Olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a V-a — subiecte și soluții

Răspunsul este da, se poate.

1. Numărăm numerele prime până la 49: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, adică 15 numere. (3 p)
2. Numerotăm liniile și coloanele de la 1 la 7. Pătratele care au ambii indici impari (linia 1, 3, 5 sau 7 și coloana 1, 3, 5 sau 7) sunt $4\cdot 4=16$ și oricare două dintre ele sunt despărțite de cel puțin o linie sau o coloană, deci nu sunt vecine. Punem numerele prime în 15 dintre aceste 16 pătrate, iar celelalte 34 de numere în pătratele rămase libere. (4 p)

Un exemplu complet de aranjare (numerele prime sunt evidențiate):

Răspuns: da, de exemplu punând cele 15 numere prime pe pozițiile cu linia și coloana impare.

Ideea: culorile se repetă din 9 în 9: 2 roșii, 3 galbene, 4 albastre. Numim colorare completă o secvență de 9 numere consecutive colorate astfel.

a) Cum $2025=9\cdot 225$ este multiplu de 9, numerele de la 1 la 2025 formează exact 225 de colorări complete, iar ultimele patru numere (2022, 2023, 2024, 2025) sunt albastre. Deci 2024 este albastru. (3 p)

b)

1. La colorarea completă cu numărul $k+1$ (unde $k$ este număr natural), devin galbene numerele $3+9k$, $4+9k$ și $5+9k$, care au suma $12+27k$. (De exemplu: 3, 4, 5 cu suma 12; apoi 12, 13, 14 cu suma 39; apoi 21, 22, 23 cu suma 66.) Punctajul complet se acordă și dacă această expresie este doar sugerată prin enumerare. (2 p)
2. După 12, respectiv 13 colorări complete, suma numerelor galbene este $$12\cdot 12+27\cdot (0+1+\dots +11)=1926,$$ $$12\cdot 13+27\cdot (0+1+\dots +12)=2262.$$ (1 p)
3. Deci, pentru ca suma numerelor galbene să depășească 2024, trebuie să trecem de 12 colorări complete ($12\cdot 9=108$ numere). Urmează numerele roșii 109 și 110 (suma galbenelor rămâne 1926) și apoi numărul galben 111: suma devine $1926+111=2037>2024$. Așadar $n=111$. (1 p)

Răspuns: a) albastru; b) $n=111$.

a) Considerăm numerele $n=72\cdot a^6$, unde $a$ este număr natural. (1 p)

Atunci $2\cdot n$ $=144\cdot a^6$ $=(12\cdot a^3{)}^2$ este pătrat perfect și $3\cdot n$ $=216\cdot a^6$ $=(6\cdot a^2{)}^3$ este cub perfect. Cum $a$ poate lua o infinitate de valori, obținem o infinitate de numere $n$ care corespund (de exemplu 72, $72\cdot 64=4608$, …). (2 p)

De unde vine 72? Vrem ca $2n$ să fie pătrat și $3n$ să fie cub; încercând $n=2^x\cdot 3^y$, avem nevoie ca $x+1$ și $y$ să fie pare, iar $x$ și $y+1$ să se împartă la 3. Cea mai mică alegere este $x=3$, $y=2$, adică $n=8\cdot 9=72$.

b)

1. Dacă $3\cdot m$ este cub perfect, $3m=c^3$, atunci 3 divide $c^3$, deci 3 divide $c$ și $c^3$ se împarte la 27. Așadar $3\cdot m$ este multiplu de 27. (2 p)
2. În acest caz, $m$ este multiplu de 9, deci $m+2$ dă restul 2 la împărțirea cu 3: $m+2={\mathcal{M}}_3+2$. Dar pătratele perfecte dau la împărțirea cu 3 doar restul 0 sau 1 (sunt de forma ${\mathcal{M}}_3$ sau ${\mathcal{M}}_3+1$), deci $m+2$ nu poate fi pătrat perfect. (2 p)

De ce un pătrat perfect nu dă restul 2 la împărțirea cu 3? Orice număr natural este de forma $3k$, $3k+1$ sau $3k+2$; pătratele lor sunt $9k^2$, $9k^2+6k+1$, respectiv $9k^2+12k+4$ $=3(3k^2+4k+1)+1$, adică dau restul 0, 1 sau 1.

Răspuns: a) de exemplu $n=72\cdot a^6$; b) un astfel de $m$ nu există.

a) Grupăm numerele de la 1 la 6 în trei perechi cu aceeași sumă: $1+6=2+5=3+4=7$. Dacă alegem 5 numere dintre 1, 2, 3, 4, 5, 6, lipsește un singur număr, deci se „strică” o singură pereche; celelalte două perechi rămân întregi și dau 4 numere distincte $a,b,c,d$ cu $a+b=c+d=7$. (2 p)

b)

1. Niciun număr $n\ge 8$ nu este special. Într-adevăr, alegem numerele 1, 2, 3, 5, 8 (toate sunt cel mult $n$). Oricum am lua 4 dintre ele, nu putem forma două sume egale: dacă nu îl alegem pe 8, rămân 1, 2, 3, 5, iar suma care îl conține pe 5 este mai mare: $5+a>b+c$ oricum am lua $a,b,c$ dintre 1, 2, 3; dacă îl alegem pe 8, atunci $8+a>b+c$ oricum am lua $a,b,c$ dintre 1, 2, 3, 5. (2 p)
2. Numărul $n=7$ este special. Alegem 5 numere dintre 1, 2, …, 7, deci lipsesc două.
   • dacă nu îl alegem pe 7, pe 4 sau pe 1, aplicăm raționamentul de la punctul a) pentru sumele $1+6=2+5=3+4$, $1+7=2+6=3+5$, respectiv $2+7=3+6=4+5$ (numărul lipsă 7, 4, respectiv 1 nu apare în cele trei perechi, iar al doilea număr lipsă strică cel mult o pereche, deci rămân două perechi întregi);
   • dacă alegem 1, 4, 7 și două dintre numerele 2, 3, 5, 6, atunci obținem sumele egale $1+4=3+2$, $1+5=2+4$, $1+7=2+6$, $1+7=3+5$, $3+7=4+6$ sau $4+7=5+6$ (pentru fiecare dintre cele 6 alegeri posibile: $\{2,3\}$, $\{2,5\}$, $\{2,6\}$, $\{3,5\}$, $\{3,6\}$, $\{5,6\}$). (2 p)
3. Numărul 5 este, evident, special: singura alegere este 1, 2, 3, 4, 5, iar $1+4=2+3$. Împreună cu punctul a), numerele speciale sunt 5, 6 și 7. (1 p)

Răspuns: a) demonstrație; b) numerele speciale sunt 5, 6 și 7.