Olimpiada de matematică 2024 județeană, clasa a IX-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a IX-a?

Patru probleme: o relație între vectori într-un patrulater convex din care rezultă că este paralelogram, șirul definit prin 2n · a_n+1 = (n+1)a_n și părțile fracționare ale sumelor parțiale, divizorii unui număr compus pentru care niște ecuații de gradul al doilea au soluții reale și o problemă cu ortocentrul și cercul circumscris.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2024?

Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare problemă valorează 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2024, la liceu?

Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa județeană, clasa a IX-a (duminică, 10 martie 2024), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: o relație vectorială care forțează un paralelogram; $a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ și $b_{n} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ ; dacă toate ecuațiile au soluții reale, divizorii formează o progresie geometrică, deci $n = p^{k - 1}$ ; $H Y = H Z$ și $\vec{A Y} + \vec{A Z} = 2 \vec{O O^{'}}$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 10 martie 2024, toți elevii de clasa a IX-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial din 2024, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · vectori, paralelogram)

Fie patrulaterul convex $A B C D$ , ale cărui diagonale se intersectează în punctul $O$ . Dacă $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A O}$ $= \vec{B C} + \vec{D C} + \vec{O C}$ , arătați că $A B C D$ este un paralelogram. (Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Soluția 1.

Aplicând regula triunghiului (descompunem fiecare vector prin $O$ ) obținem $\vec{A O} + \vec{O B} + \vec{A O} + \vec{O D} + \vec{A O}$ $= \vec{B O} + \vec{O C} + \vec{D O} + \vec{O C} + \vec{O C},$ adică $2 \cdot (\vec{O B} + \vec{O D}) = 3 \cdot (\vec{O A} + \vec{O C}) .$ (2 p)
Vectorii $\vec{O B}$ și $\vec{O D}$ sunt coliniari, la fel $\vec{O A}$ și $\vec{O C}$ , deci există $α, β \in R$ astfel încât $\vec{O B} + \vec{O D}$ $= α \cdot \vec{O B}$ și $\vec{O A} + \vec{O C}$ $= β \cdot \vec{O A}$ . Atunci $2 α \cdot \vec{O B}$ $= 3 β \cdot \vec{O A}$ și, cum vectorii $\vec{O A}$ și $\vec{O B}$ sunt necoliniari, rezultă $α = β = 0$ . (3 p)
Deci $\vec{O A} + \vec{O C}$ $= \vec{0}$ și $\vec{O B} + \vec{O D}$ $= \vec{0}$ , adică $O$ este mijlocul fiecăreia dintre diagonale, așadar $A B C D$ este un paralelogram. (2 p)

Soluția 2. Fie $M$ și $N$ mijloacele diagonalelor $B D$ , respectiv $A C$ .

Relația din enunț se scrie $2 \cdot \vec{A M} + \vec{A O}$ $= 2 \cdot \vec{M C} + \vec{O C}$ . (2 p)
Deducem $2 \cdot (\vec{A M} + \vec{C M})$ $= \vec{O C} + \vec{O A}$ , adică $4 \cdot \vec{N M}$ $= 2 \cdot \vec{O N}$ . (3 p)
Rezultă că punctele $M$ , $N$ și $O$ sunt coliniare, ceea ce se întâmplă doar dacă $M = N = O$ ( $M$ și $O$ sunt pe $B D$ , $N$ și $O$ pe $A C$ ). Astfel $O$ este mijlocul fiecărei diagonale, deci $A B C D$ este paralelogram. (2 p)

Problema 2 (7 puncte · șiruri, progresii, partea fracționară)

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1} = \frac{1}{2}$ și $2 n \cdot a_{n + 1}$ $= (n + 1) a_{n}$ , oricare ar fi numărul natural nenul $n$ .

a) Stabiliți formula termenului general $a_{n}$ al șirului, unde $n$ este un număr natural nenul.

b) Dacă $b_{n}$ $= a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ , arătați că numerele ${b_{n}}$ , ${b_{n + 1}}$ și ${b_{n + 2}}$ nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice pentru niciun număr natural nenul $n$ .

(Am notat cu ${x}$ partea fracționară a numărului real $x$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

a) Relația se scrie $\frac{a_{n + 1}}{n + 1}$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{a_{n}}{n}$ , oricare ar fi $n \geq 1$ . Deci șirul ${(\frac{a_{n}}{n})}_{n \geq 1}$ este o progresie geometrică de rație $\frac{1}{2}$ : $\frac{a_{n}}{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot a_{1} = {(\frac{1}{2})}^{n}, deci a_{n} = \frac{n}{2^{n}} .$ (Altfel: se calculează primii termeni, se formulează ipoteza $a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ și se demonstrează prin inducție.) (3 p)

Avem $b_{n} = 2 b_{n} - b_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} - \frac{n}{2^{n}}$ $= 2 - \frac{1}{2^{n - 1}} - \frac{n}{2^{n}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} .$ Observăm că ${b_{1}} = \frac{1}{2}$ , iar ${b_{2}} = 0$ . Pentru $n = 3$ : $2^{3} > 3 + 2$ ; dacă $2^{k} > k + 2$ pentru un $k \geq 3$ , atunci $2^{k + 1}$ $= 2 \cdot 2^{k}$ $> 2 k + 4$ $> (k + 1) + 2$ . Deci $2^{n} > n + 2$ pentru orice $n \geq 3$ , adică $1 < b_{n} < 2$ și ${b_{n}} = 1 - \frac{n + 2}{2^{n}}, \forall n \geq 3.$ (2 p)
Presupunem, prin absurd, că ${b_{n}}, {b_{n + 1}}, {b_{n + 2}}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice pentru un $n \geq 3$ . Cum ${b_{n}}$ $\leq {b_{n + 1}}$ $\leq {b_{n + 2}}$ , ordinea în progresie este bine determinată și obținem $\frac{n + 2}{2^{n}} + \frac{n + 4}{2^{n + 2}} = \frac{n + 3}{2^{n}}$ $\Leftrightarrow 5 n + 12 = 4 n + 12,$ adică $n = 0$ , fals. Pentru $n = 1$ și $n = 2$ , numerele $\frac{1}{2}, 0, \frac{3}{8}$ , respectiv $0, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}$ nu sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. (2 p)

Notă din barem: dacă sunt omise cazurile $n = 1$ și $n = 2$ , se scade 1 punct.

Problema 3 (7 puncte · divizori, ecuația de gradul al doilea, progresii geometrice)

Se consideră numărul natural compus $n$ și $1$ $= d_{1}$ $< d_{2}$ $< d_{3}$ $< \dots$ $< d_{k}$ $= n$ divizorii naturali ai lui $n$ , unde $k \geq 3$ . Dacă toate ecuațiile $d_{i + 2} x^{2} - 2 d_{i + 1} x + d_{i}$ $= 0$ , unde $i \in {1, 2, \dots, k - 2}$ , au soluții reale, arătați că există un număr prim $p$ astfel încât $n = p^{k - 1}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ecuațiile au soluții reale, deci discriminantul este nenegativ: $4 d_{i + 1}^{2} - 4 d_{i + 2} \cdot d_{i} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{d_{i + 1}}{d_{i}} \geq \frac{d_{i + 2}}{d_{i + 1}} (*),$ oricare ar fi $i \in {1, 2, \dots, k - 2}$ . (1 p)
Cum $d_{2}$ este cel mai mic divizor propriu al lui $n$ , numărul $\frac{n}{d_{2}}$ este cel mai mare divizor propriu, deci $\frac{n}{d_{2}} = d_{k - 1}$ . Avem $\frac{n}{d_{2}} = d_{k - 1} = \prod_{i = 1}^{k - 2} \frac{d_{i + 1}}{d_{i}} \geq \prod_{i = 1}^{k - 2} \frac{d_{i + 2}}{d_{i + 1}} = \frac{n}{d_{2}} .$ Rezultă că toate inegalitățile $(*)$ sunt egalități. (3 p)
Deci $d_{i + 1}^{2}$ $= d_{i + 2} \cdot d_{i}$ pentru orice $i \in {1, 2, \dots, k - 2}$ , adică numerele $1$ $= d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{k}$ $= n$ (în această ordine) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice de rație $d_{2}$ ; așadar $n = d_{2}^{k - 1}$ . (2 p)
Cel mai mic divizor propriu al unui număr compus este un număr prim: $d_{2} = p$ , cu $p$ prim, deci $n = p^{k - 1}$ . (1 p)

Problema 4 (7 puncte · ortocentru, cercul circumscris, vectori)

Fie $H$ ortocentrul triunghiului ascuțitunghic $A B C$ și $X$ mijlocul laturii $B C$ . Perpendiculara în $H$ pe $H X$ taie laturile $(A B)$ și $(A C)$ în punctele $Y$ , respectiv $Z$ . Notăm cu $O$ centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$ și cu $O^{'}$ centrul cercului circumscris triunghiului $B H C$ .

a) Arătați că $H Y = H Z$ .

b) Demonstrați că $\vec{A Y} + \vec{A Z}$ $= 2 \vec{O O^{'}}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Fie $A^{'}$ punctul diametral opus lui $A$ pe cercul circumscris triunghiului $A B C$ . Se știe că $H$ și $A^{'}$ sunt simetrice față de $X$ , deci $H$ , $X$ , $A^{'}$ sunt coliniare. Atunci $∠ A B A^{'}$ $= ∠ A C A^{'}$ $= 90^{\circ}$ . Cum și $∠ Y H A^{'}$ $= ∠ Z H A^{'}$ $= 90^{\circ}$ , patrulaterele $A^{'} B Y H$ și $A^{'} C Z H$ sunt inscriptibile, deci $∠ Y B H = ∠ Y A^{'} H$ și $∠ Z C H = ∠ Z A^{'} H$ . (2 p)
Din triunghiurile dreptunghice $B E A$ și $C F A$ ( $E$ și $F$ sunt picioarele înălțimilor duse din $B$ , respectiv $C$ ) avem $∠ A B E$ $= ∠ A C F$ $= 90^{\circ} - ∠ B A C$ . (1 p)
În consecință $∠ Y A^{'} H = ∠ Z A^{'} H$ , deci $A^{'} H$ este în același timp înălțime și bisectoare în triunghiul $Y A^{'} Z$ , prin urmare și mediană: $H Y = H Z$ . (1 p)

Din a), $H$ este mijlocul lui $Y Z$ , deci $\vec{A Z} + \vec{A Y}$ $= 2 \vec{A H}$ . (1 p)
Simetricul $H^{'}$ al ortocentrului $H$ față de latura $B C$ se află pe cercul circumscris triunghiului $A B C$ , deci simetricul cercului circumscris triunghiului $B H C$ față de $B C$ este cercul circumscris triunghiului $B H^{'} C$ , adică cercul circumscris triunghiului $A B C$ . Astfel, $O^{'}$ este simetricul lui $O$ față de $B C$ . (1 p)
Deducem $\vec{O O^{'}}$ $= 2 \vec{O X}$ $= \vec{A H}$ , deoarece $O X$ este linie mijlocie în triunghiul $H A^{'} A$ . De aici $\vec{A Z} + \vec{A Y}$ $= 2 \vec{O O^{'}}$ . (1 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$2 (\vec{O B} + \vec{O D}) = 3 (\vec{O A} + \vec{O C})$ , deci ambele sume sunt nule: $A B C D$ paralelogram
2	a) $a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ ; b) $b_{n} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ , iar progresia ar cere $n = 0$
3	divizorii formează o progresie geometrică de rație $d_{2} = p$ prim, deci $n = p^{k - 1}$
4	a) $A^{'} H$ este înălțime și bisectoare în triunghiul $Y A^{'} Z$ ; b) $\vec{O O^{'}} = \vec{A H}$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Vectori, coliniaritate	formule clasa a 9-a
2	Șiruri, progresii, partea fracționară, inducție	formule clasa a 9-a
3	Divizori, discriminant, progresii geometrice	formule clasa a 9-a
4	Ortocentru, patrulatere inscriptibile, vectori	formule clasa a 9-a

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2024, etapa județeană, clasa a IX-a? Patru probleme: o relație între vectori într-un patrulater convex din care rezultă că este paralelogram, șirul definit prin $2 n \cdot a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ și părțile fracționare ale sumelor parțiale, divizorii unui număr compus pentru care niște ecuații de gradul al doilea au soluții reale și o problemă cu ortocentrul și cercul circumscris.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2024? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremelor oficiale din 2024, fiecare problemă valorează 7 puncte, fără puncte din oficiu, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2024, la liceu? Soluțiile și baremele de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte

Alte clase de liceu, etapa județeană 2024: clasa a X-a · clasa a XI-a · clasa a XII-a. Formulele utile le găsești la formule clasa a 9-a.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · Concursuri școlare de matematică

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 10 martie 2024): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2024, etapa județeană — clasa a IX-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · vectori, paralelogram)

Problema 2 (7 puncte · șiruri, progresii, partea fracționară)

Problema 3 (7 puncte · divizori, ecuația de gradul al doilea, progresii geometrice)

Problema 4 (7 puncte · ortocentru, cercul circumscris, vectori)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe