Olimpiada de matematică 2026 națională, clasa a VIII-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VIII-a?

Patru probleme: o ecuație cu x rațional și y întreg, numărul 25^m - 3^m - 2 scris ca produs de două numere consecutive, o problemă de plane perpendiculare într-o prismă triunghiulară regulată și o problemă cu partea întreagă și partea fracționară.

Q: Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026?

Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2026, etapa națională, clasa a VIII-a (Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: ecuația $2 (x^{2} + y^{2}) + x + y = 3 x y$ are patru soluții $(x, y)$ ; $25^{m} - 3^{m} - 2$ este produs de două numere consecutive doar pentru $m = 1$ ; planele sunt perpendiculare exact când $B D = 2 \cdot A^{'} F^{'}$ ; la problema 4 soluțiile sunt numerele raționale dintr-o reuniune de intervale.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană și națională. Etapa națională 2026 pentru clasele V–VIII s-a desfășurat între 30 martie și 3 aprilie 2026, la Drobeta-Turnu Severin (județul Mehedinți); proba scrisă a avut loc pe 31 martie 2026, data din antetul documentelor oficiale. Elevii de clasa a VIII-a calificați de la etapa județeană au primit același subiect: 4 probleme. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 22,5 puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu (total 100).

Cum să folosești pagina: sunt probleme grele, de nivel național — citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–40 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial, așa că vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (22,5 puncte · ecuația de gradul al doilea, discriminant)

Determinați numerele $x \in Q$ și $y \in Z$ care verifică relația

2 (x^{2} + y^{2}) + x + y = 3 x y .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: privim relația ca pe o ecuație de gradul al doilea în necunoscuta $x$ , cu $y$ parametru întreg.

Egalitatea dată se poate scrie ca o ecuație cu coeficienți întregi, în necunoscuta $x$ : $2 x^{2} + (1 - 3 y) x + (2 y^{2} + y) = 0,$ iar discriminantul ecuației este $Δ = (1 - 3 y)^{2} - 8 (2 y^{2} + y) = - 7 y^{2} - 14 y + 1.$ (6 p)
Ecuația are soluții reale dacă și numai dacă $Δ \geq 0$ . Cum $Δ = 8 - 7 (y + 1)^{2}$ , rezultă că $7 (y + 1)^{2} \leq 8$ , de unde, având în vedere că $y \in Z$ , obținem $| y + 1 | \in {0, 1}$ . (6 p)
Pentru ca ecuația să aibă rădăcini raționale, $Δ$ trebuie să fie pătrat perfect. Pentru $y = - 1$ , $Δ = 8$ nu este pătrat perfect; deci $| y + 1 | = 1$ , adică $y \in {- 2, 0}$ și $Δ = 1$ . (3 p)
Pentru $y = - 2$ ecuația devine $2 x^{2} + 7 x + 6 = 0$ , de unde $x \in {- 2, - \frac{3}{2}}$ , iar pentru $y = 0$ obținem $2 x^{2} + x = 0$ , de unde $x \in {- \frac{1}{2}, 0}$ . (6 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Verificare: $x = - \frac{3}{2}$ , $y = - 2$ : $2 (\frac{9}{4} + 4) - \frac{3}{2} - 2$ $= 12, 5 - 3, 5$ $= 9$ și $3 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot (- 2)$ $= 9$ . ✓

Răspuns: patru soluții: $(x, y) \in {(0, 0), (- 2, - 2), (- \frac{3}{2}, - 2), (- \frac{1}{2}, 0)}$ .

Problema 2 (22,5 puncte · pătrate perfecte, încadrare)

Determinați numărul natural $m$ pentru care numărul

A = 25^{m} - 3^{m} - 2

poate fi scris ca produs de două numere întregi consecutive.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: $x (x + 1) = A$ înseamnă $(2 x + 1)^{2} = 4 A + 1$ ; încadrăm $4 A + 1$ între două pătrate perfecte consecutive.

Pentru $m = 0$ , avem $A = - 2$ , care nu poate fi scris ca produs de două numere consecutive (un astfel de produs nu este negativ), deci $m \in N^{*}$ și $A$ $= 25^{m} - 3^{m} - 2 \in N^{*}$ .

Fie $x \in N^{*}$ astfel încât $x (x + 1) = 25^{m} - 3^{m} - 2$ (dacă produsul a două numere întregi consecutive este pozitiv, el se poate scrie și ca produs de două numere naturale consecutive). Obținem $\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 4 (25^{m} - 3^{m} - 2) + 1 \\ (2 x + 1)^{2} & = 4 (25^{m} - 3^{m}) - 7, \end{aligned}$ deci $4 (25^{m} - 3^{m}) - 7$ este pătrat perfect. (6 p)
Pentru orice $m \in N^{*}$ avem $4 (25^{m} - 3^{m}) - 7$ $< 4 \cdot 25^{m}$ $= {(2 \cdot 5^{m})}^{2}$ . (3 p)
Arătăm că $4 (25^{m} - 3^{m}) - 7$ $> {(2 \cdot 5^{m} - 2)}^{2}$ $= 4 \cdot 25^{m} - 8 \cdot 5^{m} + 4$ , inegalitate echivalentă cu $4 \cdot 3^{m} + 11$ $< 8 \cdot 5^{m}$ , care este evident adevărată, deoarece $4 \cdot 3^{m}$ $< 4 \cdot 5^{m}$ și $11 < 4 \cdot 5^{m}$ pentru orice $m \in N^{*}$ . (3 p)
Deci ${(2 \cdot 5^{m} - 2)}^{2}$ $< 4 \cdot 25^{m} - 4 \cdot 3^{m} - 7$ $< {(2 \cdot 5^{m})}^{2}$ , iar cum numărul din mijloc este pătrat perfect, el este pătratul singurului număr dintre $2 \cdot 5^{m} - 2$ și $2 \cdot 5^{m}$ : $\begin{aligned} 4 \cdot 25^{m} - 4 \cdot 3^{m} - 7 & = {(2 \cdot 5^{m} - 1)}^{2} = 4 \cdot 25^{m} - 4 \cdot 5^{m} + 1 \\ ⟺ 5^{m} - 3^{m} = 2. \end{aligned}$ (3 p)
Pentru $m \geq 2$ avem $5^{m} - 3^{m}$ $= (5 - 3) (5^{m - 1} + 5^{m - 2} \cdot 3 + \dots + 3^{m - 1})$ $\geq 2 (5^{m - 1} + 3^{m - 1})$ $> 2$ , deci nu avem soluție. (3 p)
Pentru $m = 1$ obținem $A$ $= 25 - 3 - 2$ $= 20$ $= 4 \cdot 5$ , deci problema are unica soluție $m = 1$ . (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Răspuns: $m = 1$ ( $A = 20 = 4 \cdot 5$ ).

Problema 3 (22,5 puncte · plane perpendiculare, prisma regulată)

Se consideră prisma triunghiulară regulată $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ , $P$ mijlocul muchiei $C C^{'}$ și punctele $D$ pe muchia $B C$ , respectiv $F^{'}$ pe muchia $A^{'} B^{'}$ .

Demonstrați că planele $(D P F^{'})$ și $(A B B^{'})$ sunt perpendiculare dacă și numai dacă $B D = 2 \cdot A^{'} F^{'}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm $α = (D P F^{'})$ , ${D^{'}} = D P \cap B^{'} C^{'}$ , ${E^{'}} = D^{'} F^{'} \cap A^{'} C^{'}$ și $d = α \cap (A B C)$ ; atunci $D^{'}, E^{'} \in α$ , $d \subset α$ ; $D^{'}, E^{'} \in (A^{'} B^{'} C^{'})$ și $d \subset (A B C)$ . Notăm $A^{'} F^{'} = x$ și $A B = a$ .

(⇒) Presupunem că $α ⊥ (A B B^{'})$ . Întrucât $(A^{'} B^{'} C^{'}) ∥ (A B C)$ , $α \cap (A^{'} B^{'} C^{'})$ $= E^{'} F^{'}$ și $α \cap (A B C) = d$ , rezultă $E^{'} F^{'} ∥ d$ . (1)

Pe de altă parte, $α ⊥ (A B B^{'})$ , $(A B C) ⊥ (A B B^{'})$ și $α \cap (A B C) = d$ , prin urmare $d ⊥ (A B B^{'})$ , iar din (1) obținem $E^{'} F^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$ . (6 p)

Triunghiul $F^{'} B^{'} D^{'}$ este dreptunghic în $F^{'}$ , cu $∠ F^{'} B^{'} D^{'} = 60^{\circ}$ (unghi al triunghiului echilateral $A^{'} B^{'} C^{'}$ ), deci este de tipul $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ și $B^{'} D^{'}$ $= 2 \cdot F^{'} B^{'}$ $= 2 (a - x)$ . Atunci $C^{'} D^{'}$ $= B^{'} D^{'} - B^{'} C^{'}$ $= 2 (a - x) - a$ $= a - 2 x$ . Cum $△ C^{'} P D^{'} \equiv △ C P D$ (cazul C.U.: $P C^{'} = P C$ , unghiuri drepte în $C^{'}$ și $C$ , unghiuri opuse la vârf în $P$ ), rezultă $D C = D^{'} C^{'} = a - 2 x$ , de unde $B D = a - (a - 2 x) = 2 x$ , adică $B D = 2 \cdot A^{'} F^{'}$ . (6 p)

(⇐) Presupunem că $A^{'} F^{'} = x$ și $B D = 2 x$ , unde $0 < x < \frac{a}{2}$ . Fie $D^{'} F^{″} ⊥ A^{'} B^{'}$ , $F^{″} \in A^{'} B^{'}$ , și ${E^{″}} = D^{'} F^{″} \cap A^{'} C^{'}$ .

Din congruența triunghiurilor $C^{'} P D^{'}$ și $C P D$ avem $D C = C^{'} D^{'} = a - 2 x$ , deci $B^{'} D^{'}$ $= B^{'} C^{'} + C^{'} D^{'}$ $= 2 a - 2 x$ , de unde $B^{'} F^{″} = a - x$ (triunghiul $F^{″} B^{'} D^{'}$ este de tipul $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ ). Atunci $A^{'} F^{″} = x = A^{'} F^{'}$ , prin urmare $F^{″} = F^{'}$ , iar dreptele $D^{'} F^{″}$ și $D^{'} F^{'}$ coincid. În acest caz $D^{'} F^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$ și $E^{″} = E^{'}$ . (6 p)

Avem $E^{'} F^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$ , $E^{'} F^{'} ⊥ A^{'} A$ (muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei), $A^{'} B^{'} \cap A^{'} A = {A^{'}}$ , deci $E^{'} F^{'} ⊥ (A B B^{'})$ și, cum $E^{'} F^{'} \subset α$ $= (D P F^{'})$ , rezultă $(D P F^{'}) ⊥ (A B B^{'})$ . (3 p)

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Notă: în baremul oficial, la calculul lui $C^{'} D^{'}$ , apare o literă „A” scăpată la tipărire („ $C^{'} D^{'}$ $= B^{'} D^{'} - B^{'} C^{'}$ $= A$ $= 2 (a - x) - a$ ”); calculul corect este cel de mai sus, $C^{'} D^{'}$ $= 2 (a - x) - a$ $= a - 2 x$ .

Problema 4 (22,5 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Determinați numerele reale $x$ pentru care există $a, b \in N$ astfel încât $x$ $= [\frac{a}{b}] + {\frac{b}{a}}$ .

(Notațiile $[x]$ și ${x}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară, a numărului real $x$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Evident, se impune ca $a, b \in N^{*}$ (altfel una dintre fracții nu există). Atunci, dacă $x$ $= [\frac{a}{b}] + {\frac{b}{a}}$ , avem $[x]$ $= [\frac{a}{b}] \in N$ și ${x}$ $= {\frac{b}{a}} \in Q \cap [0, 1)$ , deci $x \in [0, \infty) \cap Q$ . (3 p)

Cazul $[x] = 0$ . Pentru $x = 0$ avem scrierea $x$ $= [\frac{1}{2}] + {\frac{2}{1}}$ . Dacă $x < 1$ , atunci $[\frac{a}{b}]$ $= 0$ , de unde $a < b$ , deci $x$ $= {\frac{b}{a}}$ . Cum orice număr rațional $x \in (0, 1)$ se scrie sub forma $x = \frac{p}{q}$ , unde $0 < p < q$ , $p$ și $q$ numere naturale nenule, alegând $a = q$ și $b = p + q$ avem $a < b$ și ${\frac{b}{a}}$ $= {\frac{p + q}{q}}$ $= {\frac{p}{q}}$ $= x$ . Deducem că toate numerele $x \in [0, 1) \cap Q$ verifică. (6 p)

Cazul $[x] = k \geq 1$ . Atunci $[\frac{a}{b}]$ $= k$ , deci $k$ $\leq \frac{a}{b}$ $< k + 1$ și $\frac{1}{k + 1}$ $< \frac{b}{a}$ $\leq \frac{1}{k}$ .

Dacă $b = a$ , avem $k = 1$ și $x = 1 + 0 = 1$ .
Dacă $b \neq a$ , din $\frac{b}{a}$ $\leq \frac{1}{k}$ $\leq 1$ avem $b < a$ . Atunci ${x}$ $= {\frac{b}{a}}$ $= \frac{b}{a}$ , deci ${x} \in (\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ pentru $k \geq 2$ , respectiv ${x} \in (\frac{1}{2}, 1)$ pentru $k = 1$ . (6 p)

Reciproc, pentru orice număr rațional $r \in (\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ există o scriere $r = \frac{b}{a}$ , cu $a, b \in N^{*}$ , iar pentru aceasta $\frac{a}{b} \in [k, k + 1)$ , deci $[\frac{a}{b}]$ $= k$ . Așadar toate numerele de forma $k + r$ , cu $r \in (\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}] \cap Q$ , verifică. În mod excepțional, pentru $k = 1$ , dacă $a = b$ avem soluția $x = 1$ , altfel $r \in (\frac{1}{2}, 1) \cap Q$ . (6 p)

În concluzie, soluțiile problemei sunt numerele raționale din mulțimea

[0, 1] \cup (\frac{3}{2}, 2) \cup ⋃_{k \geq 2} (k + \frac{1}{k + 1}, k + \frac{1}{k}] .

Redactarea completă a soluției (finalizare): (1,5 p)

Exemple: $x = \frac{7}{4}$ : $a = 4$ , $b = 3$ dă $[\frac{4}{3}] + {\frac{3}{4}}$ $= 1 + \frac{3}{4}$ ✓; $x = \frac{5}{4}$ nu se poate obține ( $\frac{1}{4} \notin (\frac{1}{2}, 1)$ ).

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$(0, 0), (- 2, - 2), (- \frac{3}{2}, - 2), (- \frac{1}{2}, 0)$
2	$m = 1$
3	demonstrație (ambele implicații)
4	numerele raționale din $[0, 1] \cup (\frac{3}{2}, 2) \cup ⋃_{k \geq 2} (k + \frac{1}{k + 1}, k + \frac{1}{k}]$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Ecuația de gradul al doilea, discriminant	fișă ecuația de gradul 2
2	Pătrate perfecte, formule de calcul prescurtat	fișă formule de calcul prescurtat
3	Plane perpendiculare, prisma regulată	fișă perpendicularitate în spațiu · fișă prisma regulată
4	Partea întreagă și partea fracționară, intervale	fișă intervale și inecuații

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VIII-a? Patru probleme: o ecuație cu $x$ rațional și $y$ întreg, numărul $25^{m} - 3^{m} - 2$ scris ca produs de două numere consecutive, o problemă de plane perpendiculare într-o prismă triunghiulară regulată și o problemă cu partea întreagă și partea fracționară.

Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2026? Subiectul are 4 probleme. Conform baremului oficial din 2026, fiecare problemă valorează 22,5 puncte și se acordă 10 puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 100. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2026? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale SSMR, publicate pe site-ul SSMR (ssmr.ro) după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2026 — clasa a V-a · clasa a VI-a · clasa a VII-a; aceeași clasă, etapa județeană: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VIII-a; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 8-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Drobeta-Turnu Severin, 31 martie 2026): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa națională, clasa a VIII-a — subiecte și soluții

Problema 1 (22,5 puncte · ecuația de gradul al doilea, discriminant)

Problema 2 (22,5 puncte · pătrate perfecte, încadrare)

Problema 3 (22,5 puncte · plane perpendiculare, prisma regulată)

Problema 4 (22,5 puncte · partea întreagă și partea fracționară)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe