Olimpiada matematică etapa locală 2026 Cluj, clasa a 6-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa locală Cluj, clasa a VI-a?

Patru probleme: împărțiri cu rest în care restul este cu 3 mai mic decât împărțitorul, cel mai mare k pentru care 10^k divide produsul 2 · 4 · 6 · · 2026, două numere cu suma 36 și raportul dintre c.m.m.m.c. și c.m.m.d.c. egal cu 5, și o problemă cu arce de cerc direct și invers proporționale.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică?

În județul Cluj, în 2026, timpul efectiv de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, notate cu 25, 25, 20 și 20 de puncte, plus 10 puncte din oficiu (maximum 100). Se punctează și rezolvările parțiale, după barem. În alte județe subiectele și punctajele pot fi diferite.

Q: Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2026?

Subiectul și baremul pentru județul Cluj (antet Ministerul Educației și Cercetării și Inspectoratul Școlar Județean Cluj) sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România pe harta subiectelor de la etapa locală 2026, împreună cu subiectele celorlalte județe. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada de matematică 2026, etapa locală din județul Cluj, clasa a VI-a (vineri, 20 februarie 2026), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $a = 237$ , $b = 957$ și $n \in {19, 38}$ ; $10^{k}$ divide produsul numerelor pare până la 2026 pentru cel mult $k = 251$ ; numerele sunt 6 și 30; arcele au 18°, 36°, 54°, 108° și 144°, iar $∠ M O N = ∠ A_{1} O A_{3} = 54^{\circ}$ .

Olimpiada Națională de Matematică are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa locală subiectele diferă de la un județ la altul: fiecare inspectorat școlar își stabilește propriul subiect. Pagina de față conține subiectul dat în județul Cluj, vineri, 20 februarie 2026, elevilor de clasa a VI-a: 4 probleme, timp efectiv de lucru 3 ore. Conform subiectului oficial, problemele 1 și 2 valorează câte 25 de puncte, problemele 3 și 4 câte 20 de puncte, iar 10 puncte se acordă din oficiu (total 100). Etapa locală este calificarea pentru etapa județeană, care a avut loc pe 7 martie 2026 cu un subiect unic pe țară — îl găsești rezolvat aici: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VI-a.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (25 de puncte · teorema împărțirii cu rest, c.m.m.m.c.)

a) Fie numerele naturale $a$ și $b$ , unde $a$ este cel mai mic număr de trei cifre, iar $b$ este cel mai mare număr de trei cifre, care împărțite la 15 dau restul 12, împărțite la 48 dau restul 45 și împărțite la 40 dau restul 37. Determinați numerele $a$ și $b$ .

b) Numerele naturale $a$ și $b$ împărțite la același număr natural $n$ , dau resturile 9, respectiv 7. Determinați toate valorile posibile ale numărului $n$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: în fiecare împărțire, restul este cu 3 mai mic decât împărțitorul ( $15 - 12$ $= 48 - 45$ $= 40 - 37$ $= 3$ ). Dacă adunăm 3 la număr, împărțirile devin exacte.

a) Fie $m$ un număr cu proprietățile din enunț: $m = 15 c_{1} + 12$ , $m = 48 c_{2} + 45$ , $m = 40 c_{3} + 37$ . Adunând 3: $m + 3 = 15 (c_{1} + 1) = 48 (c_{2} + 1) = 40 (c_{3} + 1),$ deci $m + 3$ este multiplu comun al numerelor 15, 48 și 40. Cum $[15, 48, 40] = 240$ , $m + 3$ este multiplu de 240; cel mai mic număr de trei cifre de acest fel se obține pentru $m + 3 = 240$ , adică $m = 237$ . (10 p)

Scriem multiplii lui 240 micșorați cu 3: ${237, 477, 717, 957, 1197, \dots}$ . Cel mai mic număr de trei cifre este 237, iar cel mai mare este 957, deci $a = 237$ și $b = 957$ . (5 p)

b) Din $237 = n \cdot c_{1} + 9$ și $957 = n \cdot c_{2} + 7$ , cu $n > 9$ (împărțitorul este mai mare decât resturile), obținem $228 = n \cdot c_{1}$ și $950 = n \cdot c_{2}$ , deci $n$ este divizor comun al numerelor 228 și 950. (6 p)

Cum $228 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 19$ și $950 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 19$ , avem $(228, 950) = 38$ , deci $n \in D_{38}$ $= {1, 2, 19, 38}$ . Cu condiția $n > 9$ rămâne $n \in {19, 38}$ . (4 p)

Verificare: $237 = 19 \cdot 12 + 9$ , $957 = 19 \cdot 50 + 7$ ; $237 = 38 \cdot 6 + 9$ , $957 = 38 \cdot 25 + 7$ ✓.

Răspuns: a) $a = 237$ , $b = 957$ ; b) $n \in {19, 38}$ .

Problema 2 (25 de puncte · descompunere în factori primi, divizibilitate)

Se consideră numărul $N$ $= 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2026$ . Determinați cel mai mare număr natural $k$ pentru care $10^{k}$ divide pe $N$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Scoatem câte un factor 2 din fiecare număr par: $N = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) \dots (2 \cdot 1013) = 2^{1013} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1013.$ (5 p)
Un număr este divizibil cu $10^{k}$ dacă este divizibil cu $2^{k} \cdot 5^{k}$ . (3 p)
Numărăm factorii 5 din produsul $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 1013$ :
- 202 numere divizibile cu 5 de la 1 la 1013 ( $5 \cdot 202 = 1010$ ); (2 p)
- 40 de numere divizibile cu 25 (fiecare mai dă un factor 5); (2 p)
- 8 numere divizibile cu 125; (2 p)
- un număr divizibil cu 625 (chiar 625). (2 p)
Prin urmare, sunt $202 + 40 + 8 + 1 = 251$ de factori 5 în produsul $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 1013$ . (2 p)
Cel mai mare număr natural $k$ pentru care $10^{k}$ divide pe $N$ este egal cu numărul factorilor de 10, adică minimul dintre numărul factorilor 2 și numărul factorilor 5 din descompunerea lui $N$ . (3 p)
Avem cel puțin 1013 factori 2 și exact 251 de factori 5 (factorii 5 apar doar din $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 1013$ ). (2 p)
Rezultă $k = 251$ . (2 p)

Răspuns: $k = 251$ (numărul $N$ se termină în exact 251 de zerouri).

Problema 3 (20 de puncte · c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.)

Fie două numere naturale $a$ și $b$ astfel încât $a < b$ , $a + b = 36$ și $\frac{[a, b]}{(a, b)} = 5$ , unde $[a, b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al celor două numere, iar $(a, b)$ cel mai mare divizor comun. Determinați cele două numere.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Dacă $(a, b) = d \in N$ , atunci $a = d \cdot x$ și $b = d \cdot y$ , unde $x$ și $y$ sunt prime între ele. (5 p)
Atunci $[a, b]$ $= [d \cdot x, d \cdot y]$ $= d \cdot x \cdot y$ . Înlocuind în $\frac{[a, b]}{(a, b)} = 5$ obținem $\frac{d \cdot x \cdot y}{d}$ $= 5$ , deci $x \cdot y = 5$ . (5 p)
Cum $x$ și $y$ sunt prime între ele și $x < y$ (pentru că $a < b$ ), obținem $x = 1$ , $y = 5$ . (5 p)
$a + b$ $= 36 \Rightarrow d \cdot (x + y)$ $= 36 \Rightarrow 6 d$ $= 36 \Rightarrow d$ $= 6$ , de unde $a = 6$ și $b = 30$ . (5 p)

Verificare: $6 + 30 = 36$ , $(6, 30) = 6$ , $[6, 30] = 30$ și $30 : 6 = 5$ ✓.

Răspuns: $a = 6$ , $b = 30$ .

Problema 4 (20 de puncte · cercul, arce, mărimi proporționale)

Pe cercul $C (O; r)$ se consideră punctele $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ , în această ordine, astfel încât măsurile arcelor $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}, \overset{⌢}{A_{2} A_{3}}, \overset{⌢}{A_{3} A_{4}}$ sunt direct proporționale cu numerele 2; 4 și 6, iar măsurile arcelor $\overset{⌢}{A_{3} A_{4}}, \overset{⌢}{A_{4} A_{5}}, \overset{⌢}{A_{5} A_{1}}$ sunt invers proporționale cu numerele 0,(6); 0,(3) și 0,25.

a) Determinați măsurile arcelor $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}, \overset{⌢}{A_{2} A_{3}}, \overset{⌢}{A_{3} A_{4}}, \overset{⌢}{A_{4} A_{5}}, \overset{⌢}{A_{5} A_{1}}$ .

b) Dacă punctul $M$ este simetricul punctului $A_{3}$ față de centrul cercului, iar $N$ este mijlocul arcului $\overset{⌢}{A_{5} A_{1}}$ , arătați că $∠ M O N \equiv ∠ A_{1} O A_{3}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Pentru simplitate scriem $A_{1} A_{2}$ în loc de $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ când vorbim despre măsura arcului (în grade).

Arcele $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}$ sunt direct proporționale cu 2; 4; 6, deci $\frac{A_{1} A_{2}}{2}$ $= \frac{A_{2} A_{3}}{4}$ $= \frac{A_{3} A_{4}}{6}$ $= k$ . (2 p)
Rezultă $A_{1} A_{2} = 2 k$ , $A_{2} A_{3} = 4 k$ , $A_{3} A_{4} = 6 k$ . (1 p)
Cum $0, (6) = \frac{2}{3}$ , $0, (3) = \frac{1}{3}$ și $0, 25 = \frac{1}{4}$ , proporționalitatea inversă înseamnă $\frac{2}{3} \cdot A_{3} A_{4}$ $= \frac{1}{3} \cdot A_{4} A_{5}$ $= \frac{1}{4} \cdot A_{5} A_{1}$ , adică $\frac{2 \cdot A_{3} A_{4}}{3}$ $= \frac{A_{4} A_{5}}{3}$ $= \frac{A_{5} A_{1}}{4}$ . (2 p)
Înlocuind $A_{3} A_{4} = 6 k$ , primul raport este $4 k$ , deci $A_{4} A_{5} = 12 k$ și $A_{5} A_{1} = 16 k$ . (1 p)
Cele cinci arce acoperă tot cercul: $A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + A_{3} A_{4} + A_{4} A_{5} + A_{5} A_{1} = 360^{\circ} .$ (1 p)
$2 k + 4 k + 6 k + 12 k + 16 k$ $= 360^{\circ} \Rightarrow 40 k$ $= 360^{\circ} \Rightarrow k$ $= 9^{\circ}$ . (2 p)
$A_{1} A_{2} = 18^{\circ}$ , $A_{2} A_{3} = 36^{\circ}$ , $A_{3} A_{4} = 54^{\circ}$ , $A_{4} A_{5} = 108^{\circ}$ , $A_{5} A_{1} = 144^{\circ}$ . (1 p)

Dacă $M$ este simetricul lui $A_{3}$ față de centrul cercului, atunci $A_{3} M$ este diametru, deci $\overset{⌢}{A_{3} M}$ $= 180^{\circ}$ (arcul care trece prin $A_{4}$ și $A_{5}$ ). (1 p)
Dacă $N$ este mijlocul arcului $A_{5} A_{1}$ , atunci $\overset{⌢}{A_{5} N}$ $= \overset{⌢}{N A_{1}}$ $= 144^{\circ} : 2$ $= 72^{\circ}$ . (2 p)
$\overset{⌢}{A_{3} M}$ $= 180^{\circ} \Rightarrow A_{3} A_{4} + A_{4} A_{5} + \overset{⌢}{A_{5} M}$ $= 180^{\circ} \Rightarrow \overset{⌢}{A_{5} M}$ $= 180^{\circ} - (54^{\circ} + 108^{\circ})$ $= 18^{\circ}$ . Deci $M$ se află pe arcul $A_{5} A_{1}$ , între $A_{5}$ și $N$ . (1 p)
$\overset{⌢}{M N}$ $= 72^{\circ} - 18^{\circ}$ $= 54^{\circ}$ . (2 p)
$∠ M O N$ este unghi la centru, deci $∠ M O N$ $= \overset{⌢}{M N}$ $= 54^{\circ}$ . (1 p)
$\overset{⌢}{A_{1} A_{3}}$ $= A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3}$ $= 18^{\circ} + 36^{\circ}$ $= 54^{\circ}$ . (1 p)
$∠ A_{1} O A_{3}$ este unghi la centru, deci $∠ A_{1} O A_{3}$ $= \overset{⌢}{A_{1} A_{3}}$ $= 54^{\circ}$ . (1 p)
Prin urmare, $∠ M O N \equiv ∠ A_{1} O A_{3}$ . (1 p)

Răspuns: a) $18^{\circ}$ , $36^{\circ}$ , $54^{\circ}$ , $108^{\circ}$ , $144^{\circ}$ ; b) ambele unghiuri au $54^{\circ}$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $a = 237$ , $b = 957$ ; b) $n \in {19, 38}$
2	$k = 251$
3	$a = 6$ , $b = 30$
4	a) $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 108^{\circ}, 144^{\circ}$ ; b) ambele unghiuri au $54^{\circ}$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Teorema împărțirii cu rest, c.m.m.m.c., c.m.m.d.c.	fișă divizibilitate
2	Descompunerea în factori primi, puterile lui 5 dintr-un produs	fișă divizibilitate
3	Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.	fișă divizibilitate
4	Mărimi direct și invers proporționale, cercul, unghiul la centru	fișă rapoarte și proporții · fișă cercul

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2026, etapa locală Cluj, clasa a VI-a? Patru probleme: împărțiri cu rest în care restul este cu 3 mai mic decât împărțitorul, cel mai mare $k$ pentru care $10^{k}$ divide produsul $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2026$ , două numere cu suma 36 și raportul dintre c.m.m.m.c. și c.m.m.d.c. egal cu 5, și o problemă cu arce de cerc direct și invers proporționale.

Cât durează proba și cum se punctează la etapa locală a olimpiadei de matematică? În județul Cluj, în 2026, timpul efectiv de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme, notate cu 25, 25, 20 și 20 de puncte, plus 10 puncte din oficiu (maximum 100). Se punctează și rezolvările parțiale, după barem. În alte județe subiectele și punctajele pot fi diferite.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la etapa locală 2026? Subiectul și baremul pentru județul Cluj (antet Ministerul Educației și Cercetării și Inspectoratul Școlar Județean Cluj) sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România pe harta subiectelor de la etapa locală 2026, împreună cu subiectele celorlalte județe. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa locală Cluj 2026 — clasa a V-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a; aceeași clasă, etapa următoare: etapa județeană 2026, clasa a VI-a; toate subiectele: olimpiada de matematică — subiecte rezolvate; alte concursuri: concursuri școlare de matematică. Exersează și cu fișele de lucru pe clase, iar formulele utile le găsești la formule clasa a 6-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației și Cercetării / Inspectoratul Școlar Județean Cluj (Olimpiada de matematică, etapa locală Cluj, 20 februarie 2026): subiectul și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2026, etapa locală (Cluj) — clasa a VI-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (25 de puncte · teorema împărțirii cu rest, c.m.m.m.c.)

Problema 2 (25 de puncte · descompunere în factori primi, divizibilitate)

Problema 3 (20 de puncte · c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.)

Problema 4 (20 de puncte · cercul, arce, mărimi proporționale)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe