Olimpiada de matematică 2025 județeană, clasa a X-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a X-a?

Patru probleme: ecuația _7(6^x + 1) = _6(7^x - 1), o ecuație exponențială cu partea întreagă și partea fracționară, o ecuație funcțională cu numere complexe și o problemă despre un hexagon convex cu unghiurile alternante congruente.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2025, etapa județeană, clasa a X-a (sâmbătă, 8 martie 2025), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: ecuația logaritmică de la problema 1 are soluția unică $x = 1$ ; la problema 2, $x \in {1 - \log_{3} 2, \log_{3} \frac{11}{12}}$ ; la problema 3, funcțiile sunt $f (z) = c z$ cu $| c | = 1$ ; problema 4 este o problemă de geometrie rezolvată cu numere complexe.

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației și Cercetării împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 8 martie 2025, toți elevii de clasa a X-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28 de puncte. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate se califică la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · ecuații logaritmice, monotonie)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

$\log_{7} (6^{x} + 1)$ $= \log_{6} (7^{x} - 1) .$

(Gazeta Matematică)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: notăm valoarea comună a celor doi logaritmi cu $y$ ; obținem un sistem simetric, din care, folosind monotonia, rezultă $x = y$ .

Soluția 1

Notând $\log_{7} (6^{x} + 1)$ $= \log_{6} (7^{x} - 1)$ $= y$ , obținem sistemul $6^{x} + 1 = 7^{y}$ și $7^{x} - 1 = 6^{y}$ . (2 p)
Prin adunare, $6^{x} + 7^{x} = 6^{y} + 7^{y}$ . Funcția $f : R \to R$ , $f (t) = 6^{t} + 7^{t}$ este strict crescătoare (sumă de două funcții strict crescătoare), deci injectivă, așadar $x = y$ . (2 p)
Rămâne ecuația $6^{x} + 1 = 7^{x}$ , adică ${(\frac{6}{7})}^{x} + {(\frac{1}{7})}^{x}$ $= 1$ . Funcția $g (t)$ $= {(\frac{6}{7})}^{t} + {(\frac{1}{7})}^{t}$ este strict descrescătoare (sumă de două funcții strict descrescătoare), deci injectivă, iar relația se scrie $g (x) = g (1)$ . Conchidem că $x = 1$ , valoare care verifică ecuația din enunț. (3 p)

Soluția 2: funcția $f : R \to (0, \infty)$ , $f (x) = \log_{7} (6^{x} + 1)$ este inversabilă, cu inversa $f^{- 1} : (0, \infty) \to R$ , $f^{- 1} (x)$ $= \log_{6} (7^{x} - 1)$ (2 p). Ecuația devine $f (x) = f^{- 1} (x)$ ; cum $f$ este strict crescătoare, aceasta este echivalentă cu $f (x) = x$ , unde $x \in (0, \infty)$ (2 p). Se ajunge tot la $6^{x} + 1 = 7^{x}$ , cu soluția unică $x = 1$ (3 p).

Verificare: $\log_{7} (6 + 1)$ $= 1$ $= \log_{6} (7 - 1)$ . ✓ Răspuns: $x = 1$ .

Problema 2 (7 puncte · funcția exponențială, partea întreagă)

Aflați numerele reale $x$ pentru care

$3^{x} + 3^{[x]} + 3^{{x}}$ $= 4.$

( $[x]$ și ${x}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară ale numărului real $x$ .)

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: exponențialele cresc repede: pentru $x \geq 1$ membrul stâng este prea mare, iar pentru $x < - 1$ prea mic; rămân intervalele $[- 1, 0)$ și $[0, 1)$ , pe care $[x]$ este constant.

