Olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a VI-a — subiecte și soluții

a) Scriem primele elemente: \(A = \{2, 5, 8, \ldots\}\) și \(B = \{1, 8, 15, \ldots\}\). Primul număr comun este 8, deci cel mai mic element al lui \(A \cap B\) este \(m = 8\). (4,5 p)

b) Numărăm separat elementele din \(A\), din \(B\) și pe cele comune.

1. Elementele lui \(A\) sunt de forma \(n = 3m + 2\), \(m \in \mathbb{N}\). Din \(3m + 2 \le 1000\) obținem \(m \le 332\), deci \(m\) ia valorile \(0, 1, 2, \ldots, 332\): \(A\) are 333 de elemente. (3 p)
2. Elementele lui \(B\) sunt de forma \(n = 7p + 1\), \(p \in \mathbb{N}\). Din \(7p + 1 \le 1000\) obținem \(p \le 142\), deci \(p\) ia valorile \(0, 1, \ldots, 142\): \(B\) are 143 de elemente. (3 p)
3. Dacă \(x \in A \cap B\), atunci \(x\) și 8 dau același rest la împărțirea cu 3 (restul 2) și cu 7 (restul 1), deci \(x - 8\) este divizibil cu 3 și cu 7; cum 3 și 7 sunt prime între ele, \(x - 8\) este divizibil cu 21. (3 p)
4. Reciproc, dacă \(21 \mid x - 8\) și \(x \le 1000\), atunci \(x - 8\) se împarte la 3 și la 7, deci \(x\) dă la împărțirea cu 3 și cu 7 aceleași resturi ca 8, adică \(x \in A \cap B\). (3 p)
5. Rezultă că \(x = 21k + 8 \le 1000\), cu \(0 \le k \le 47\) (pentru \(k = 47\): \(21 \cdot 47 + 8 = 995\); pentru \(k = 48\) am depăși 1000). Deci \(A \cap B\) are 48 de elemente. (3 p)
6. Numărul elementelor lui \(A \cup B\) se obține adunând elementele lui \(A\) cu cele ale lui \(B\) și scăzând elementele comune (altfel le-am număra de două ori): \(333 + 143 - 48 = 428\). (3 p)

Răspuns: a) 8; b) \(A \cup B\) are 428 de elemente.

Ideea: scăpăm de fracții și folosim proprietatea numerelor prime: dacă un număr prim divide un produs, atunci divide unul dintre factori.

1. Folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul extremilor este egal cu produsul mezilor), relația devine \[x\,(x + y + 8) = 2y\,(x + 1). \quad (*)\] (1,5 p)
2. Membrul stâng se împarte la \(x\), deci și \(2 \cdot y \cdot (x + 1)\) se împarte la \(x\). Cum \(x\) este prim, \(x\) divide 2, sau \(x\) divide \(y\), sau \(x\) divide \(x + 1\). (3 p)
3. Cazul 1: \(x \mid 2\), deci \(x = 2\). Din \((*)\): \(2(10 + y) = 6y\), adică \(20 + 2y = 6y\), deci \(y = 5\). (6 p)
4. Cazul 2: \(x \mid y\), adică \(y = d \cdot x\), cu \(d\) natural nenul. Înlocuind în \((*)\) și simplificând cu \(x\): \(x + dx + 8 = 2d(x + 1)\), de unde \(x + 8 = d\,(x + 2)\). Nu putem avea \(d = 1\), pentru că \(x + 8 \ne x + 2\). (3 p)
5. Atunci \(d \ge 2\) și \(x + 8\) \(\ge 2(x + 2)\) \(= 2x + 4\), prin urmare \(x \le 4\). Cum \(x\) este prim, \(x \in \{2, 3\}\). Dacă \(x = 2\), atunci \(d\) \(= \frac{10}{4}\) \(= \frac{5}{2} \notin \mathbb{N}\). Dacă \(x = 3\), atunci \(d\) \(= \frac{11}{5} \notin \mathbb{N}\). Așadar nu obținem soluții în acest caz. (3 p)
6. Cazul 3: \(x \mid x + 1\). Cum \(x \mid x\), rezultă \(x \mid (x + 1) - x\), adică \(x \mid 1\). Dar un număr prim este cel puțin 2, deci nu obținem soluții nici în acest caz. (6 p)

Verificare: \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\) și \(\frac{3}{15} = \frac{1}{5}\) ✓.

Soluție alternativă (din barem): desfăcând parantezele în \((*)\) obținem \(x^2 + 8x = y\,(x + 2)\) (4,5 p). Rezultă că \(x + 2\) divide \(x^2 + 8x\), deci divide și \((x^2 + 8x) - x(x + 2) = 6x\) (6 p). Atunci \(x + 2\) divide \(6(x + 2) - 6x = 12\) (6 p). Divizorii lui 12 care pot fi \(x + 2\) cu \(x\) prim: \(x + 2 \in \{4, 6, 12\}\) dă \(x \in \{2, 4, 10\}\), iar singurul prim este \(x = 2\) (3 p). Pentru \(x = 2\), din \(x^2 + 8x = y(x + 2)\) obținem \(20 = 4y\), \(y = 5\) (3 p).

Notă (din barem): dacă nu am cere ca \(x\) să fie prim, perechile de numere naturale (cu \(y\) nenul) care verifică relația ar fi \((1, 3)\), \((2, 5)\), \((4, 8)\) și \((10, 15)\).

Răspuns: \(x = 2\), \(y = 5\).

Ce știm din cercuri: \(CD = CA\) (rază a primului cerc), \(DE = DB\) (al doilea cerc), \(DF = DA\) (al treilea cerc). Unghiul de \(100^\circ\) este obtuz, deci el este unghiul din vârful triunghiului isoscel: \(AB = AC\).

a) Vom arăta că \(\triangle BDA \equiv \triangle CFD\). (1) (1,5 p)

1. În triunghiul \(ABC\): \(\angle ABC\) \(= \angle ACB\) \(= (180^\circ - 100^\circ) : 2\) \(= 40^\circ\). (3 p)
2. Triunghiul \(CAD\) este isoscel (\(CA = CD\)), deci \(\angle CAD\) \(= \angle CDA\) \(= \dfrac{180^\circ - \angle ACD}{2}\) \(= \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2}\) \(= 70^\circ\). (3 p)
3. Rezultă \(\angle DAB\) \(= \angle CAB - \angle CAD\) \(= 100^\circ - 70^\circ\) \(= 30^\circ\) și \(\angle ADB\) \(= 180^\circ - \angle DAB - \angle DBA\) \(= 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ\) \(= 110^\circ\). Triunghiul \(DAF\) este isoscel (\(DA = DF\)), deci \(\angle AFD\) \(= \angle FAD\) \(= 70^\circ\) și \(\angle CFD\) \(= 180^\circ - \angle AFD\) \(= 110^\circ\). (3 p)
4. Astfel \(DA = DF\), \(\angle BDA = \angle CFD\) \((= 110^\circ)\) și \(\angle ABD = \angle FCD\) \((= 40^\circ)\), deci, conform cazului de congruență LUU, afirmația (1) este demonstrată. Din congruență, laturile corespunzătoare sunt egale: \(CF = BD\), iar \(BD = DE\) (raze ale aceluiași cerc). Deci \(CF = DE\). (3 p)

b)

1. Din \(FM \parallel AB\) rezultă \(\angle CFM\) \(= \angle CAB\) \(= 100^\circ\) (unghiuri corespondente). Astfel \(\angle DFM\) \(= \angle DFC - \angle MFC\) \(= 110^\circ - 100^\circ\) \(= 10^\circ\). (3 p)
2. În triunghiul isoscel \(DEB\) (\(DE = DB\)) avem \(\angle DEB\) \(= \angle DBA\) \(= 40^\circ\), de unde \(\angle EDB\) \(= 180^\circ - 80^\circ\) \(= 100^\circ\), deci \(\angle ADE\) \(= \angle ADB - \angle EDB\) \(= 110^\circ - 100^\circ\) \(= 10^\circ\). (3 p)
3. Comparăm triunghiurile \(MFD\) și \(EDA\): \(\angle MFD = \angle EDA\) \((= 10^\circ)\), \(FD = DA\) și, din congruența (1), \(\angle MDF = \angle EAD\) (unghiul \(CDF\) corespunde unghiului \(BAD\), ambele de \(30^\circ\)). Obținem \(\triangle MFD \equiv \triangle EDA\) (ULU), de unde \(MD = AE\). (3 p)

a) Divizorii lui 72 sunt \(1\) \(\lt 2\) \(\lt 3\) \(\lt 4\) \(\lt 6\) \(\lt 8\) \(\lt 9\) \(\lt 12\) \(\lt 18\) \(\lt 24\) \(\lt 36\) \(\lt 72\). Pentru fiecare divizor, începând cu al patrulea, cea mai mare sumă de trei divizori precedenți este suma celor trei divizori chiar dinaintea lui, deci ajunge să verificăm cu aceștia: \(4 \le 1 + 2 + 3 = 6\), \(6 \le 2 + 3 + 4 = 9\), \(8 \le 3 + 4 + 6 = 13\), \(9 \le 4 + 6 + 8 = 18\), \(12 \le 6 + 8 + 9 = 23\), \(18 \le 8 + 9 + 12 = 29\), \(24 \le 9 + 12 + 18 = 39\), \(36 \le 12 + 18 + 24 = 54\), \(72 \le 18 + 24 + 36 = 78\). Toate sunt adevărate, deci 72 este lent. (4,5 p)

b) Fie \(M\) și \(N\) două numere lente. Produsul \(MN\) are sigur cel puțin patru divizori; trebuie să arătăm că fiecare divizor al lui \(MN\), începând cu al patrulea, este cel mult suma a trei divizori mai mici.

1. Orice divizor al lui \(MN\) se poate scrie sub forma \(mn\), unde \(m \mid M\) și \(n \mid N\). (3 p)
2. Dacă \(m\) nu este unul dintre cei mai mici trei divizori ai lui \(M\), atunci, pentru că \(M\) este lent, \(m \le m_1 + m_2 + m_3\), unde \(m_1 \lt m_2 \lt m_3 \lt m\) sunt divizori ai lui \(M\). Înmulțind cu \(n\): \(mn\) \(\le m_1 n + m_2 n + m_3 n\), iar \(m_1 n\) \(\lt m_2 n\) \(\lt m_3 n\) \(\lt mn\) sunt divizori ai lui \(MN\). Analog dacă \(n\) nu este unul dintre cei mai mici trei divizori ai lui \(N\). Astfel, în acest caz, \(mn\) este mai mic sau egal decât suma a trei divizori ai lui \(MN\) care îl preced. (6 p)
3. Pentru cazurile rămase, observăm că un număr lent \(L\) este divizibil cu 6. Altfel:
   • dacă \(2 \nmid L\) (L impar), divizorii lui \(L\) sunt toți impari, deci al doilea, al treilea și al patrulea divizor sunt cel puțin 3, 5, 7, iar cei trei divizori dinaintea lui \(L\) sunt cel mult \(\frac{L}{3}, \frac{L}{5}, \frac{L}{7}\), cu suma cel mult \(L\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)\) \(= \frac{71}{105}L\) \(\lt L\);
   • dacă \(3 \nmid L\), cei mai mici divizori după 1 sunt cel puțin 2, 4, 5, deci divizorii dinaintea lui \(L\) sunt cel mult \(\frac{L}{2}, \frac{L}{4}, \frac{L}{5}\), cu suma cel mult \(L\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)\) \(= \frac{19}{20}L\) \(\lt L\).
   În ambele situații, \(L\) (care este măcar al patrulea divizor) ar fi mai mare decât suma oricăror trei divizori precedenți — contradicție. Deci \(6 \mid L\), iar cei mai mici trei divizori ai unui număr lent sunt 1, 2, 3. (6 p)
4. Rezultă că rămân de analizat cazurile \(m, n \in \{1, 2, 3\}\), deci \(mn \in \{1, 2, 3, 4, 6, 9\}\) (toți aceștia divid \(MN\), care este divizibil cu 36). Dacă \(mn \le 3\), atunci \(mn\) este unul dintre primii trei termeni ai șirului divizorilor (nu trebuie verificat). Dacă \(mn \in \{4, 6\}\), atunci \(mn \le 1 + 2 + 3\). Iar dacă \(mn = 9\), atunci \(mn \le 2 + 3 + 6\). Deci \(MN\) este lent. (3 p)