$ și $s c$ sunt raționale pozitive, prin urmare $s a + s b + s c$ $= s (a + b + c)$ $= s^{2}$ este număr rațional nenul (chiar pozitiv). (2 p)
Pe de altă parte, $(s a)^{2} = s^{2} a^{2}$ este număr rațional, deci $a^{2} = (s^{2} a^{2}) : s^{2}$ este un număr rațional. Analog se arată că $b^{2}$ și $c^{2}$ sunt numere raționale, așadar suma $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ este tot un număr rațional. (2 p)

b) De exemplu, putem alege $a = \sqrt{2}$ , $b = \sqrt{3}$ și $c = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ( $c > 0$ ). Atunci

\begin{aligned} a^{2} + a b + b c & = 2 + \sqrt{6} + 3 - \sqrt{6} = 5 \in Q, \\ b^{2} + b c + c a & = 3 + 3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - 2 = 4 \in Q, \\ c^{2} + c a + a b & = 5 - 2 \sqrt{6} + \sqrt{6} - 2 + \sqrt{6} = 3 \in Q, \end{aligned}

în timp ce $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $= 2 + 3 + 5 - 2 \sqrt{6}$ $= 10 - 2 \sqrt{6} \notin Q$ . (3 p)

Problema 4 (7 puncte · triunghiul dreptunghic, asemănare, teorema bisectoarei)

Se consideră triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ . Punctul $D$ este piciorul înălțimii din $A$ , iar $M$ este mijlocul ipotenuzei $B C$ .

Spunem că un punct $X$ situat în interiorul triunghiului $A B C$ este remarcabil dacă $A B = B X$ , iar bisectoarea unghiului $∠ C X D$ trece prin punctul $M$ .

a) Știind că există măcar un punct remarcabil, demonstrați că unghiul $∠ A B C$ are măsura de $60^{\circ}$ .

b) Dacă unghiul $∠ A B C$ are măsura de $60^{\circ}$ , arătați că orice punct situat pe arcul mic $A M$ al cercului de centru $B$ și rază $A B$ este remarcabil.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $X$ un punct remarcabil. Din asemănarea triunghiurilor $A B C$ și $D B A$ ( $∠ A B C = ∠ D B A$ și $∠ B A C$ $= ∠ B D A$ $= 90^{\circ}$ ) rezultă că $\frac{A B}{B D}$ $= \frac{B C}{A B}$ , deci (cum $B X = A B$ ) $\frac{B X}{B D}$ $= \frac{B C}{B X}$ . Avem și $∠ X B C = ∠ D B X$ , prin urmare $△ X B C \sim △ D B X$ (LUL). Deducem că $∠ B C X = ∠ D X B$ . (2 p)
Atunci $∠ B M X$ $= ∠ M X C + ∠ M C X$ $= ∠ M X D + ∠ D X B$ $= ∠ B X M$ (unghi exterior triunghiului $M X C$ ; $X M$ este bisectoarea unghiului $∠ C X D$ ), așadar triunghiul $B X M$ este isoscel, cu $B M = B X$ . Astfel, $A B = B M = \frac{1}{2} B C$ , de unde rezultă că $∠ A C B = 30^{\circ}$ , deci $∠ A B C = 60^{\circ}$ . (2 p)

Fie $X$ un punct situat pe arcul mic $A M$ al cercului $ω$ de centru $B$ și rază $A B$ și $N$ al doilea punct de intersecție dintre acest cerc și dreapta $B C$ . Cum $∠ A B C = 60^{\circ}$ , avem $B C = 2 A B$ și $B D = \frac{1}{2} A B$ , deci $B N = B M = A B = 2 B D$ (în particular $M$ este pe cerc), iar $∠ M X N = 90^{\circ}$ ( $M N$ este diametru). Pe dreapta $C X$ considerăm punctele $E$ și $F$ astfel încât $D E ∥ X M$ și $D F ∥ X N$ . Atunci $\frac{C F}{F X}$ $= \frac{C D}{D N}$ $= 1$ , iar $\frac{C X}{X E}$ $= \frac{C M}{M D}$ $= 2$ , prin urmare $C F = F X = X E$ . (1 p)
Evident că $∠ E D F = 90^{\circ}$ (laturile sunt paralele cu $X M ⊥ X N$ ), prin urmare $D X$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $D E F$ . Obținem că $D X = X F = \frac{1}{2} X C$ . (1 p)
Atunci $\frac{X D}{X C}$ $= \frac{M D}{M C}$ $= \frac{1}{2}$ , iar din reciproca teoremei bisectoarei deducem că $X M$ este bisectoarea unghiului $∠ D X C$ . Cum $B A = B X$ (raze în cercul $ω$ ), deducem că $X$ este un punct remarcabil. (1 p)

Pentru calcul: cu $A B = 2$ avem $B D = 1$ , $B M = M C = 2$ , deci $C D = 3 = D N$ și $M D = 1$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	demonstrație: $I D = I E = I F = r$ implică unghiuri de $60^{\circ}$
2	$n \in {1, 3, 4, 12, 337, 1011, 1348, 4044}$
3	a) demonstrație ( $s^{2}$ și $a^{2}$ raționale); b) $a = \sqrt{2}$ , $b = \sqrt{3}$ , $c = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
4	a) demonstrație ( $B M = B X = A B$ ); b) demonstrație (reciproca teoremei bisectoarei)

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Cercul înscris, triunghiul dreptunghic cu unghi de $30^{\circ}$	fișă cercul
2	Sume de numere consecutive, divizori	fișă recapitulare algebră
3	Numere raționale și iraționale, radicali	fișă mulțimea numerelor reale · fișă radicali
4	Asemănarea triunghiurilor, teorema bisectoarei, cercul	fișă asemănarea triunghiurilor · fișă relații metrice

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VII-a? Patru probleme: șase puncte legate de cercul înscris, conciclice doar în triunghiul echilateral, sume de numere întregi consecutive egale cu 2022, numere raționale și iraționale de forma $a^{2} + a b + a c$ și puncte „remarcabile” într-un triunghi dreptunghic.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022? La clasa a VII-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme (clasele V–VI: 2 ore, clasele VII–VIII: 3 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022? Enunțurile, soluțiile și baremul de corectare sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România (SSMR), împreună cu Ministerul Educației, în documentul „soluții și bareme” pentru fiecare clasă (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa județeană 2022: clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VIII-a. Subiectele mai noi: etapa județeană 2023, clasa a VII-a · olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VII-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 7-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 26 martie 2022): enunțurile, soluțiile și baremul — clasa a VII-a, publicate de SSMR (ssmr.ro). Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a VII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · cercul înscris, puncte conciclice)

Problema 2 (7 puncte · sume de numere consecutive, divizori)

Problema 3 (7 puncte · numere raționale și iraționale)

Problema 4 (7 puncte · triunghiul dreptunghic, asemănare, teorema bisectoarei)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe