Olimpiada de matematică 2025 națională, clasa a XII-a

Q: Ce probleme s-au dat la etapa națională a olimpiadei de matematică 2025, clasa a XII-a?

Patru probleme: inele cu proprietatea x + x^4 = x² + x³, inegalitatea ∈t_0^1 (xf'(x))² dx ≥ 12≤ft(∈t_0^1 xf(x) dx)², o problemă cu primitive și polinoame cu toate rădăcinile reale și un polinom asociat unui corp finit cu kp + 1 elemente.

Q: Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2025?

Conform baremelor oficiale, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Baremul împarte cele 7 puncte pe pașii importanți ai soluției, așa că se punctează și rezolvările parțiale; orice soluție corectă diferită de cea din barem primește punctajul maxim.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2025?

Soluțiile și baremele de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2025, etapa națională, clasa a XII-a (Botoșani, 2 aprilie 2025), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: problema 1 este despre inele cu $x + x^{4} = x^{2} + x^{3}$ (exemplu: $Z_{3} \times Z_{3}$ ); problema 2 este o inegalitate integrală demonstrată cu Cauchy–Buniakowski–Schwarz; problema 3 folosește primitive și monotonie; problema 4 este despre corpuri finite.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională din 2025, desfășurată la Botoșani, elevii de clasa a XII-a calificați de la etapa județeană au primit pe 2 aprilie 2025 același subiect: 4 probleme. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Problemele sunt mult mai grele decât la etapa județeană: aici se acordă premiile naționale, iar cei mai buni elevi sunt invitați la barajele pentru loturile României.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–45 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · inele, elemente inversabile)

Spunem că inelul $(A, +, \cdot)$ are proprietatea (P) dacă:

(P) mulțimea $A$ are cel puțin 4 elemente; elementul $1 + 1 \in A$ este inversabil; $x + x^{4} = x^{2} + x^{3}$ , pentru orice $x \in A$ .

a) Demonstrați că dacă un inel $(A, +, \cdot)$ are proprietatea (P), iar $a, b \in A$ sunt elemente distincte, astfel încât $a$ și $a + b$ sunt inversabile, atunci $b$ nu este inversabil, iar $1 + a b$ este inversabil.
b) Dați un exemplu de inel care are proprietatea (P).

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $U (A)$ mulțimea elementelor inversabile din inelul $A$ . Pentru orice $k \in N$ , $k \geq 2$ , și $x \in A$ , notăm $k x = x + x + \dots + x$ ( $k$ termeni). În particular, notăm $k \cdot 1 = k$ . Conform ipotezei, $2 \in U (A)$ . De asemenea, notăm cu (1) egalitatea din ipoteză $x + x^{4} = x^{2} + x^{3}$ pentru orice $x \in A$ . Substituind $x$ cu $- x$ în (1) obținem

- x + x^{4} = x^{2} - x^{3}, pentru orice x \in A . (2)

Scăzând relațiile (1) și (2) obținem atunci $2 x = 2 x^{3}$ , de unde, cum $2 \in U (A)$ , obținem

x = x^{3}, pentru orice x \in A . (3)

(1 p)

Pentru $x \in U (A)$ , înmulțind (3) cu $x^{- 1}$ obținem

x^{2} = 1, pentru orice x \in U (A) . (4)

Ca mulțime a elementelor inversabile în monoidul $(A, \cdot)$ , $U (A)$ este un grup. Un grup în care $x^{2} = 1$ pentru orice element este comutativ, astfel că $(U (A), \cdot)$ este comutativ. (1 p)

Relația (4) ne dă pentru $x = 2 \in U (A)$ că $4 = 1$ , deci $3 = 0$ , astfel că inelul $A$ are caracteristica 3. (1 p)

a) Fie $a, b \in A$ , cu proprietatea că $a \neq b$ și $a, a + b \in U (A)$ . Dacă presupunem că $b \in U (A)$ , atunci (elementele $a, b$ comută)

2 a b = (a + b)^{2} - a^{2} - b^{2} = 1 - 1 - 1 = - 1 = 2,

astfel că $a b = 1 = a^{2}$ și înmulțind cu inversul elementului $a$ am obține $a = b$ , contrazicând ipoteza că $a \neq b$ . Prin urmare, $b \notin U (A)$ . (1 p)

De asemenea,

1 + a b = a^{2} + a b = a (a + b) \in U (A),

ca produs de elemente inversabile. (1 p)

b) Fie $A$ $= Z_{3} \times Z_{3}$ , cu adunarea și înmulțirea definite pe componente: $(a, b) + (c, d)$ $= (a + c, b + d)$ , $(a, b) \cdot (c, d)$ $= (a \cdot c, b \cdot d)$ , pentru orice $a, b, c, d \in Z_{3}$ . $A$ este atunci un inel cu 9 elemente, cu elementul unitate $1 = (\hat{1}, \hat{1})$ , și cu $1 + 1$ $= (\hat{2}, \hat{2}) \in U (A)$ . De asemenea, $x^{3} = x$ pentru orice $x \in A$ , astfel că $x^{4} = x^{2}$ și $x + x^{4} = x^{2} + x^{3}$ pentru orice $x \in A$ . Inelul $A$ are deci proprietatea (P). (2 p)

Notă matepenet: în barem, la obținerea relației (4) este trimisă relația (2); de fapt se înmulțește relația (3), $x = x^{3}$ , cu $x^{- 1}$ .

Problema 2 (7 puncte · integrale, inegalitatea Cauchy–Buniakowski–Schwarz)

Fie $f : [0, 1] \to R$ o funcție derivabilă, cu derivata o funcție integrabilă pe $[0, 1]$ și $f (1) = 0$ . Arătați că

\int_{0}^{1} {(x f^{'} (x))}^{2} d x \geq 12 \cdot {(\int_{0}^{1} x f (x) d x)}^{2} .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $g : [0, 1] \to R$ funcția definită prin $g (x) = x f (x)$ pentru orice $x \in [0, 1]$ . Avem atunci că $g (0) = 0 = g (1)$ și $g^{'} (x) = f (x) + x f^{'} (x)$ , astfel că

\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^{2} {(f^{'} (x))}^{2} d x & = \int_{0}^{1} {(g^{'} (x) - f (x))}^{2} d x \\ = \int_{0}^{1} {(g^{'} (x))}^{2} d x - 2 \int_{0}^{1} g^{'} (x) f (x) d x \\ + \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x \\ = \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + \int_{0}^{1} {(g^{'} (x))}^{2} d x \\ - 2 (f (1) g (1) - f (0) g (0)) + 2 \int_{0}^{1} g (x) f^{'} (x) d x \\ = \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + \int_{0}^{1} {(g^{'} (x))}^{2} d x \\ + \int_{0}^{1} x \cdot {(f^{2} (x))}^{'} d x \\ = \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + \int_{0}^{1} {(g^{'} (x))}^{2} d x \\ + (1 \cdot f^{2} (1) - 0 \cdot f^{2} (0)) - \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x \\ = \int_{0}^{1} {(g^{'} (x))}^{2} d x . \end{aligned}

(3 p)

Cu varianta integrală a inegalității Cauchy–Buniakowski–Schwarz avem atunci

\begin{aligned} {(\int_{0}^{1} (2 x - 1) \cdot g^{'} (x) d x)}^{2} & \leq \int_{0}^{1} (2 x - 1)^{2} d x \cdot \int_{0}^{1} {(g^{'} (x))}^{2} d x \\ = \frac{1}{6} ((2 \cdot 1 - 1)^{3} - (2 \cdot 0 - 1)^{3}) \cdot \int_{0}^{1} x^{2} {(f^{'} (x))}^{2} d x \\ = \frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} {(f^{'} (x))}^{2} d x . \end{aligned}

(2 p)

Rezultă atunci (integrând prin părți) că

\begin{aligned} \int_{0}^{1} {(x f^{'} (x))}^{2} d x & \geq 3 \cdot {(\int_{0}^{1} (2 x - 1) \cdot g^{'} (x) d x)}^{2} \\ = 3 \cdot {((2 \cdot 1 - 1) g (1) - (2 \cdot 0 - 1) g (0) - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x)}^{2} \\ = 12 \cdot {(\int_{0}^{1} x f (x) d x)}^{2}, \end{aligned}

ceea ce trebuia arătat. (2 p)

Problema 3 (7 puncte · primitive, monotonie, polinoame)

a) Fie $a \in R$ și $f : R \to R$ o funcție continuă pe $R$ , care admite o primitivă $F : R \to R$ , pentru care $F (x) + a \cdot f (x) \geq 0$ oricare ar fi $x \in R$ și $lim_{| x | \to \infty} \frac{F (x)}{e^{| α \cdot x |}}$ $= 0$ pentru orice $α \in R^{*}$ . Arătați că $F (x) \geq 0$ pentru orice $x \in R$ .

b) Fie $n \in N ∖ {0, 1}$ , $g$ $= X^{n} + a_{1} X^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} X + a_{n} \in R [X]$ un polinom cu toate rădăcinile reale și $f : R \to R$ o funcție polinomială cu proprietatea că $f (x) + a_{1} \cdot f^{'} (x) + a_{2} \cdot f^{(2)} (x) + \dots + a_{n} \cdot f^{(n)} (x)$ $\geq 0$ pentru orice $x \in R$ . Arătați că $f (x) \geq 0$ pentru orice $x \in R$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Pentru $a = 0$ afirmația este evident adevărată. Considerăm în continuare $a \neq 0$ și fie $g : R \to R$ funcția definită prin $g (x)$ $= F (x) \cdot e^{\frac{x}{a}}$ . Funcția $g$ este derivabilă, ca produs de funcții derivabile, cu

g^{'} (x) = f (x) \cdot e^{\frac{x}{a}} + \frac{1}{a} \cdot F (x) \cdot e^{\frac{x}{a}} = \frac{1}{a} \cdot e^{\frac{x}{a}} \cdot (F (x) + a \cdot f (x)) .

Pentru $a > 0$ rezultă că $g^{'} (x) \geq 0$ pentru orice $x \in R$ , astfel că funcția $g$ este crescătoare. Cum $lim_{x \to - \infty} g (x)$ $= lim_{x \to - \infty} F (x) \cdot e^{\frac{x}{a}}$ $= 0$ , rezultă că $g (x) \geq 0$ pentru orice $x \in R$ , astfel că $F (x)$ $= g (x) \cdot e^{- \frac{x}{a}}$ $\geq 0$ pentru orice $x \in R$ .

Pentru $a < 0$ , $g^{'} (x) \leq 0$ pentru orice $x \in R$ , astfel că funcția $g$ este descrescătoare, iar cum $lim_{x \to \infty} g (x)$ $= lim_{x \to \infty} F (x) \cdot e^{\frac{x}{a}}$ $= 0$ , rezultă că $g (x) \geq 0$ pentru orice $x \in R$ , deci $F (x)$ $= g (x) \cdot e^{- \frac{x}{a}}$ $\geq 0$ pentru orice $x \in R$ . (3 p)

b) Fie $P$ mulțimea funcțiilor polinomiale $f : R \to R$ . Pentru fiecare număr real $a$ considerăm funcția $T_{a} : P \to P$ , definită prin $T_{a} (f) = f + a \cdot f^{'}$ , adică $T_{a} (f) (x)$ $= f (x) + a \cdot f^{'} (x)$ pentru orice $x \in R$ . Deoarece pentru orice $f \in P$ și orice $α \in R^{*}$ avem $lim_{| x | \to \infty} \frac{f (x)}{e^{| α \cdot x |}}$ $= 0$ , atunci, conform punctului a) (aplicat cu $F = f$ ), pentru orice număr real $a$ are loc implicația

T_{a} (f) (x) \geq 0, \forall x \in R ⟹ f (x) \geq 0, \forall x \in R .

Fie $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ rădăcinile polinomului $g$ , iar $s_{k} = - r_{k}$ pentru $k \in {1, 2, \dots, n}$ opusele lor, astfel că

g = (X - r_{1}) (X - r_{2}) \dots (X - r_{n}) = (X + s_{1}) (X + s_{2}) \dots (X + s_{n}) .

(1 p)

Cu relațiile lui Viète avem atunci expresiile coeficienților polinomului $g$ :

a_{k} = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} s_{i_{1}} s_{i_{2}} \dots s_{i_{k}}, pentru orice k \in {1, 2, \dots, n} .

Pentru orice $m \in {1, 2, \dots, n}$ și orice funcție $f \in P$ avem

(T_{s_{m}} \circ \dots \circ T_{s_{2}} \circ T_{s_{1}}) (f) = \sum_{J \subseteq {1, 2, \dots, m}} (\prod_{j \in J} s_{j}) f^{(| J |)}, (Q (m))

adică $f + (\sum s_{i}) f^{'} + (\sum_{i_{1} < i_{2}} s_{i_{1}} s_{i_{2}}) f^{″} + \dots + (s_{1} s_{2} \dots s_{m}) f^{(m)}$ . Afirmația $Q (m)$ rezultă prin inducție după $m$ : pentru $m = 1$ avem $T_{s_{1}} (f)$ $= f + s_{1} \cdot f^{'}$ . Presupunând $Q (m)$ adevărată pentru un $m \in {1, 2, \dots, n - 1}$ , avem

