Olimpiada de matematică 2024 națională, clasa a IX-a

Problemele de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa națională, clasa a IX-a (Târgu Mureș, aprilie 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: la problema 1 apare numărul de aur $φ$ ; la problema 2 rezultă $a = b$ ; ecuația funcțională are soluțiile $f (x) = 0$ , $f (x) = x$ , $f (x) = 1$ ; problema 4 se rezolvă prin inducție.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. Etapa națională din 2024 pentru clasele IX–XII s-a desfășurat la Târgu Mureș (proba de clasa a IX-a: aprilie 2024), cu elevii calificați de la etapa județeană. Subiectul a avut 4 probleme; conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Pe baza rezultatelor se acordă premiile și medaliile și se face selecția pentru barajele echipelor olimpice ale României.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · geometrie, teorema lui Menelau, numărul de aur)

Pe latura $(B C)$ a triunghiului $A B C$ se consideră punctele $D$ și $E$ , cu $D$ între $B$ și $E$ .

Despre un punct $R$ al segmentului $(A E)$ vom spune că este remarcabil dacă dreptele $P Q$ și $B C$ sunt paralele, unde ${P} = D R \cap A C$ , iar ${Q} = C R \cap A B$ . Despre un punct $R^{'}$ al segmentului $(A D)$ vom spune că este remarcabil dacă dreptele $P^{'} Q^{'}$ și $B C$ sunt paralele, unde ${P^{'}} = B R^{'} \cap A C$ , iar ${Q^{'}} = E R^{'} \cap A B$ .

a) Dacă pe segmentul $(A E)$ există un punct remarcabil, arătați că orice punct al segmentului $(A E)$ este remarcabil.
b) Dacă fiecare dintre segmentele $(A D)$ și $(A E)$ conține câte un punct remarcabil, demonstrați că $B D = C E = φ \cdot D E$ , unde $φ$ $= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ este numărul de aur.

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Aplicând teorema lui Menelau în triunghiul $A B E$ cu transversala $Q - R - C$ , obținem

\frac{A Q}{Q B} \cdot \frac{B C}{C E} \cdot \frac{E R}{R A} = 1, deci \frac{A Q}{Q B} = \frac{C E}{B C} \cdot \frac{R A}{E R} .

Analog, aplicând teorema lui Menelau în triunghiul $A E C$ cu transversala $P - R - D$ , obținem $\frac{A P}{P C}$ $= \frac{D E}{C D} \cdot \frac{R A}{E R}$ . Avem (reciproca teoremei lui Thales):

P Q ∥ B C ⟺ \frac{A Q}{Q B} = \frac{A P}{P C} ⟺ \frac{C E}{B C} = \frac{D E}{C D} .

(2 p)

Această relație nu depinde de poziția punctului $R$ pe segmentul $(A E)$ , ci doar de pozițiile punctelor $D$ și $E$ pe segmentul $(B C)$ . Rezultă că, dacă pe segmentul $(A E)$ există un punct remarcabil, atunci orice punct al segmentului $(A E)$ este remarcabil. (2 p)

b) Notăm cu $x$ , $y$ și $z$ lungimile segmentelor $B D$ , $D E$ , respectiv $E C$ . Conform celor de mai sus, pe segmentul $(A E)$ există un punct remarcabil dacă și numai dacă

\frac{x + y + z}{z} = \frac{y + z}{y} ⟺ \frac{x + y}{z} = \frac{z}{y} ⟺ z^{2} = y^{2} + x y .

Analog se arată că pe segmentul $(A D)$ există un punct remarcabil dacă și numai dacă $x^{2} = y^{2} + y z$ . (1 p)

Scăzând aceste egalități, rezultă că $z^{2} - x^{2} = y (x - z)$ , adică $(z - x) (z + x) = - y (z - x)$ . Pentru a nu avea semne contrare în cei doi membri, se impune condiția $x = z$ . Deducem că $x^{2} - x y - y^{2} = 0$ , sau $t^{2} - t - 1 = 0$ , unde $t = \frac{x}{y} > 0$ . Singura soluție pozitivă a acestei ecuații este $t = φ$ , deci $B D = C E = φ \cdot D E$ . (2 p)

Problema 2 (7 puncte · partea fracționară, divizibilitate)

Fie $a$ și $b$ două numere reale din intervalul $(0, 1)$ , astfel încât $a$ este număr rațional și

{n a} \geq {n b}, oricare ar fi numărul natural n .

Demonstrați că $a = b$ .

(Am notat cu ${x}$ partea fracționară a numărului real $x$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $a = \frac{p}{q}$ , unde $p$ și $q$ sunt numere naturale nenule, prime între ele, cu $p < q$ .

Atunci $0$ $= {q a}$ $\geq {q b}$ $\geq 0$ , prin urmare $q b$ este un număr natural. Rezultă că $b = \frac{s}{q}$ , unde $s$ este un număr natural nenul (și $s < q$ , deoarece $b < 1$ ).

Considerând $n = 1$ în relația din ipoteză, obținem că ${a} \geq {b}$ , de unde $p \geq s$ . (2 p)

Deoarece numerele $p$ și $q$ sunt prime între ele, există un număr natural nenul $k$ astfel încât $k p \equiv 1 (\mod q)$ (în particular $(k, q) = 1$ ).

Pentru acest $k$ avem ${k a} = {k \cdot \frac{p}{q}} = \frac{1}{q}$ . Atunci $\frac{1}{q} = {k a} \geq {k b} = {k \cdot \frac{s}{q}}$ , de unde rezultă că numărul ${k \cdot \frac{s}{q}}$ (care este un multiplu de $\frac{1}{q}$ ) este egal fie cu $0$ , fie cu $\frac{1}{q}$ . (3 p)

Dacă ${k \cdot \frac{s}{q}} = 0$ , atunci $q ∣ k s$ ; cum $(q, k) = 1$ , înseamnă că $q ∣ s$ , fals (deoarece $0 < s < q$ ).

Dacă ${k \cdot \frac{s}{q}} = \frac{1}{q}$ , atunci $k s \equiv 1 \equiv k p (\mod q)$ , așadar $q ∣ k (p - s)$ ; cum $(q, k) = 1$ , înseamnă că $q ∣ p - s$ . Însă $0 \leq p - s < q$ , așadar $p - s = 0$ . Rezultă că $p = s$ , prin urmare $a = b$ . (2 p)

Problema 3 (7 puncte · ecuații funcționale)

Determinați funcțiile $f : R \to R$ cu proprietatea că

(f (x) - y) \cdot f (x + f (y)) = f (x^{2}) - y f (y),

oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm cu $P (x, y)$ afirmația $(f (x) - y) \cdot f (x + f (y))$ $= f (x^{2}) - y f (y)$ , adevărată pentru orice valori reale ale lui $x$ și $y$ .

Lemă. Dacă există două valori reale distincte $y_{1} \neq y_{2}$ astfel încât $f (y_{1}) = f (y_{2}) = k$ , atunci $f$ este funcție constantă: $f (x) = k$ , pentru orice număr real $x$ .

Într-adevăr, considerând $P (x, y_{1})$ și $P (x, y_{2})$ , obținem relațiile $(f (x) - y_{1}) \cdot f (x + k)$ $= f (x^{2}) - k y_{1}$ , respectiv $(f (x) - y_{2}) \cdot f (x + k)$ $= f (x^{2}) - k y_{2}$ . Prin scădere, acestea conduc la $(y_{1} - y_{2}) f (x + k)$ $= k (y_{1} - y_{2})$ , adică $f (x + k) = k$ , pentru orice număr real $x$ . Astfel, funcția $f$ este constantă. (2 p)

Din $P (0, 0)$ deducem că $f (0) \cdot f (f (0)) = f (0)$ .

Cazul $f (0) = 0$ . Dacă există două valori reale distincte $y_{1} \neq y_{2}$ cu $f (y_{1}) = f (y_{2})$ , atunci $f$ este constantă (conform Lemei), deci $f (x) = f (0) = 0$ , pentru orice număr real $x$ . (1 p)

În caz contrar, pentru orice $y_{1} \neq y_{2}$ avem $f (y_{1}) \neq f (y_{2})$ ( $f$ este injectivă). Considerând $P (0, y)$ , deducem că $- y f (f (y)) = - y f (y)$ , deci $f (f (y)) = f (y)$ pentru orice $y$ real (pentru $y = 0$ , $f (f (0)) = f (0) = 0$ ). Din injectivitate conchidem că $f (y) = y$ , pentru orice număr real $y$ , așadar $f$ este funcția identică a mulțimii $R$ . (2 p)

Cazul $f (0) \neq 0$ . Rezultă $f (f (0)) = 1$ . Din $P (1, f (1))$ deducem $f (1) = f (1) \cdot f (f (1))$ .

Dacă $f (1) = 0$ , egalitățile $P (1, f (0))$ , $P (2, 1)$ și $P (2, 4)$ conduc la $f (2) = 1$ , $f (4) = 0$ , respectiv $- 3 = 0$ , contradicție. Deducem că $f (f (1)) = 1$ .

Astfel, atât în cazul $f (0) \neq f (1)$ , cât și în cazul $f (0) = f (1)$ , putem aplica Lema (în primul caz pentru $y_{1} = f (0)$ , $y_{2} = f (1)$ , în al doilea pentru $y_{1} = 0$ , $y_{2} = 1$ ); obținem că $f$ este funcție constantă, iar din $f (f (0)) = 1$ rezultă $f (x) = 1$ , pentru orice număr real $x$ .

Toate cele trei funcții găsite verifică relația din ipoteză: pentru $f (x) = 0$ ambii membri sunt $0$ ; pentru $f (x) = x$ , $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ ; pentru $f (x) = 1$ , $1 - y = 1 - y$ . (2 p)

Răspuns: $f (x) = 0$ , $f (x) = x$ și $f (x) = 1$ . (Baremul oficial conține și o a doua soluție, cu același punctaj total.)

Problema 4 (7 puncte · șiruri, progresii aritmetice, inducție)

Fie $a$ un număr natural nenul dat. Considerăm șirul $(x_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $x_{n} = \frac{1}{1 + n a}$ , oricare ar fi numărul natural nenul $n$ .

Demonstrați că, oricare ar fi numărul natural $k \geq 3$ , există numere naturale nenule $n_{1}$ $< n_{2}$ $< \dots$ $< n_{k}$ astfel încât numerele $x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \dots, x_{n_{k}}$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Vom demonstra cerința prin inducție după $k$ . Observăm că

\frac{1}{1 + m a} + \frac{1}{(1 + m a) (1 + 2 m a)} = \frac{2}{1 + 2 m a},

iar $(1 + m a) (1 + 2 m a)$ $= 1 + (2 m^{2} a + 3 m) a$ , prin urmare există o progresie aritmetică formată din trei termeni ai șirului: $x_{m}, x_{2 m}, x_{2 m^{2} a + 3 m}$ . (2 p)

Presupunem că există $k$ numere naturale nenule $n_{1}$ $< n_{2}$ $< \dots$ $< n_{k}$ astfel încât numerele $x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \dots, x_{n_{k}}$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Considerând $y = 2 x_{n_{1}} - x_{n_{2}}$ , numerele $y, x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \dots, x_{n_{k}}$ sunt în progresie aritmetică (în număr de $k + 1$ ). Avem:

\begin{aligned} y & = \frac{2}{1 + n_{1} a} - \frac{1}{1 + n_{2} a} = \frac{1 + p a}{(1 + n_{1} a) (1 + n_{2} a)} \\ = \frac{1 + p a}{1 + (n_{1} + n_{2} + n_{1} n_{2} a) a}, \end{aligned}

unde $p = 2 n_{2} - n_{1}$ (număr natural nenul). (2 p)

Rezultă că

\frac{y}{1 + p a}, \frac{x_{n_{1}}}{1 + p a}, \frac{x_{n_{2}}}{1 + p a}, \dots, \frac{x_{n_{k}}}{1 + p a}

sunt $k + 1$ termeni $x_{m_{1}}, x_{m_{2}}, \dots, x_{m_{k + 1}}$ ai șirului $(x_{n})_{n \geq 1}$ : într-adevăr, $\frac{y}{1 + p a}$ $= x_{n_{1} + n_{2} + n_{1} n_{2} a}$ și $\frac{x_{n_{i}}}{1 + p a}$ $= \frac{1}{1 + (n_{i} + p + n_{i} p a) a}$ $= x_{n_{i} + p + n_{i} p a}$ .

Aceștia sunt în progresie aritmetică, deoarece atunci când împărțim termenii unei progresii aritmetice printr-un număr real nenul, obținem tot o progresie aritmetică.

În plus, avem $m_{1}$ $< m_{2}$ $< \dots$ $< m_{k + 1}$ , pentru că șirul $(x_{n})_{n \geq 1}$ este strict monoton (strict descrescător), iar termenii $y$ $> x_{n_{1}}$ $> \dots$ $> x_{n_{k}}$ , deci și împărțiți la $1 + p a$ , sunt în ordine descrescătoare. Cu aceasta, demonstrația este completă. (3 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) demonstrație (Menelau); b) $B D = C E = φ \cdot D E$
2	demonstrație: $a = b$
3	$f (x) = 0$ , $f (x) = x$ , $f (x) = 1$
4	demonstrație prin inducție după $k$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Geometrie: teorema lui Menelau, paralelism, numărul de aur
2	Partea fracționară, numere raționale, divizibilitate
3	Ecuații funcționale
4	Șiruri, progresii aritmetice, inducție matematică

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a IX-a? Patru probleme: o problemă de geometrie cu puncte „remarcabile” și numărul de aur, o inegalitate între părți fracționare ${n a} \geq {n b}$ , ecuația funcțională $(f (x) - y) f (x + f (y)) = f (x^{2}) - y f (y)$ și progresii aritmetice formate cu termeni ai șirului $x_{n} = \frac{1}{1 + n a}$ .

Cum se punctează subiectul de la etapa națională a olimpiadei de matematică 2024? Conform baremului oficial, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, pe pași, după barem; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică 2024, etapa națională? Soluțiile și baremele de corectare de la etapa națională sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2024 — clasa a X-a · clasa a XI-a · clasa a XII-a. Aceeași clasă, etapa județeană: olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a IX-a. Alte competiții găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Târgu Mureș, aprilie 2024): enunțurile, soluțiile și baremul (ssmr.ro). Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa națională — clasa a IX-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · geometrie, teorema lui Menelau, numărul de aur)

Problema 2 (7 puncte · partea fracționară, divizibilitate)

Problema 3 (7 puncte · ecuații funcționale)

Problema 4 (7 puncte · șiruri, progresii aritmetice, inducție)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe