Olimpiada de matematică 2023 națională, clasa a X-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a X-a?

Patru probleme: ecuația 2(5^x + 6^x - 3^x) = 7^x + 9^x, cel mai lung șir crescător de forma (n + 1), , (n + k), trei puncte mobile pe laturile unui triunghi care formează un triunghi echilateral și o problemă de combinatorică despre tablouri colorate cu 15 culori.

Q: Cum se punctează proba la olimpiada de matematică, etapa națională 2023?

Subiectul are 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se acordă puncte și pentru rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială se punctează corespunzător.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023?

Soluțiile și baremele de corectare pentru clasele IX–XII sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs; enunțurile problemelor sunt incluse în aceleași documente. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2023, etapa națională, clasa a X-a (Craiova, 11 aprilie 2023), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: ecuația exponențială are soluțiile $0$ și $1$ ; cel mai mare $k$ de la problema 2 este $5$ (cu $n = 41$ ); la problema 3 triunghiul $A B C$ este echilateral; la problema 4 răspunsul este $33 \leq n \leq 2^{14}$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa națională din 2023 (ediția a 73-a), desfășurată la Craiova, proba pentru clasa a X-a a avut loc pe 11 aprilie 2023, cu elevii calificați de la etapa județeană. Subiectul a avut 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă este notată cu 7 puncte (punctaj maxim 28). Rezultatele de la etapa națională contează și pentru selecția lotului care participă la barajele pentru olimpiadele internaționale.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 30–40 de minute (sunt probleme de nivel național), apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · ecuații exponențiale, funcții convexe)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

2 (5^{x} + 6^{x} - 3^{x}) = 7^{x} + 9^{x} .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Observăm că $x = 0$ și $x = 1$ sunt soluții ale ecuației ( $2 \cdot 1 = 2$ , respectiv $2 \cdot 8 = 16$ ). (1 p)

Demonstrăm că acestea sunt unicele soluții. Ecuația din enunț se poate rescrie:

5^{x} ({(\frac{7}{5})}^{x} + {(\frac{3}{5})}^{x} - 2) + 6^{x} ({(\frac{9}{6})}^{x} + {(\frac{3}{6})}^{x} - 2) = 0.

(1 p)

Considerând funcțiile $f_{a} : R \to R$ , $f_{a} (x)$ $= a^{x} + (2 - a)^{x} - 2$ , cu $a \in (0, 2) ∖ {1}$ , observăm că acestea sunt strict convexe, cu $f_{a} (0) = f_{a} (1) = 0$ . (2 p)

Din stricta convexitate a lui $f_{a}$ avem

f_{a} (x) = f_{a} (x \cdot 1 + (1 - x) \cdot 0) < x f_{a} (1) + (1 - x) f_{a} (0) = 0, \forall x \in (0, 1),

și

\begin{aligned} f_{a} (1) & = f_{a} (\frac{x - 1}{x} \cdot 0 + \frac{1}{x} \cdot x) < \frac{x - 1}{x} f_{a} (0) + \frac{1}{x} f_{a} (x), & \forall x \in (1, \infty), \\ f_{a} (0) & = f_{a} (\frac{1}{1 - x} \cdot x + \frac{- x}{1 - x} \cdot 1) < \frac{1}{1 - x} f_{a} (x) + \frac{- x}{1 - x} f_{a} (1), & \forall x \in (- \infty, 0), \end{aligned}

de unde putem deduce că $f_{a} (x) > 0$ pentru orice $x \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty)$ . (2 p)

Ecuația din enunț se poate rescrie $5^{x} f_{7 / 5} (x) + 6^{x} f_{9 / 6} (x)$ $= 0$ , deci membrul stâng este mai mic strict decât 0 pentru $x \in (0, 1)$ și mai mare strict decât 0 pentru $x \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty)$ . Așadar ecuația are doar soluțiile $x = 0$ și $x = 1$ . (1 p)

Răspuns: $S = {0, 1}$ .

Problema 2 (7 puncte · trigonometrie, monotonia funcției sinus)

Determinați cel mai mare număr natural $k$ având proprietatea că există numărul natural $n$ astfel încât:

\sin (n + 1) < \sin (n + 2) < \sin (n + 3) < \dots < \sin (n + k) .

Notă: Aproximarea prin lipsă a lui $π$ la a patra zecimală este $3,141 5$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Demonstrăm că maximul căutat este $k = 5$ . Diferența a doi termeni consecutivi este:

\sin (n + i + 1) - \sin (n + i) = 2 \sin \frac{1}{2} \cos \frac{2 n + 2 i + 1}{2} > 0 ⟺ \cos \frac{2 n + 2 i + 1}{2} > 0. (*)

(2 p)

Presupunem prin reducere la absurd că pentru $k = 6$ există un număr natural $n$ astfel încât $\sin (n + 1)$ $< \sin (n + 2)$ $< \dots$ $< \sin (n + 6)$ . Condiția (*) se reduce la $\cos (n + \frac{2 i + 1}{2})$ $> 0$ , $i = \overset{―}{1, 5}$ , care ar implica:

\cos (n + \frac{3}{2}) + \cos (n + \frac{11}{2}) = 2 \cos 2 \cdot \cos (n + \frac{7}{2}) > 0 \Rightarrow \cos 2 > 0,

ceea ce este o contradicție ( $\frac{π}{2}$ $< 2$ $< π$ , deci $\cos 2 < 0$ ). Așadar $k \leq 5$ . (2 p)

Pentru $k = 5$ trebuie să construim un exemplu care, conform (*), se reduce la a determina un $n \in N$ pentru care $\cos (n + \frac{2 i + 1}{2})$ $> 0$ , $i = \overset{―}{1, 4}$ . Funcția $\cos x$ este pozitivă pentru $x \in (2 m π - \frac{π}{2}, 2 m π + \frac{π}{2})$ , $m \in Z$ . (1 p)

Din condiția

\begin{aligned} 2 m π - \frac{π}{2} < n + \frac{3}{2} < n + \frac{9}{2} < 2 m π + \frac{π}{2} \\ ⟺ & (4 m - 1) \cdot 10 π < 20 n + 30 < 20 n + 90 < (4 m + 1) \cdot 10 π, \end{aligned}

folosind încadrarea $3, 14 < π < 3, 15$ , obținem o condiție suficientă:

(4 m - 1) \cdot 31, 5 < 20 n + 30 < 20 n + 90 < (4 m + 1) \cdot 31, 4 \Rightarrow m \leq 7.

(1 p)

Considerând $m = 7$ obținem următoarea încadrare pentru $n$ :

\frac{27 π - 3}{2} < n < \frac{29 π - 9}{2},

ceea ce, folosind încadrarea $3,141$ $< π$ $< 3,142$ , implică $n = 41$ ( $40, 9 < n < 41, 06$ ). Așadar, pentru $k = 5$ putem considera $n = 41$ : $\sin 42$ $< \sin 43$ $< \sin 44$ $< \sin 45$ $< \sin 46$ . Maximul căutat este $k = 5$ . (1 p)

Notă din barem: se acordă 3 puncte pentru orice construcție alternativă pentru $k = 5$ .

Problema 3 (7 puncte · numere complexe în geometrie, triunghi echilateral)

Se consideră triunghiul $A B C$ oarecare și punctele mobile $M$ pe semidreapta $B C$ , $N$ pe semidreapta $C A$ și $P$ pe semidreapta $A B$ care pornesc simultan din $B$ , $C$ și, respectiv, $A$ și se deplasează cu vitezele constante $v_{1}, v_{2}, v_{3} > 0$ , exprimate prin aceeași unitate de măsură.

(a) Știind că există trei momente distincte în care triunghiul $M N P$ este echilateral, demonstrați că triunghiul $A B C$ este echilateral și, în plus, $v_{1} = v_{2} = v_{3}$ .
(b) Demonstrați că dacă $v_{1} = v_{2} = v_{3}$ și există un moment în care triunghiul $M N P$ este echilateral, atunci triunghiul $A B C$ este echilateral.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $a, b, c \in C$ afixele vârfurilor triunghiului $A B C$ . Pentru $t \geq 0$ avem următoarele expresii pentru afixele punctelor $M (t)$ , $N (t)$ și $P (t)$ :

m (t) = b (1 - v_{1} t) + c v_{1} t, n (t) = c (1 - v_{2} t) + a v_{2} t, p (t) = a (1 - v_{3} t) + b v_{3} t .

(1 p)

Condiția ca triunghiul $M N P$ să fie echilateral la un moment dat $t \geq 0$ se poate scrie $m (t) + ε n (t) + \overset{―}{ε} p (t)$ $= 0$ , unde $ε \in {\frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}}$ . Această relație este echivalentă cu:

t (- b v_{1} + c v_{1} - ε c v_{2} + ε a v_{2} - \overset{―}{ε} a v_{3} + \overset{―}{ε} b v_{3}) + b + ε c + \overset{―}{ε} a = 0, (*)

pentru orice moment $t \geq 0$ pentru care triunghiul $M N P$ este echilateral. (1 p)

a) Deoarece relația (*) are loc pentru trei valori distincte $t_{1}, t_{2}, t_{3} \geq 0$ , conform principiului cutiei există $ε$ pentru care relația (*) se realizează pentru două momente distincte $t_{i}, t_{j}$ , de unde (o expresie de gradul întâi în $t$ cu două rădăcini are coeficienții nuli) rezultă că

(b - c) v_{1} + ε (c - a) v_{2} + \overset{―}{ε} (a - b) v_{3} = 0 și b + ε c + \overset{―}{ε} a = 0.

A doua relație este echivalentă cu a avea triunghiul $A B C$ echilateral. (1 p)

Pe de altă parte, prima relație ne permite să facem o translație a triunghiului $A B C$ astfel încât centrul cercului său circumscris să fie de afix 0. Cum $A B C$ este echilateral, avem $b = ε a$ și $c$ $= \overset{―}{ε} a$ sau $b$ $= \overset{―}{ε} a$ și $c = ε a$ . Fără a pierde generalitatea, considerăm primul caz și obținem:

\begin{aligned} (ε a - \overset{―}{ε} a) v_{1} + ε (\overset{―}{ε} a - a) v_{2} + \overset{―}{ε} (a - ε a) v_{3} = 0 \\ \Rightarrow & (ε - ε^{2}) v_{1} + (1 - ε) v_{2} + (ε^{2} - 1) v_{3} = 0, \end{aligned}

iar prin împărțire cu $1 - ε \neq 0$ și ținând cont de $v_{1}, v_{2}, v_{3} \in R$ , avem:

ε v_{1} + v_{2} - v_{3} - ε v_{3} = 0 \Rightarrow v_{1} = v_{2} = v_{3} .

(2 p)

Remarcă (din barem): alternativ, din a doua relație, folosind $\overset{―}{ε}$ $= - 1 - ε$ , deducem $b - a = ε (a - c)$ și apoi, înlocuind în prima relație și împărțind cu $c - a \neq 0$ , obținem $v_{1} - v_{3}$ $= ε (v_{2} - v_{1})$ ; ținând cont că $v_{i} \in R$ , $i = \overset{―}{1, 3}$ , obținem $v_{1} = v_{2} = v_{3}$ .

b) Dacă $v_{1} = v_{2} = v_{3} = v$ , relația (*) se poate scrie:

t \cdot v \cdot ((c - b) + ε (a - c) + \overset{―}{ε} (b - a)) + b + ε c + \overset{―}{ε} a = 0,

care este invariantă la translații, rotații și omotetii, deci putem fixa $a = 1$ și $c = \overset{―}{ε}$ și obținem:

(b - ε) (t \cdot v \cdot (\overset{―}{ε} - 1) + 1) = 0,

iar cum a doua paranteză nu poate fi 0 (pentru $t v > 0$ este un număr nereal, iar pentru $t = 0$ este 1), rămâne $b = ε$ , de unde obținem că triunghiul $A B C$ este echilateral. (2 p)

Problema 4 (7 puncte · combinatorică, numărare dublă)

Într-un muzeu de artă sunt expuse $n$ tablouri, $n \geq 33$ , pentru care sunt folosite în total 15 culori astfel încât oricare două tablouri au cel puțin o culoare comună și nu există două tablouri care să aibă exact aceleași culori. Determinați toate valorile posibile ale lui $n \geq 33$ astfel încât oricum am colora tablourile cu proprietățile de mai sus să putem alege patru tablouri distincte pe care să le numerotăm $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ și $T_{4}$ , astfel încât orice culoare care este folosită atât în $T_{1}$ , cât și în $T_{2}$ , se regăsește în $T_{3}$ sau în $T_{4}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Vom demonstra că orice $n$ pentru care $33 \leq n \leq 2^{14}$ este bun.

Începem prin a observa că dacă avem un tablou $T_{i}$ în muzeu în care sunt folosite $k$ culori, tabloul în care sunt folosite celelalte $15 - k$ culori nu se poate regăsi în muzeu (nu ar avea nicio culoare comună cu $T_{i}$ ). Așadar, din cele $2^{15} - 1$ tablouri posibile a fi obținute cu cele 15 culori, avem maxim $2^{14}$ tablouri în muzeu, iar maximul se poate atinge dacă am considera toate tablourile care folosesc culoarea $c_{1}$ împreună cu toate celelalte $2^{14}$ submulțimi ale culorilor ${c_{2}, \dots, c_{15}}$ . (1 p)

Demonstrăm acum că pentru orice $33 \leq n \leq 2^{14}$ putem găsi tablourile $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ cu proprietățile din enunț. Prin $T_{i} \cap T_{j}$ și $T_{i} \cup T_{j}$ înțelegem mulțimea culorilor comune, respectiv mulțimea tuturor culorilor folosite în tablourile $T_{i}$ și $T_{j}$ . Trebuie să demonstrăm că există $i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4} \in {1, 2, \dots, n}$ distincte astfel încât $T_{i_{1}} \cap T_{i_{2}} \subset T_{i_{3}} \cup T_{i_{4}}$ .

Presupunem prin absurd că oricum am lua $i < j$ și $k < ℓ$ din ${1, 2, \dots, n}$ cu ${i, j} \cap {k, ℓ}$ $= \emptyset$ , avem $| (T_{i} \cap T_{j}) ∖ (T_{k} \cup T_{ℓ}) |$ $\geq 1$ . Studiem suma

S = \sum_{\begin{matrix} 1 \leq i < j \leq n, 1 \leq k < ℓ \leq n \\ {i, j} \cap {k, ℓ} = \emptyset \end{matrix}} | (T_{i} \cap T_{j}) ∖ (T_{k} \cup T_{ℓ}) | .

(2 p)

Observăm că aceasta are $C_{n}^{2} \cdot C_{n - 2}^{2}$ termeni, fiecare dintre aceștia fiind mai mare sau egal cu 1, deci

S \geq \frac{n (n - 1)}{2} \cdot \frac{(n - 2) (n - 3)}{2} .

(1 p)

Facem acum numărarea pentru culorile $c_{m}$ , $m = \overset{―}{1, 15}$ , și fie $n_{m}$ numărul tablourilor $T_{i}$ care conțin culoarea $c_{m}$ . Pentru ca $c_{m} \in (T_{i} \cap T_{j}) ∖ (T_{k} \cup T_{ℓ})$ trebuie ca $c_{m} \in T_{i}, T_{j}$ și $c_{m} \notin T_{k}, T_{ℓ}$ . Dacă $n_{m} \in {0, 1, n - 1, n}$ , atunci nu există niciun cvadruplu $(T_{i}, T_{j}, T_{k}, T_{ℓ})$ pentru care $c_{m} \in (T_{i} \cap T_{j}) ∖ (T_{k} \cup T_{ℓ})$ . Pentru $2 \leq n_{m} \leq n - 2$ , perechea $(T_{i}, T_{j})$ se poate alege în $C_{n_{m}}^{2}$ moduri, iar perechea $(T_{k}, T_{ℓ})$ în $C_{n - n_{m}}^{2}$ moduri. Așadar avem:

S = \sum_{\begin{matrix} m = 1 \\ 2 \leq n_{m} \leq n - 2 \end{matrix}}^{15} \frac{n_{m} (n_{m} - 1)}{2} \cdot \frac{(n - n_{m}) (n - n_{m} - 1)}{2} .

(2 p)

Din inegalitatea mediilor avem $n_{m} (n - n_{m})$ $\leq {(\frac{n}{2})}^{2}$ și $(n_{m} - 1) (n - 1 - n_{m})$ $\leq {(\frac{n - 2}{2})}^{2}$ , de unde obținem:

\begin{aligned} S & \leq \sum_{\begin{array}{c} m = 1 \\ 2 \leq n_{m} \leq n - 2 \end{array}}^{15} \frac{1}{4} {(\frac{n}{2})}^{2} {(\frac{n - 2}{2})}^{2} \leq 15 \cdot \frac{1}{4} {(\frac{n}{2})}^{2} {(\frac{n - 2}{2})}^{2} \\ < \frac{n (n - 1)}{2} \cdot \frac{(n - 2) (n - 3)}{2}, \forall n \geq 33, \end{aligned}

(ultima inegalitate revine la $15 n (n - 2)$ $< 64 (n - 1) (n - 3)$ , adevărată pentru $n \geq 33$ ), ceea ce este o contradicție. Deci, pentru orice $33 \leq n \leq 2^{14}$ , avem patru tablouri cu proprietatea din enunț. (1 p)

Răspuns: toate numerele naturale $n$ cu $33$ $\leq n$ $\leq 2^{14}$ $= 16384$ .

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$S = {0, 1}$
2	$k = 5$ (de exemplu $n = 41$ )
3	demonstrații: $A B C$ echilateral și $v_{1} = v_{2} = v_{3}$
4	toate $n$ cu $33 \leq n \leq 2^{14}$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Ecuații exponențiale, funcții convexe
2	Trigonometrie: formule de transformare, semnul funcției cosinus
3	Numere complexe în geometrie, triunghi echilateral
4	Combinatorică, mulțimi, numărare dublă, inegalitatea mediilor

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2023, etapa națională, clasa a X-a? Patru probleme: ecuația $2 (5^{x} + 6^{x} - 3^{x}) = 7^{x} + 9^{x}$ , cel mai lung șir crescător de forma $\sin (n + 1), \dots, \sin (n + k)$ , trei puncte mobile pe laturile unui triunghi care formează un triunghi echilateral și o problemă de combinatorică despre tablouri colorate cu 15 culori.

Cum se punctează proba la olimpiada de matematică, etapa națională 2023? Subiectul are 4 probleme, iar conform baremului oficial fiecare problemă valorează 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se acordă puncte și pentru rezolvările parțiale, după barem, iar orice soluție corectă diferită de cea oficială se punctează corespunzător.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa națională 2023? Soluțiile și baremele de corectare pentru clasele IX–XII sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs; enunțurile problemelor sunt incluse în aceleași documente. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa națională 2023, liceu — clasa a IX-a · clasa a XI-a · clasa a XII-a. Aceeași clasă la etapa județeană: olimpiada de matematică 2023, etapa județeană, clasa a X-a. Alte competiții de matematică găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa națională, Craiova, 11 aprilie 2023): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate pe ssmr.ro. Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2023, etapa națională — clasa a X-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · ecuații exponențiale, funcții convexe)

Problema 2 (7 puncte · trigonometrie, monotonia funcției sinus)

Problema 3 (7 puncte · numere complexe în geometrie, triunghi echilateral)

Problema 4 (7 puncte · combinatorică, numărare dublă)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe