Olimpiada de matematică 2022 județeană, clasa a X-a

Q: Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a X-a?

Patru probleme: o ecuație cu logaritmi în baze x și 2 pe intervalul ≤ft(0, (3)/(4)), o inegalitate pentru trei numere complexe de modul 1, numărarea numerelor „interesante” n ≤ 2022 pentru care 1 + z + z² + z^n-1 + z^n = 0 are o soluție de modul 1 și o ecuație funcțională pe ℝ.

Q: Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022?

La clasa a X-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme (la clasele V–VI, 2 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Q: Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022, la liceu?

Soluțiile cu baremul de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Subiectele oficiale de la Olimpiada Națională de Matematică 2022, etapa județeană, clasa a X-a (sâmbătă, 26 martie 2022), cu soluțiile explicate pas cu pas după baremul oficial. Pe scurt: ecuația logaritmică are soluția unică $x = \frac{1}{2}$ ; problema 2 se reduce la $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$ ; există 404 numere interesante până la 2022; singura funcție de la problema 4 este $f (x) = x$ .

Olimpiada Națională de Matematică este organizată de Ministerul Educației împreună cu Societatea de Științe Matematice din România (SSMR) și are trei etape: locală, județeană (și a sectoarelor municipiului București) și națională. La etapa județeană din 26 martie 2022, toți elevii de clasa a X-a din țară au primit același subiect: 4 probleme, timp de lucru 3 ore. Conform baremului oficial, fiecare problemă este notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Pe baza clasamentului județean, elevii cu cele mai bune rezultate s-au calificat la etapa națională, în limita locurilor stabilite de regulament.

Cum să folosești pagina: citește enunțul, încearcă singur cel puțin 20–30 de minute, apoi deschide soluția. Punctajele din paranteze sunt cele din baremul oficial — așa vezi ce pași contează la corectare. Orice altă soluție corectă primește punctajul maxim.

Cuprins: Problema 1 · Problema 2 · Problema 3 · Problema 4 · Răspunsuri pe scurt

Problema 1 (7 puncte · ecuații logaritmice)

Determinați $x \in (0, \frac{3}{4})$ pentru care:

\log_{x} (1 - x) + \log_{2} \frac{1 - x}{x} = \frac{1}{(\log_{2} x)^{2}} .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Notăm $a = \log_{2} x$ și $b = \log_{2} (1 - x)$ ; ecuația devine $\frac{b}{a} + b - a$ $= \frac{1}{a^{2}}$ , de unde se obține

(a + 1) (a^{2} - a - a b + 1) = 0.

(2 p)

Dacă $a^{2} - a - a b + 1 = 0$ , cum $a \neq 0$ ( $x \neq 1$ ), obținem $b$ $= \frac{a^{2} - a + 1}{a}$ $= a + \frac{1}{a} - 1$ , de unde $a + \frac{1}{a} = b + 1$ . (1 p)

Din $x \in (0, \frac{3}{4})$ rezultă $1 - x \in (\frac{1}{4}, 1)$ , de unde $b$ $= \log_{2} (1 - x) \in (- 2, 0)$ . (1 p)

Ca urmare, $a + \frac{1}{a} \in (- 1, 1)$ , imposibil, deoarece $a < 0$ și $t + \frac{1}{t} \leq - 2$ , pentru orice $t < 0$ . (2 p)

Rămâne că $a + 1 = 0$ , adică $\log_{2} x = - 1$ , pentru care se obține soluția (unică) $x = \frac{1}{2}$ . (1 p)

Verificare: $\log_{1 / 2} \frac{1}{2} + \log_{2} 1$ $= 1 + 0$ $= 1$ $= \frac{1}{(- 1)^{2}}$ .

Problema 2 (7 puncte · numere complexe, geometrie în planul complex)

Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ numere complexe de modul 1, cu proprietatea că $| z_{i} - z_{j} | \geq \sqrt{2}$ , pentru orice $i, j \in {1, 2, 3}$ , $i \neq j$ . Demonstrați că

| z_{1} + z_{2} | + | z_{2} + z_{3} | + | z_{3} + z_{1} | \leq 3.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Considerăm un reper cartezian $x O y$ . Dacă $A, B, C$ sunt punctele de afixe $z_{1}, z_{2}$ , respectiv $z_{3}$ , atunci triunghiul $A B C$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază 1.

Arătăm că acest triunghi nu are unghiuri obtuze. Dacă, de exemplu, $∠ B A C > π / 2$ , atunci $m (\overset{⌢}{A B}) + m (\overset{⌢}{A C})$ $< π$ , deci $min {m (\overset{⌢}{A B}), m (\overset{⌢}{A C})}$ $< \frac{π}{2}$ .

Deducem astfel că $min {A B, A C}$ $< \sqrt{2}$ (o coardă care subîntinde un arc mai mic decât $\frac{π}{2}$ în cercul de rază 1 are lungimea mai mică decât $\sqrt{2}$ ), contradicție cu $| z_{1} - z_{2} | \geq \sqrt{2}$ și $| z_{1} - z_{3} | \geq \sqrt{2}$ . Prin urmare, triunghiul $A B C$ nu este obtuzunghic, deci punctul $O$ se află în interiorul triunghiului sau pe una dintre laturi. (3 p)

Fie $M$ mijlocul lui $B C$ . Atunci $M$ are afixul $\frac{z_{2} + z_{3}}{2}$ , deci $| z_{2} + z_{3} | = 2 O M$ . (1 p)

Dacă unghiul $A$ al triunghiului $A B C$ este ascuțit, atunci $O M$ $= O B \cdot \cos (∠ B O M)$ . Cum $O B = 1$ , iar $∠ B A C \equiv ∠ B O M$ , rezultă $O M = \cos A$ (relație care se verifică și dacă $A = π / 2$ , întrucât $O$ și $M$ coincid în acest caz). Ca urmare, $| z_{2} + z_{3} | = 2 \cos A$ , și analog $| z_{1} + z_{3} | = 2 \cos B$ , respectiv $| z_{1} + z_{2} | = 2 \cos C$ . (2 p)

Cum $\cos A + \cos B + \cos C$ $\leq \frac{3}{2}$ , se obține concluzia: $| z_{1} + z_{2} | + | z_{2} + z_{3} | + | z_{3} + z_{1} |$ $= 2 (\cos A + \cos B + \cos C)$ $\leq 3$ . (1 p)

Problema 3 (7 puncte · numere complexe, rădăcinile unității)

Un număr natural $n \geq 4$ se numește interesant dacă există cel puțin un număr complex $z$ de modul 1 pentru care $1 + z + z^{2} + z^{n - 1} + z^{n}$ $= 0$ .

Determinați câte numere interesante sunt cel mult egale cu 2022.

Vezi soluția (după baremul oficial)

Din $z \cdot \overset{―}{z}$ $= | z |^{2}$ $= 1$ obținem $\overset{―}{z}$ $= \frac{1}{z}$ , iar relația $1 + \overset{―}{z} + {\overset{―}{z}}^{2} + {\overset{―}{z}}^{n - 1} + {\overset{―}{z}}^{n}$ $= 0$ (conjugata relației din enunț) conduce la

1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{z^{n - 1}} + \frac{1}{z^{n}} = 0

sau $z^{n} + z^{n - 1} + z^{n - 2} + z + 1$ $= 0$ ; ținând cont de relația din ipoteză se deduce că $z^{n - 2} = z^{2}$ sau $z^{n - 4} = 1$ . (3 p)

Atunci $z^{n} + z^{n - 1} + z^{2} + z + 1$ $= z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1$ $= 0$ , de unde rezultă că $z^{5} = 1$ (și $z \neq 1$ ). Deducem că $5 ∣ (n - 4)$ , deci orice număr interesant are forma $n = 5 k + 4$ , $k \in N$ , pentru care condiția din enunț este verificată de orice $z \in C ∖ {1}$ astfel încât $z^{5} = 1$ . (3 p)

Din $4 \leq 5 k + 4 \leq 2022$ deducem $0 \leq k \leq 403$ , deci există 404 numere interesante. (1 p)

Problema 4 (7 puncte · ecuații funcționale, injectivitate)

Determinați funcțiile $f : R \to R$ care verifică relația

f (f (y - x) - x f (y)) + f (x) = y \cdot (1 - f (x)),

pentru orice $x, y \in R$ .

Vezi soluția (după baremul oficial)

Relația din enunț se rescrie

f (f (y - x) - x f (y)) = y - (y + 1) f (x), \forall x, y \in R . (1)

Pentru $x = 0$ , din (1) rezultă

f (f (y)) = (1 - f (0)) \cdot y - f (0), \forall y \in R . (2)

(1 p)

Presupunând $f (0) = 1$ , ar rezulta că $(f \circ f) (y) = - 1$ , pentru orice $y \in R$ (3). Prin compunere la stânga cu $f$ în relația (1), din (3) ar rezulta că $f (y - (y + 1) f (x))$ $= - 1$ , pentru orice $x, y \in R$ , relație din care, înlocuind $x$ cu $f (x)$ și luând $y = - \frac{1}{2}$ (atunci $y - (y + 1) f (f (x))$ $= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ $= 0$ ), obținem $f (0) = - 1$ , contradicție. Ca urmare, $f (0) \neq 1$ . (2 p)

Atunci funcția $h : R \to R$ , $h (y)$ $= (1 - f (0)) \cdot y - f (0)$ , este injectivă, iar cum $f \circ f = h$ (din relația (2)), rezultă că $f$ este injectivă. (1 p)

Din (1), pentru $y = - 1$ , rezultă că $f (f (- 1 - x) - x f (- 1))$ $= - 1$ , pentru orice $x \in R$ , de unde, înlocuind $x$ cu $- (x + 1)$ , obținem:

f (f (x) + (x + 1) f (- 1)) = - 1, \forall x \in R . (4)

Pentru $x = - 1$ , din (4) rezultă că $f (f (- 1)) = - 1$ , iar relația (4) se rescrie:

f (f (x) + (x + 1) f (- 1)) = f (f (- 1)), \forall x \in R .

Cum $f$ este injectivă, deducem că $f (x) + (x + 1) f (- 1)$ $= f (- 1)$ , pentru orice $x \in R$ , de unde, notând $a = - f (- 1)$ , rezultă că $f (x) = a x$ , pentru orice $x \in R$ . (2 p)

Înlocuind în relația (1) și efectuând calculele, obținem:

(a^{2} - a) x y + (a^{2} - a) x - (a^{2} - 1) y = 0, \forall x, y \in R .

Reiese că $a^{2} - a = 0$ și $a^{2} - 1 = 0$ , de unde rezultă că $a = 1$ . Singura soluție este $f (x) = x$ , pentru orice $x \in R$ . (1 p)

Notă: în baremul oficial apare scris „ $a^{2} - a$ $= a^{2} + a$ $= a^{2} - 1$ $= 0$ ”; coeficienții obținuți prin calcul sunt $a^{2} - a$ , $a^{2} - a$ și $a^{2} - 1$ , deci condițiile corecte sunt cele de mai sus (concluzia $a = 1$ rămâne aceeași).

Răspunsuri pe scurt

Problema	Răspuns
1	$x = \frac{1}{2}$
2	demonstrație: $\| z_{2} + z_{3} \| = 2 \cos A$ etc. și $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$
3	numerele interesante sunt $n = 5 k + 4$ ; până la 2022 sunt 404
4	$f (x) = x$

Ce capitole verifică subiectul

Problema	Temă
1	Logaritmi, ecuații logaritmice, inegalitatea $t + \frac{1}{t} \leq - 2$ pentru $t < 0$
2	Numere complexe de modul 1, triunghi înscris în cerc
3	Numere complexe, conjugat, rădăcinile de ordinul 5 ale unității
4	Ecuații funcționale pe $R$ , injectivitate

Întrebări frecvente

Ce probleme s-au dat la olimpiada de matematică 2022, etapa județeană, clasa a X-a? Patru probleme: o ecuație cu logaritmi în baze $x$ și 2 pe intervalul $(0, \frac{3}{4})$ , o inegalitate pentru trei numere complexe de modul 1, numărarea numerelor „interesante” $n \leq 2022$ pentru care $1 + z + z^{2} + z^{n - 1} + z^{n} = 0$ are o soluție de modul 1 și o ecuație funcțională pe $R$ .

Cât durează proba și cum se punctează la olimpiada de matematică, etapa județeană 2022? La clasa a X-a, timpul de lucru a fost de 3 ore pentru 4 probleme (la clasele V–VI, 2 ore). Conform baremelor oficiale din 2022, fiecare problemă a fost notată cu 7 puncte, deci punctajul maxim este 28. Se punctează și rezolvările parțiale, după barem.

Unde găsesc baremul oficial al olimpiadei de matematică, etapa județeană 2022, la liceu? Soluțiile cu baremul de corectare (care conțin și enunțurile) sunt documente oficiale ale Ministerului Educației și ale Societății de Științe Matematice din România (SSMR), publicate pe ssmr.ro după concurs (linkul este la finalul paginii). Pe această pagină, fiecare pas al soluției are punctajul din barem.

Alte subiecte: etapa județeană 2022, alte clase de liceu: clasa a IX-a · clasa a XI-a · clasa a XII-a. Aceeași clasă, anul cel mai recent: olimpiada de matematică 2026, etapa județeană, clasa a X-a. Alte competiții de matematică găsești la concursuri de matematică.

← Olimpiada de matematică — toate subiectele rezolvate

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / SSMR (Olimpiada Națională de Matematică, etapa județeană/a sectoarelor municipiului București, 26 martie 2022): soluțiile și baremele oficiale, cu enunțurile problemelor, publicate de SSMR pe ssmr.ro. Explicațiile suplimentare: Matepenet.ro.

Olimpiada de matematică 2022, etapa județeană — clasa a X-a, subiecte rezolvate

Problema 1 (7 puncte · ecuații logaritmice)

Problema 2 (7 puncte · numere complexe, geometrie în planul complex)

Problema 3 (7 puncte · numere complexe, rădăcinile unității)

Problema 4 (7 puncte · ecuații funcționale, injectivitate)

Răspunsuri pe scurt

Ce capitole verifică subiectul

Întrebări frecvente

Formule conexe