Olimpiada de matematică 2026, etapa locală (Cluj) — clasa a V-a, subiecte rezolvate

Ideea: ultima cifră a unei puteri depinde doar de ultima cifră a bazei, iar ultimele cifre ale puterilor se repetă din 4 în 4 (pentru 2, 3, 7, 8) sau din 2 în 2 (pentru 4, 9).

a) Calculăm ultima cifră (notată $U$) a fiecărui termen:

• $U({11}^{12})=1$, $U({15}^{16})=5$, $U({16}^{17})=6$ (puterile lui 1, 5, 6 se termină mereu în 1, 5, 6);
• $U({12}^{13})=U(2^{13})=2$, pentru că $13=4\cdot 3+1$ și ultimele cifre ale puterilor lui 2 sunt 2, 4, 8, 6, 2, …;
• $U({13}^{14})=U(3^{14})=9$, pentru că $14=4\cdot 3+2$ (șirul 3, 9, 7, 1);
• $U({14}^{15})=4$ (exponent impar), $U({19}^{20})=1$ (exponent par);
• $U({17}^{18})=U(7^{18})=9$, pentru că $18=4\cdot 4+2$ (șirul 7, 9, 3, 1);
• $U({18}^{19})=U(8^{19})=2$, pentru că $19=4\cdot 4+3$ (șirul 8, 4, 2, 6).

Deci $U(A)$ $=U(1+2+9+4+5+6+9+2+1)$ $=U(39)$ $=9$. (10 p)

b) Un număr este cu atât mai mic cu cât are mai puține cifre. Fiecare cifră este cel mult 9, deci, ca să avem cât mai puține cifre, trebuie să folosim cât mai multe cifre de 9. (5 p)

Deoarece $2026=9\cdot 225+1$, numărul trebuie să aibă 225 de cifre egale cu 9 și una egală cu 1 (cu 225 de cifre suma ar fi cel mult $9\cdot 225=2025$, prea puțin, deci sunt necesare 226 de cifre). (5 p)

Dintre numerele cu aceste cifre, cel mai mic este cel care începe cu cifra mai mică, 1. Numărul căutat este $$1\underset{225\text{ de cifre}}{\underbrace{99\dots 9}}.$$ (5 p)

Răspuns: a) ultima cifră a lui $A$ este 9; b) numărul format din cifra 1 urmată de 225 de cifre 9.

a) Cum $111=3\cdot 37$ și $6^6=(6^2{)}^3$, avem $$b=(6^6{)}^{37}:4^{111}={[(6^2{)}^3]}^{37}:4^{111}={36}^{111}:4^{111}=9^{111}.$$ (5 p)

Atunci $b$ $=9^{111}$ $=(3^2{)}^{111}$ $=(3^{111}{)}^2$, deci $b$ este pătrat perfect. (2 p)

b) Produsul $a$ îl conține pe factorul 5, iar $2026=5\cdot 405+1$. Atunci $$N=5\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2026)+5\cdot 405+1,$$ (3 p)

adică $N$ $=5\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2026+405)+1$: câtul este suma din paranteză, iar restul este 1. (2 p)

Deci restul împărțirii lui $N$ la 5 este 1. (1 p)

c) Lucrăm cu ultima cifră:

• $a$ conține factorii 2 și 5, deci se divide cu 10: $U(a)=0$; (3 p)
• $U(b)=U(9^{111})=9$ (puterile impare ale lui 9 se termină în 9); (3 p)
• $U(2^{2026})=4$, pentru că $2026=4\cdot 506+2$ și ultimele cifre ale puterilor lui 2 se repetă: 2, 4, 8, 6. (3 p)

Atunci $U(M)=U(0+9+4)=3$. Un pătrat perfect se termină doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9, niciodată în 3, deci $M$ nu este pătrat perfect. (3 p)

Răspuns: a) $b=(3^{111}{)}^2$; b) restul este 1; c) $M$ se termină în 3, deci nu este pătrat perfect.

Ideea: cele trei rezultate egale sunt „unitatea” desenului: o treime din bluză = o jumătate din fular = o șesime din vestă = un segment.

1. Reprezentăm cu un segment o treime din prețul bluzei, jumătate din prețul fularului și o șesime din prețul vestei (toate sunt egale). (4 p)
2. Atunci prețul bluzei înseamnă 3 segmente, prețul fularului 2 segmente, iar prețul vestei 6 segmente. (4 p)
3. Prețul celor 3 bluze înseamnă $3\cdot 3=9$ segmente, iar prețul celor 2 fulare $2\cdot 2=4$ segmente. (4 p)
4. Prețul total înseamnă $9+4+6=19$ segmente. (2 p)
5. Un segment este echivalent cu $304:19=16$ lei. (2 p)
6. O bluză are prețul $3\cdot 16=48$ de lei (2 p), un fular are prețul $2\cdot 16=32$ de lei (1 p), iar vesta are prețul $6\cdot 16=96$ de lei. (1 p)

Verificare: $3\cdot 48+2\cdot 32+96$ $=144+64+96$ $=304$ ✓; $48:3$ $=32:2$ $=96:6$ $=16$ ✓.

Răspuns: bluza costă 48 de lei, fularul 32 de lei, iar vesta 96 de lei.

a) Continuăm șirul după regulă (de exemplu $8+9=17$, deci urmează 7; $9+7=16$, urmează 6 etc.): 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, … (3 p)

Al 13-lea și al 14-lea termen sunt din nou 1 și 3, ca primii doi; cum fiecare termen depinde doar de cei doi dinaintea lui, de aici șirul se repetă. Observăm deci că termenii șirului se repetă după termenul al 12-lea (grupe de câte 12 termeni). (3 p)

Suma unei grupe este $$1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2=60.$$ Cum $25=12\cdot 2+1$, primii 25 de termeni înseamnă două grupe complete de câte 12 termeni și încă un termen (egal cu 1). (3 p)

$S_{25}$ $=2\cdot 60+1$ $=121$ $={11}^2$, care este pătrat perfect. (3 p)

b) $2026=60\cdot 33+46$, deci avem 33 de perioade complete, adică $33\cdot 12=396$ de termeni, cu suma $1980$. (3 p)

Restul de 46 se obține adunând primii termeni ai unei noi grupe: $46$ $=1+3+4+7+1+8+9+7+6$, adică 9 termeni. (3 p)

Vom avea $n=396+9=405$ de termeni. (Toți termenii sunt pozitivi, deci sumele cresc și $n$ este unic.) (2 p)

Răspuns: a) $S_{25}=121={11}^2$; b) $n=405$.