\begin{aligned} (T_{s_{m + 1}} \circ T_{s_{m}} \circ \dots \circ T_{s_{1}}) (f) & = T_{s_{m + 1}} (\sum_{J \subseteq {1, \dots, m}} (\prod_{j \in J} s_{j}) f^{(| J |)}) \\ = \sum_{J \subseteq {1, \dots, m}} (\prod_{j \in J} s_{j}) f^{(| J |)} + s_{m + 1} {(\sum_{J \subseteq {1, \dots, m}} (\prod_{j \in J} s_{j}) f^{(| J |)})}^{'} \\ = \sum_{J_{1} \subseteq {1, \dots, m + 1}} (\prod_{j \in J_{1}} s_{j}) f^{(| J_{1} |)}, \end{aligned}

deci $Q (m + 1)$ este de asemenea adevărată. Prin urmare, $Q (m)$ este adevărată pentru orice $m \in {1, 2, \dots, n}$ . (1 p)

Din $Q (n)$ avem

(T_{s_{n}} \circ \dots \circ T_{s_{1}}) (f) = f + a_{1} \cdot f^{'} + a_{2} \cdot f^{″} + \dots + a_{n} \cdot f^{(n)} .

Conform ipotezei, $(T_{s_{n}} \circ \dots \circ T_{s_{1}}) (f) (x)$ $\geq 0$ pentru orice $x \in R$ . Aplicând succesiv proprietatea de la a) (funcțiile $(T_{s_{m}} \circ \dots \circ T_{s_{1}}) (f)$ sunt polinomiale), obținem că pentru orice $m \in {1, 2, \dots, n}$ , $(T_{s_{m}} \circ \dots \circ T_{s_{1}}) (f) (x)$ $\geq 0$ pentru orice $x \in R$ . În particular, obținem $f (x) \geq 0$ pentru orice $x \in R$ . (2 p)

Problema 4 (7 puncte · corpuri finite, polinoame, grupuri ciclice)

Fie $p$ un număr prim, $p \geq 3$ , iar $k$ un număr impar nedivizibil cu $p$ . Fie $K$ un corp finit cu $k p + 1$ elemente și $A$ $= {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{t}}$ mulțimea elementelor din $K^{*} = K ∖ {0}$ care nu au ordinul $k$ în grupul multiplicativ $(K^{*}, \cdot)$ . Arătați că polinomul $P (X)$ $= (X + x_{1}) (X + x_{2}) \dots (X + x_{t})$ are cel puțin $p$ coeficienți egali cu 1.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Deoarece $k$ și $p$ sunt impare, $| K | = k p + 1$ este par, deci o putere a lui 2, iar caracteristica corpului $K$ este 2. Rezultă atunci că $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{t}$ sunt rădăcinile polinomului $P$ (căci $- x_{i} = x_{i}$ ). Fie $P = \sum_{j = 0}^{t} a_{j} X^{j}$ .

Grupul multiplicativ $(K^{*}, \cdot)$ este ciclic de ordin $k p$ ; fie $a \in K^{*}$ un generator al grupului. Pentru orice $s \in {1, 2, \dots, k p}$ cu $(s, k p) = 1$ avem atunci

ord (a^{s}) = ord (a) = k p . (1)

În particular, pentru orice $i \in {1, 2, \dots, p - 1}$ avem că $(i k + p, k) = (p, k) = 1$ și $(i k + p, p) = (i k, p) = 1$ , astfel că $(i k + p, k p) = 1$ și $ord (a^{i k + p})$ $= k p$ . Rezultă că

P (a^{i k + p}) = 0, pentru orice i \in {1, 2, \dots, p - 1} . (2)

(1 p)

Pentru $r \in {0, 1, \dots, p - 1}$ considerăm suma $A_{r}$ $= \sum_{i = 0}^{p - 1} a^{- i r k} P (a^{i k + p})$ . Ținând cont de (2), rezultă că $A_{r} = P (a^{p})$ și, cum $ord (a^{p})$ $= k$ , $a^{p}$ nu este rădăcină a lui $P$ , deci $A_{r} \neq 0$ . (3) (1 p)

De asemenea,

A_{r} = \sum_{i = 0}^{p - 1} a^{- i r k} P (a^{i k + p}) = \sum_{i = 0}^{p - 1} a^{- i r k} \sum_{j = 0}^{t} a_{j} a^{i k j + p j} = \sum_{j = 0}^{t} a_{j} a^{p j} \sum_{i = 0}^{p - 1} a^{k (j - r) i} .

Deoarece ( $a^{k}$ are ordinul $p$ )

\sum_{i = 0}^{p - 1} a^{k m i} = {\begin{cases} p, & dacă p ∣ m; \\ 0, & dacă p ∤ m, \end{cases}

obținem

A_{r} = \sum_{j = 0}^{t} a_{j} a^{p j} \sum_{i = 0}^{p - 1} a^{k (j - r) i} = p \cdot \sum_{j = 0}^{⌊ \frac{t - r}{p} ⌋} a_{p j + r} a^{p (p j + r)} .

Cum $A_{r} \neq 0$ , cel puțin unul dintre coeficienții $a_{r}, a_{p + r}, a_{2 p + r}, \dots$ este nenul. Pentru fiecare $r \in {0, 1, \dots, p - 1}$ există cel puțin un coeficient nenul de forma $a_{p j + r}$ . (2 p)

Pentru fiecare divizor $d ∣ k p$ considerăm mulțimea $U_{d}$ $= {x \in K^{*} ∣ ord (x) = d}$ a elementelor de ordin $d$ din grupul multiplicativ $(K^{*}, \cdot)$ și polinomul

Q_{d} = \prod_{x \in U_{d}} (X + x) .

Fie $K_{2} = {0, 1}$ subcorpul prim al corpului $K$ și $1$ $= d_{1}$ $< d_{2}$ $< \dots$ $< d_{n}$ $= k p$ divizorii lui $k p$ . Cum $Q_{1} = X + 1 \in K_{2} [X]$ și

Q_{d_{i}} = (X^{d_{i}} + 1) \cdot {(\prod_{d_{j} ∣ d_{i}, d_{j} \neq d_{i}} Q_{d_{j}})}^{- 1} \in K_{2} [X],

rezultă (prin inducție) că toate polinoamele $Q_{d_{i}} \in K_{2} [X]$ au toți coeficienții 0 sau 1. (2 p)

Dar atunci $P$ $= (X^{k p} + 1) \cdot Q_{k}^{- 1} \in K_{2} [X]$ are toți coeficienții 0 sau 1, dintre care cel puțin $p$ sunt nenuli (câte unul pentru fiecare rest $r$ ), deci egali cu 1. Aceasta demonstrează afirmația problemei. (1 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) demonstrație ( $x = x^{3}$ , caracteristica 3); b) $Z_{3} \times Z_{3}$
2	demonstrație: $\int_{0}^{1} x^{2} (f^{'})^{2} = \int_{0}^{1} (g^{'})^{2}$ , cu $g (x) = x f (x)$ , apoi CBS cu $2 x - 1$
3	a) $g (x) = F (x) e^{x / a}$ monotonă; b) $g = (X + s_{1}) \dots (X + s_{n})$ , operatorii $T_{s} (f) = f + s f^{'}$
4	demonstrație (coeficienți în ${0, 1}$ , cel puțin unul nenul pentru fiecare rest modulo $p$ )

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Structuri algebrice: inele, grupul elementelor inversabile
2	Integrala definită, integrare prin părți, inegalitatea CBS
3	Primitive, monotonie, polinoame cu rădăcini reale
4	Corpuri finite, grupuri ciclice, polinoame

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la etapa națională a olimpiadei de matematică 2025, clasa a XII-a? Patru probleme: inele cu proprietatea $x + x^{4} = x^{2} + x^{3}$ , inegalitatea $\int_{0}^{1} (x f^{'} (x))^{2} d x \geq 12 {(\int_{0}^{1} x f (x) d x)}^{2}$ , o problemă cu primitive și polinoame cu toate rădăcinile reale și un polinom asociat unui corp finit cu $k p + 1$ elemente.

Cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa națională 2025? Conform baremelor oficiale, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Baremul împarte cele 7 puncte pe pașii importanți ai soluției, așa că se punctează și rezolvările parțiale; orice soluție corectă diferită de cea din barem primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2025? Soluțiile și baremele de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2025, liceu — clasa a IX-a · clasa a X-a · clasa a XI-a; aceeași clasă la etapa județeană: olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a XII-a; alte concursuri: concursuri școlare de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației și Cercetării / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Botoșani, 2 aprilie 2025): enunțurile, soluțiile și baremul (ssmr.ro). Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2025, etapa națională — clasa a XII-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · inele, elemente inversabile)

Problema 2 (7 puncte · integrale, inegalitatea Cauchy–Buniakowski–Schwarz)

Problema 3 (7 puncte · primitive, monotonie, polinoame)

Problema 4 (7 puncte · corpuri finite, polinoame, grupuri ciclice)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe