Olimpiada de matematică 2024 națională, clasa a V-a

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa națională, clasa a V-a (Vaslui, 10 mai 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: $0, (2) \cdot 0, (3) = 0, (074)$ ; în produsul $A \cdot B$ apar cifrele 1, 2, 7, 8, 9; perechile sunt $(1, 1)$ , $(2, 4)$ , $(27, 81)$ ; cea mai mare tablă specială este $4 \times 4$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională din 2024 au participat elevii calificați după etapa județeană; pentru clasa a V-a, concursul s-a desfășurat la Vaslui (9–12 mai 2024; proba scrisă din 10 mai 2024). Subiectul a avut 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă este notată cu 7 puncte (total 28 de puncte). Problemele sunt mult mai grele decât la etapa județeană: aproape toate cer demonstrații complete.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · fracții zecimale periodice)

Vom spune despre o fracție zecimală periodică simplă $f$ că are lungimea redusă $n$ (unde $n$ este un număr natural nenul) dacă perioada sa are $n$ cifre și $f$ nu poate să fie reprezentată ca fracție zecimală periodică simplă cu o perioadă cu mai puține cifre. De exemplu, $0, (223)$ are lungimea redusă 3, iar $0, (2323)$ are lungimea redusă 2, deoarece $0, (2323) = 0, (23)$ .

a) Arătați că $f = 0, (2) \cdot 0, (3)$ este fracție periodică simplă de lungime redusă 3.

b) Există două fracții periodice simple de lungime redusă 1, al căror produs să fie o fracție periodică simplă de lungime redusă 1?

c) Există două fracții periodice simple de lungime redusă 3, al căror produs să fie o fracție periodică simplă de lungime redusă 3?

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ce folosim: o fracție periodică simplă cu perioada de $n$ cifre se transformă în fracție ordinară punând perioada la numărător și $n$ cifre de 9 la numitor: $0, (2) = \frac{2}{9}$ , $0, (23) = \frac{23}{99}$ , $0, (074) = \frac{74}{999}$ . O fracție are perioadă de cel mult 2 cifre exact atunci când se poate scrie cu numitorul 99 (cele cu o cifră în perioadă se scriu și ele așa: $\frac{k}{9}$ $= \frac{11 k}{99}$ ).

a) $f$ $= 0, (2) \cdot 0, (3)$ $= \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{9}$ $= \frac{2}{27}$ $= \frac{74}{999}$ $= 0, (074)$ (am amplificat cu 37, pentru că $27 \cdot 37 = 999$ ). Perioada nu poate fi mai scurtă: $\frac{2}{27} \cdot 99$ $= \frac{22}{3}$ nu este număr natural, deci $\frac{2}{27}$ nu se scrie cu numitorul 99. Așadar $f$ are lungimea redusă 3. (2 p)

b) Da. De exemplu, $0, (3) \cdot 0, (6)$ $= \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{9}$ $= \frac{18}{81}$ $= \frac{2}{9}$ $= 0, (2)$ . (2 p)

c) Da. De exemplu, $0, (270) \cdot 0, (370) = \frac{270}{9 \cdot 3 \cdot 37} \cdot \frac{370}{999} = \frac{10}{37} \cdot \frac{10}{27} = \frac{100}{999} = 0, (100) .$ (3 p)

Toate trei au lungimea redusă 3: $\frac{10}{37} \cdot 99$ , $\frac{10}{27} \cdot 99$ și $\frac{100}{999} \cdot 99$ nu sunt numere naturale (numitorii 37, 27, respectiv $27 \cdot 37$ nu divid pe 99 înmulțit cu numărătorul), deci niciuna nu se poate scrie cu o perioadă de una sau două cifre.

Răspuns: a) $f = 0, (074)$ ; b) da, de exemplu $0, (3) \cdot 0, (6)$ $= 0, (2)$ ; c) da, de exemplu $0, (270) \cdot 0, (370)$ $= 0, (100)$ .

Problema 2 (7 puncte · scrierea numerelor, calcul)

Fie $n \geq 2$ un număr natural. Considerăm numerele $A = 33 \dots 3$ , cu $n$ cifre 3 și $B = 20 \cdot A + 6$ . Determinați cifrele care apar în scrierea zecimală a numărului $A \cdot B$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: scriem $A \cdot B$ ca diferență a două numere ușor de scris în baza 10.

$20 \cdot A = 66 \dots 60$ ( $n$ cifre 6 urmate de 0), deci $B$ $= 20 \cdot A + 6$ $= 66 \dots 6$ , cu $n + 1$ cifre 6. (1 p)
Observăm că $3 \cdot A$ $= 99 \dots 9$ $= 10^{n} - 1$ ( $n$ cifre 9). (2 p)
Cum $B = 3 \cdot 22 \dots 2$ ( $n + 1$ cifre 2), avem $A \cdot B$ $= 3 A \cdot 22 \dots 2$ : $A \cdot B = (10^{n} - 1) \cdot \underset{n + 1 cifre}{\underset{⏟}{22 \dots 2}} = \underset{n + 1 cifre}{\underset{⏟}{22 \dots 2}} \underset{n cifre}{\underset{⏟}{00 \dots 0}} - \underset{n + 1 cifre}{\underset{⏟}{22 \dots 2}} .$ (2 p)
Efectuând scăderea obținem $A \cdot B = \underset{n - 1 cifre}{\underset{⏟}{22 \dots 2}} 1 9 \underset{n - 1 cifre}{\underset{⏟}{77 \dots 7}} 8,$ deci în scrierea zecimală a numărului $A \cdot B$ apar cifrele 1, 2, 7, 8 și 9. (2 p)

Verificare: pentru $n = 2$ : $33 \cdot 666 = 21 978$ ; pentru $n = 3$ : $333 \cdot 6666$ $= 2 222 000 - 2 222$ $= 2 219 778$ . ✓

Răspuns: cifrele 1, 2, 7, 8 și 9.

Problema 3 (7 puncte · puteri, divizibilitate)

Determinați perechile de numere naturale nenule $a$ și $b$ care verifică relația $a^{4 \cdot a} = b^{b}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Dacă $b \geq 4 a$ , atunci $b > a$ , deci $b^{b} \geq b^{4 a} > a^{4 a}$ , iar egalitatea este imposibilă în acest caz. (1 p)
Pentru $b < 4 a$ obținem $b^{b}$ $= a^{4 a}$ $= a^{4 a - b} \cdot a^{b}$ , deci $b^{b}$ este divizibil cu $a^{b}$ , ceea ce arată că $b$ este divizibil cu $a$ . (Justificare: dacă un număr prim $p$ apare în $a$ la puterea $x$ și în $b$ la puterea $y$ , din $a^{b} ∣ b^{b}$ rezultă $b \cdot x \leq b \cdot y$ , deci $x \leq y$ .) (2 p)
Rezultă că $b = n \cdot a$ și, cum $b < 4 a$ , avem $n = 1$ (I), $n = 2$ (II) sau $n = 3$ (III). (1 p)
Relația devine $(a^{4})^{a} = ((n a)^{n})^{a}$ , adică $a^{4} = n^{n} \cdot a^{n}$ , sau $a^{4 - n} = n^{n}$ . În cazul (I): $a^{3} = 1$ , deci $a = b = 1$ ; în cazul (II): $a^{2} = 4$ , deci $a = 2$ , $b = 4$ ; în cazul (III): $a = 3^{3} = 27$ , $b = 81$ . (3 p)

Observație (din barem): din $a^{a} ∣ b^{b}$ nu reiese $a ∣ b$ , după cum arată exemplul $4^{4} ∣ 10^{10}$ , dar $4 ∤ 10$ . De aceea am folosit $a^{b} ∣ b^{b}$ , cu același exponent.

Verificare: $2^{8} = 256 = 4^{4}$ ; $27^{108}$ $= 3^{324}$ $= 81^{81}$ . ✓

Răspuns: $(a, b) \in {(1, 1), (2, 4), (27, 81)}$ .

Problema 4 (7 puncte · pătrate perfecte, descompunere în factori primi)

Fie $n$ un număr natural nenul. Vom spune că o tablă $n \times n$ este specială dacă:

în fiecare căsuță a tablei este pus un număr natural impar, de două cifre;
numerele de pe tablă sunt diferite două câte două;
produsul numerelor de pe fiecare linie și produsul numerelor de pe fiecare coloană este pătrat perfect.

Arătați că cea mai mare valoare a lui $n$ pentru care există o tablă specială este 4.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: un produs este pătrat perfect doar dacă fiecare factor prim apare la putere pară. Un număr prim mare care apare într-o căsuță trebuie „pereche” și pe linie, și pe coloană, ceea ce cere multipli prea mari.

Dacă între factorii primi ai numerelor de pe tablă apare $p \geq 17$ pe linia $ℓ$ și coloana $c$ , atunci pe linia $ℓ$ trebuie să mai apară un multiplu de $p$ (pe coloana $c^{'} \neq c$ ), pe coloana $c$ trebuie să mai apară un multiplu de $p$ (pe linia $ℓ^{'} \neq ℓ$ ), iar apoi și pe poziția $(ℓ^{'}, c^{'})$ trebuie să apară un multiplu de $p$ . Avem astfel patru multipli impari de $p$ , diferiți, deci pe tablă ar trebui să apară un număr $N \geq 7 p > 100$ — imposibil. (1 p)
Rezultă că pe tablă nu pot apărea numerele de două cifre care sunt multipli impari de 17 (3 numere: 17, 51, 85), de 19 (3 numere: 19, 57, 95), de 23 (2 numere), de 29 (2 numere), de 31 (2 numere) și de 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (câte un număr); în total, 26 de numere. Cum în total există 45 de numere impare de două cifre, pe tablă pot apărea cel mult $45 - 26 = 19$ numere. Tabla are $n^{2}$ căsuțe, deci $n^{2} \leq 19$ , adică $n \leq 4$ . (2 p)
Pentru $n = 4$ avem nevoie de 16 numere dintre cele 19 rămase. Multiplii impari de două cifre ai lui 13 (13, 39, 65, 91) și ai lui 11 (11, 33, 55, 77, 99) conțin factorul 13, respectiv 11, la puterea întâi, deci același raționament ca la pasul 1 arată că, dacă 13 (sau 11) apare pe tablă, el apare în cel puțin 4 numere. Dacă nu am folosi niciun multiplu de 13 (13, 39, 65, 91), ar rămâne doar 15 numere — prea puține; deci trebuie să folosim toți cei patru: $13 \cdot 1$ , $13 \cdot 3$ , $13 \cdot 5$ , $13 \cdot 7$ și, analog (fără multipli de 11 ar rămâne doar 14 numere), patru multipli ai lui 11 (de exemplu, $11 \cdot 1$ , $11 \cdot 3$ , $11 \cdot 5$ , $11 \cdot 7$ ). (1 p)
Un exemplu de așezare (produsul pe fiecare linie și pe fiecare coloană este pătrat perfect): (3 p)
$11$ $3 \cdot 11$ $3^{3}$ $5^{2}$
$5 \cdot 11$ $7 \cdot 11$ $3 \cdot 5$ $3 \cdot 7$
$7^{2}$ $3 \cdot 5^{2}$ $13$ $3 \cdot 13$
$3^{2} \cdot 5$ $3^{2} \cdot 7$ $5 \cdot 13$ $7 \cdot 13$

Verificare (puterile factorilor primi, toate pare): linia 1: $11^{2} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2}$ ; linia 2: $11^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$ ; linia 3: $7^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 13^{2}$ ; linia 4: $3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 13^{2}$ ; coloana 1: $11^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 3^{2}$ ; coloana 2: $3^{4} \cdot 11^{2} \cdot 7^{2} \cdot 5^{2}$ ; coloana 3: $3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 13^{2}$ ; coloana 4: $5^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7^{2} \cdot 13^{2}$ . ✓

Observație (din barem): pentru indicarea, fără explicație, a unei table corecte, se acordă 4 puncte.

Răspuns: cea mai mare valoare este $n = 4$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	a) $0, (2) \cdot 0, (3) = \frac{2}{27} = 0, (074)$ ; b) da: $0, (3) \cdot 0, (6) = 0, (2)$ ; c) da: $0, (270) \cdot 0, (370) = 0, (100)$
2	cifrele 1, 2, 7, 8 și 9
3	$(a, b) \in {(1, 1), (2, 4), (27, 81)}$
4	$n = 4$ (cu exemplu de tablă)

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Fracții zecimale periodice, transformarea în fracții ordinare	fișă fracții zecimale · fișă fracții
2	Scrierea în baza 10, puterile lui 10	fișă operații cu numere naturale
3	Puteri, compararea puterilor, divizibilitate	fișă puteri
4	Pătrate perfecte, factori primi, numărare	fișă divizibilitate

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a V-a? Patru probleme: fracții periodice cu „lungime redusă”, cifrele produsului dintre $33 \dots 3$ și $66 \dots 6$ , ecuația $a^{4 a} = b^{b}$ și o tablă cu numere impare de două cifre în care produsele pe linii și coloane sunt pătrate perfecte.

Cum se punctează subiectul de la etapa națională a olimpiadei de matematică 2024? Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare dintre cele 4 probleme valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea din barem primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică 2024, etapa națională? Enunțurile, soluțiile și baremele sunt publicate de Societatea de Științe Matematice din România pe ssmr.ro (secțiunea ONM 2024, faza națională). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte clase, etapa națională 2024: clasa a VI-a · clasa a VII-a · clasa a VIII-a. Aceeași clasă la etapa județeană: OJM 2024 · OJM 2026. Formulele utile le găsești la formule clasa a 5-a, iar exerciții pe capitole în fișele de lucru.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Vaslui, 10 mai 2024): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate pe ssmr.ro. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa națională, clasa a V-a — subiecte și soluții

Problema 1 (7 puncte · fracții zecimale periodice)

Problema 2 (7 puncte · scrierea numerelor, calcul)

Problema 3 (7 puncte · puteri, divizibilitate)

Problema 4 (7 puncte · pătrate perfecte, descompunere în factori primi)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe

$11$	$3 \cdot 11$	$3^{3}$	$5^{2}$
$5 \cdot 11$	$7 \cdot 11$	$3 \cdot 5$	$3 \cdot 7$
$7^{2}$	$3 \cdot 5^{2}$	$13$	$3 \cdot 13$
$3^{2} \cdot 5$	$3^{2} \cdot 7$	$5 \cdot 13$	$7 \cdot 13$