Nu există soluții $x \in [1, \infty)$ : dacă $x \geq 1$ , atunci $[x] \geq 1$ și, cum ${x} \in [0, 1)$ , obținem $3^{x} + 3^{[x]} + 3^{{x}}$ $\geq 3 + 3 + 1$ $= 7$ $> 4$ , fals. (1 p)
Nu există soluții $x \in (- \infty, - 1)$ : dacă $x < - 1$ , atunci $[x] \leq - 2$ și, cum ${x} \in [0, 1)$ , obținem $3^{x} + 3^{[x]} + 3^{{x}}$ $< 3^{- 1} + 3^{- 2} + 3^{1}$ $= \frac{31}{9}$ $< 4$ , fals. (2 p)
Dacă $x \in [0, 1)$ , atunci $[x] = 0$ , ${x} = x$ , iar ecuația devine $3^{x} + 1 + 3^{x}$ $= 4$ $\Leftrightarrow 2 \cdot 3^{x}$ $= 3$ . Obținem soluția $x_{1} = 1 - \log_{3} 2$ , care aparține intervalului $[0, 1)$ . (2 p)
Dacă $x \in [- 1, 0)$ , atunci $[x] = - 1$ , ${x} = x + 1$ , iar ecuația devine $3^{x} + \frac{1}{3} + 3^{x + 1}$ $= 4$ $\Leftrightarrow 4 \cdot 3^{x}$ $= \frac{11}{3}$ . Obținem soluția $x_{2}$ $= \log_{3} \frac{11}{12}$ , care aparține intervalului $[- 1, 0)$ , deoarece $\frac{1}{3}$ $\leq \frac{11}{12}$ $< 1$ . În concluzie, există două numere reale, $x_{1}$ și $x_{2}$ , cu proprietatea din enunț. (2 p)

Răspuns: $x \in {1 - \log_{3} 2, \log_{3} \frac{11}{12}}$ (aproximativ $0,369$ și $- 0,079$ ).

Problema 3 (7 puncte · numere complexe, ecuații funcționale)

Determinați funcțiile $f : C \to C$ cu proprietatea că

$| w f (z) + z f (w) | = 2 | z w |$

pentru orice $z, w \in C$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: particularizări ( $w = 0$ , $w = z$ , $w = 1$ ) și cazul de egalitate în inegalitatea triunghiului $| u + v | \leq | u | + | v |$ .

Luând $z = 1$ și $w = 0$ obținem $| f (0) | = 0$ , deci $f (0) = 0$ . Pentru $w = z \in C^{*}$ obținem $2 | z | \cdot | f (z) | = 2 | z |^{2}$ , deci $| f (z) | = | z |$ ; cum egalitatea are loc și pentru $z = 0$ , rezultă $| f (z) | = | z |$ pentru orice $z \in C$ . (2 p)
Atunci $| f (1) | = 1$ și, pentru $w = 1$ , obținem $2 | z |$ $= | f (z) + z f (1) |$ $\leq | f (z) | + | z f (1) |$ $= 2 | z |$ , pentru orice $z \in C$ . (2 p)
Avem deci egalitate în inegalitatea triunghiului: pentru fiecare $z \in C^{*}$ există $t_{z} \in R$ , $t_{z} \geq 0$ (depinzând de $z$ ), astfel încât $f (z) = t_{z} \cdot f (1) z$ . Trecând la modul și simplificând, $| z |$ $= t_{z} \cdot 1 \cdot | z |$ , deci $t_{z} = 1$ . În concluzie, $f (z) = c z$ pentru orice $z \in C$ , unde $c = f (1)$ este un număr complex de modul 1. (2 p)
Se verifică imediat că orice funcție $f (z) = c z$ , cu $c \in C$ , $| c | = 1$ , este soluție: $| w \cdot c z + z \cdot c w |$ $= | c | \cdot | 2 z w |$ $= 2 | z w |$ . (1 p)

Răspuns: $f (z) = c z$ , unde $c \in C$ , $| c | = 1$ .

Problema 4 (7 puncte · geometrie, numere complexe)

Fie $A B C D E F$ un hexagon convex cu $∠ A \equiv ∠ C \equiv ∠ E$ și $∠ B \equiv ∠ D \equiv ∠ F$ .

a) Demonstrați că există un unic punct în plan care este egal depărtat de laturile $A B$ , $C D$ și $E F$ ale hexagonului.

b) Dacă notăm cu $P$ punctul de la a), iar $G_{1} \neq G_{2}$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $A C E$ , respectiv $B D F$ , arătați că $∠ G_{1} P G_{2} = 60^{\circ}$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Ideea: prelungind laturile $A B$ , $C D$ , $E F$ obținem un triunghi echilateral $X Y Z$ , iar $P$ este centrul lui. În planul complex cu originea în $P$ , cele trei triunghiuri „de colț” sunt asemenea și se obțin prin aceeași rotație cu $60^{\circ}$ urmată de o omotetie.

Notăm $∠ A$ $= ∠ C$ $= ∠ E$ $= α$ și $∠ B$ $= ∠ D$ $= ∠ F$ $= β$ . Suma unghiurilor hexagonului este $3 α + 3 β$ $= 720^{\circ}$ , deci $α + β = 240^{\circ}$ . (1 p)
Deoarece $∠ B + ∠ C$ $= α + β$ $= 240^{\circ}$ , dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează într-un punct situat în exteriorul hexagonului; analog pentru $C D$ și $E F$ , respectiv $E F$ și $A B$ . Notăm ${X} = A B \cap C D$ , ${Y} = C D \cap E F$ , ${Z} = E F \cap A B$ . Centrul cercului înscris în triunghiul $X Y Z$ este unicul punct egal depărtat de laturile $A B$ , $C D$ și $E F$ ale hexagonului. (2 p)

Triunghiul $X Y Z$ are toate unghiurile de $60^{\circ}$ (de exemplu, în triunghiul $B C X$ : $∠ X$ $= 180^{\circ} - (180^{\circ} - β) - (180^{\circ} - α)$ $= α + β - 180^{\circ}$ $= 60^{\circ}$ ), deci este echilateral, iar $P$ este centrul său. În planul complex, luăm originea în $P$ și notăm cu literă mică afixul punctului notat cu litera mare corespunzătoare. Din asemănarea $△ B C X \sim △ D E Y \sim △ F A Z$ (u.u.), există $k \in R$ , $k > 0$ , astfel încât $\frac{c - x}{b - x}$ $= \frac{e - y}{d - y}$ $= \frac{a - z}{f - z}$ $= k \cdot ϵ$ , unde $ϵ$ $= \cos \frac{π}{3} \pm i \sin \frac{π}{3}$ . Obținem $c - x = (b - x) k ϵ$ , $e - y = (d - y) k ϵ$ , $a - z = (f - z) k ϵ$ . (2 p)
Deoarece $p$ $= \frac{x + y + z}{3}$ $= 0$ , prin adunare deducem $c + e + a$ $= (b + d + f) \cdot k ϵ$ , adică $g_{1} = g_{2} \cdot k ϵ$ . Din ipoteza $G_{1} \neq G_{2}$ rezultă că $g_{1}$ și $g_{2}$ nu pot fi 0, deci $G_{1}$ , $G_{2}$ , $P$ sunt puncte distincte două câte două. Așadar $\frac{g_{1} - p}{g_{2} - p}$ $= k ϵ$ , cu $k > 0$ și argumentul lui $ϵ$ egal cu $\pm 60^{\circ}$ , adică $∠ G_{1} P G_{2} = 60^{\circ}$ . (2 p)

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$x = 1$
2	$x \in {1 - \log_{3} 2, \log_{3} \frac{11}{12}}$
3	$f (z) = c z$ , cu $c \in C$ , $\| c \| = 1$
4	a) centrul triunghiului echilateral $X Y Z$ ; b) demonstrație cu numere complexe

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă	Recapitulează
1	Funcția logaritmică, injectivitate, monotonie	formule clasa a 10-a
2	Funcția exponențială, partea întreagă	formule clasa a 10-a
3	Numere complexe, modul, inegalitatea triunghiului	formule clasa a 10-a
4	Geometrie plană, numere complexe în geometrie	formule clasa a 10-a

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2025, etapa județeană, clasa a X-a? Patru probleme: ecuația $\log_{7} (6^{x} + 1) = \log_{6} (7^{x} - 1)$ , o ecuație exponențială cu partea întreagă și partea fracționară, o ecuație funcțională cu numere complexe și o problemă despre un hexagon convex cu unghiurile alternante congruente.

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2025, la liceu? Timpul de lucru este de 3 ore pentru 4 probleme. Conform baremului oficial din 2025, fiecare problemă se notează cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem; orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2025, la liceu? Subiectele cu soluțiile și baremul de corectare sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și Cercetării și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate după concurs pe site-ul SSMR. Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa județeană 2025 — clasa a IX-a · clasa a XI-a · clasa a XII-a · olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate · concursuri de matematică. Formulele utile le găsești la formule clasa a 10-a.

Subiect oficial © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană, 8 martie 2025): enunțurile, soluțiile și baremul, publicate de SSMR. Explicațiile: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2025, etapa județeană — clasa a X-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · ecuații logaritmice, monotonie)

Problema 2 (7 puncte · funcția exponențială, partea întreagă)

Problema 3 (7 puncte · numere complexe, ecuații funcționale)

Problema 4 (7 puncte · geometrie, numere complexe)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe