Olimpiada de matematică 2024 județeană, clasa a VI-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a VI-a?

Patru probleme: ecuația 2^x - 2^y - 2^z = 1023, fracții de forma (12n + 13)/(13n + 14), perechi de numere ale căror divizori adunați dau numere prime și o problemă de geometrie cu un triunghi cu unghiurile de 54^ și 45^.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2024?

Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare problemă valorează 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2024?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR și preluate de presa de educație. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa județeană, clasa a VI-a (duminică, 10 martie 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $(x, y, z) = (11, 10, 0)$ sau $(11, 0, 10)$ ; există 8 perechi $(a, b)$ ; perechile cu proprietatea P sunt $(1, 1)$ , $(1, 2)$ , $(1, 4)$ ; la geometrie se calculează unghiuri în triunghiuri isoscele.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 10 martie 2024, toți elevii de clasa a VI-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial din 2024, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Pentru calificarea la etapa națională, regulamentul cerea minimum 14 puncte din 28, iar locurile se ocupă în ordinea clasamentului, în limita numărului stabilit de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · puteri, paritate)

Determinați numerele naturale $x, y, z$ pentru care are loc relația

2^{x} - 2^{y} - 2^{z} = 1023.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Dacă presupunem că $x, y, z$ sunt nenule, atunci $2^{x}$ , $2^{y}$ , $2^{z}$ sunt pare, deci membrul stâng al egalității este număr par și nu poate fi egal cu 1023 (impar). Atunci cel puțin unul dintre numerele $x, y, z$ este nul. (2 p)
Cum $2^{x}$ $= 2^{y} + 2^{z} + 1023$ $\geq 1 + 1 + 1023$ $= 1025$ , deducem că $x \geq 11$ ( $2^{10} = 1024$ ). Deci $x \neq 0$ și avem $y = 0$ sau $z = 0$ . (1 p)
Pentru $z = 0$ obținem $2^{x} - 2^{y} = 1024$ , de unde $2^{y} \cdot (2^{x - y} - 1)$ $= 2^{10}$ . (1) (1 p)
Cum $2^{x} - 2^{y} > 0$ , avem $x > y$ , deci $2^{x - y} - 1$ este impar. Singurul divizor impar al lui $2^{10}$ este 1, deci din (1) rezultă $2^{y} = 2^{10}$ și $2^{x - y} - 1 = 1$ , de unde $y = 10$ și $x = 11$ . (2 p)
În mod analog se procedează pentru $y = 0$ , deci soluțiile problemei sunt $x = 11, y = 10, z = 0$ sau $x = 11, y = 0, z = 10$ . (1 p)

Verificare: $2^{11} - 2^{10} - 2^{0}$ $= 2048 - 1024 - 1$ $= 1023$ ✓.

Răspuns: $(x, y, z) \in {(11, 10, 0), (11, 0, 10)}$ .

Problema 2 (7 puncte · numere prime între ele, fracții)

a) Arătați că numerele $12 n + 13$ și $13 n + 14$ sunt prime între ele pentru orice număr natural $n$ .

b) Determinați numărul perechilor $(a, b)$ de numere naturale pentru care există un număr natural $n$ astfel încât $\frac{a}{b}$ $= \frac{12 n + 13}{13 n + 14}$ și $17 a + 19 b < 2024$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Dacă $d$ este un divizor comun al numerelor $12 n + 13$ și $13 n + 14$ , atunci $d$ divide numerele $13 (12 n + 13) = 156 n + 169$ și $12 (13 n + 14) = 156 n + 168$ . (1 p)

Deducem că $d$ divide diferența $13 (12 n + 13) - 12 (13 n + 14)$ $= 1$ , adică $d ∣ 1$ . Așadar $d = 1$ , deci numerele $12 n + 13$ și $13 n + 14$ sunt prime între ele. (1 p)

Relația $\frac{a}{b}$ $= \frac{12 n + 13}{13 n + 14}$ conduce la $a (13 n + 14) = b (12 n + 13)$ , deci $13 n + 14$ divide $b (12 n + 13)$ . Deoarece numerele $12 n + 13$ și $13 n + 14$ sunt prime între ele, rezultă că $13 n + 14$ divide pe $b$ . Cum $b \neq 0$ (fiind numitorul unei fracții), există $k \in N^{*}$ astfel încât $b = k (13 n + 14)$ și atunci $a = k (12 n + 13)$ . (1 p)
Înlocuind în relația $17 a + 19 b < 2024$ obținem $k (17 \cdot 12 n + 17 \cdot 13 + 19 \cdot 13 n + 19 \cdot 14) < 2024,$ adică $k (451 n + 487) < 2024$ . Atunci $451 n + 487 < 2024$ , de unde $n \leq 3$ . (1 p)
Pentru $n = 0$ : $487 k < 2024$ , deci $k \leq 4$ și perechea $(a, b)$ poate fi $(13, 14)$ , $(26, 28)$ , $(39, 42)$ sau $(52, 56)$ . (1 p)
Pentru $n = 1$ : $938 k < 2024$ , deci $k \leq 2$ și $(a, b) \in {(25, 27), (50, 54)}$ . (1 p)
Pentru $n \in {2, 3}$ : $1389 k < 2024$ , respectiv $1840 k < 2024$ , deci $k = 1$ și $(a, b) \in {(37, 40), (49, 53)}$ . (1 p)

Toate cele 8 perechi sunt diferite (fracțiile sunt ireductibile pentru $k = 1$ și diferă între ele), deci numărul cerut este $4 + 2 + 2 = 8$ .

Răspuns: a) demonstrație; b) 8 perechi.

Problema 3 (7 puncte · divizori, numere prime, paritate)

Spunem că numerele naturale nenule $m$ și $n$ au proprietatea $P$ dacă pentru orice divizor $d_{1}$ al lui $m$ și orice divizor $d_{2}$ al lui $n$ , numărul $d_{1} + d_{2}$ este prim.

a) Arătați că dacă $m$ și $n$ au proprietatea $P$ și sunt diferite, atunci numărul $m + n$ este impar.

b) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale, cu $m \leq n$ , care au proprietatea $P$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Analizăm problema pentru $1 \leq m < n$ , cazul $m > n$ tratându-se analog.

Dacă $m$ și $n$ sunt impare, atunci $m \geq 1$ și $n \geq 3$ . Luând $d_{1} = 1$ și $d_{2} = n$ se obține $d_{1} + d_{2} = n + 1$ , care este număr par mai mare sau egal cu 4, deci compus — nu convine. (1 p)
Dacă $m$ și $n$ sunt pare, pentru $d_{1} = 2$ și $d_{2} = 2$ se obține $d_{1} + d_{2} = 4$ , care este număr compus — nu convine. (1 p)

În concluzie, $m$ și $n$ au parități diferite, deci $m + n$ este număr impar.

Dacă $m = n$ , atunci alegând $d_{1} = m$ și $d_{2} = n$ obținem $d_{1} + d_{2} = 2 m$ , care trebuie să fie prim, deci $m = n = 1$ . (1 p)
Dacă $m < n$ , atunci, conform punctului a), $m$ și $n$ au parități diferite. Dacă $m$ este par și $n$ impar, atunci $m \geq 2$ și $n \geq 3$ ; alegând $d_{1} = 1$ și $d_{2} = n$ obținem $d_{1} + d_{2} = n + 1 \geq 4$ , număr par, deci compus — nu convine. (1 p)
Dacă $m$ este impar și $n$ par, atunci $m \geq 1$ , $n \geq 2$ și scriem $n = 2^{a} \cdot b$ , cu $a \in N^{*}$ și $b$ impar. Pentru $a \geq 3$ , 8 divide pe $n$ și, alegând $d_{1} = 1$ și $d_{2} = 8$ , obținem $d_{1} + d_{2} = 9$ , care este compus — nu convine. (1 p)
Pentru $a = 1$ , $n = 2 b$ cu $b$ impar. Dacă $b \geq 3$ , alegem $d_{1} = 1$ și $d_{2} = b$ și obținem $d_{1} + d_{2} = b + 1 \geq 4$ , număr par, deci compus — nu convine. Dacă $b = 1$ , obținem $n = 2$ și, cum $m < n$ și $m$ este impar, $m = 1$ ; soluția $(m, n) = (1, 2)$ verifică proprietatea din enunț ( $1 + 1 = 2$ , $1 + 2 = 3$ ). (1 p)
Pentru $a = 2$ , $n = 4 b$ cu $b$ impar. Dacă $b \geq 3$ , alegem $d_{1} = 1$ și $d_{2} = b$ : $d_{1} + d_{2} = b + 1 \geq 4$ este par, deci compus — nu convine. Dacă $b = 1$ , obținem $n = 4$ și, cum $m < n$ și $m$ este impar, $m \in {1, 3}$ ; doar soluția $(m, n) = (1, 4)$ verifică proprietatea din enunț ( $1 + 1 = 2$ , $1 + 2 = 3$ , $1 + 4 = 5$ ), pentru că la $m = 3$ avem $3 + 1 = 4$ , compus. (1 p)

Răspuns: a) demonstrație; b) $(m, n) \in {(1, 1), (1, 2), (1, 4)}$ .

Problema 4 (7 puncte · triunghiul isoscel, unghiuri)

Se consideră triunghiul $A B C$ cu $∠ B A C = 54^{\circ}$ și $∠ A C B = 45^{\circ}$ . Fie punctele $D$ pe segmentul $B C$ și $E$ pe segmentul $A D$ astfel încât $A D = A B$ și $B E = B D$ . Notăm cu $F$ intersecția dintre $B E$ și $A C$ , și fie $D M$ bisectoarea unghiului $A D F$ , unde $M \in A C$ . Perpendiculara dusă din $C$ pe $A B$ intersectează $D M$ în $G$ .

Arătați că:

a) triunghiul $A B F$ este isoscel;

b) $C G = C M$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Avem pe rând $∠ A B C$ $= 180^{\circ} - 54^{\circ} - 45^{\circ}$ $= 81^{\circ}$ , iar în triunghiul isoscel $A B D$ ( $A D = A B$ ), $∠ A D B$ $= ∠ A B D$ $= 81^{\circ}$ , astfel că $∠ D A B$ $= 180^{\circ} - 162^{\circ}$ $= 18^{\circ}$ și $∠ C A D$ $= ∠ C A B - ∠ D A B$ $= 36^{\circ}$ . (1 p)
În triunghiul isoscel $B E D$ ( $B E = B D$ ) avem $∠ B E D$ $= ∠ B D E$ $= 81^{\circ}$ , astfel că $∠ D B E = 18^{\circ}$ , de unde rezultă $∠ A B F$ $= ∠ A B C - ∠ E B D$ $= 81^{\circ} - 18^{\circ}$ $= 63^{\circ}$ . (1 p)
În triunghiul $A B F$ avem $∠ A B F = 63^{\circ}$ și $∠ F A B = 54^{\circ}$ , astfel că $∠ A F B$ $= 180^{\circ} - 63^{\circ} - 54^{\circ}$ $= 63^{\circ}$ , adică triunghiul $A B F$ este isoscel cu $A F = A B$ . (1 p)

Deoarece $A D = A B$ și $A F = A B$ , deducem că $A F = A D$ , adică triunghiul $A F D$ este isoscel, cu $∠ A F D$ $= ∠ A D F$ $= \frac{180^{\circ} - ∠ F A D}{2}$ $= \frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2}$ $= 72^{\circ}$ . (1 p)
Deoarece $D M$ este bisectoarea unghiului $A D F$ , rezultă $∠ A D M$ $= ∠ F D M$ $= \frac{∠ A D F}{2}$ $= 36^{\circ}$ . În triunghiul $A M D$ avem $∠ M A D$ $= ∠ A D M$ $= 36^{\circ}$ , astfel că unghiul exterior $∠ C M D$ $= 36^{\circ} + 36^{\circ}$ $= 72^{\circ}$ . (1 p)
Deoarece $C G$ este perpendiculară pe $A B$ , rezultă $∠ A C G$ $= 90^{\circ} - ∠ C A B$ $= 90^{\circ} - 54^{\circ}$ $= 36^{\circ}$ . (1 p)
Astfel, în triunghiul $C M G$ avem $∠ M C G = 36^{\circ}$ și $∠ C M G = 72^{\circ}$ . Se obține $∠ C G M$ $= 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ}$ $= 72^{\circ}$ , adică triunghiul $C M G$ este isoscel, cu $C G = C M$ . (1 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$(x, y, z) \in {(11, 10, 0), (11, 0, 10)}$
2	a) demonstrație; b) 8 perechi
3	a) demonstrație; b) $(1, 1)$ , $(1, 2)$ , $(1, 4)$
4	a) $∠ A B F = ∠ A F B = 63^{\circ}$ ; b) $∠ C M G = ∠ C G M = 72^{\circ}$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Puteri, paritate	fișă recapitulare algebră
2	Numere prime între ele, fracții egale	fișă divizibilitate · fișă rapoarte și proporții
3	Divizori, numere prime	fișă divizibilitate
4	Triunghiul isoscel, suma unghiurilor, bisectoare	fișă triunghiul isoscel · fișă unghiuri

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a VI-a? Patru probleme: ecuația $2^{x} - 2^{y} - 2^{z} = 1023$ , fracții de forma $\frac{12 n + 13}{13 n + 14}$ , perechi de numere ale căror divizori adunați dau numere prime și o problemă de geometrie cu un triunghi cu unghiurile de $54^{\circ}$ și $45^{\circ}$ .

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2024? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare problemă valorează 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2024? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR și preluate de presa de educație. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase, etapa județeană 2024: clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Același nivel, alt an: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VI-a. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 10 martie 2024): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile suplimentare și figurile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a VI-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · puteri, paritate)

Problema 2 (7 puncte · numere prime între ele, fracții)

Problema 3 (7 puncte · divizori, numere prime, paritate)

Problema 4 (7 puncte · triunghiul isoscel, unghiuri)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe