Probabilități și combinatorică la Bac: subiecte rezolvate

Probabilitățile și combinatorica (permutări, aranjamente, combinări, binomul lui Newton) apar la Bacalaureatul de matematică în Subiectul I, de regulă ca un item de 5 puncte, la M1 (mate-info), M2 (științele naturii) și M3 (tehnologic). Aici găsești toți cei 50 de itemi de acest tip din variantele oficiale rezolvate pe site (2020–2027: sesiunile iunie–iulie și august–septembrie, simulări și modele), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. Formulele: probabilități și combinatorică.

M1 mate-info M2 științele naturii M3 tehnologic

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

Probabilitatea unui eveniment: $P = \frac{numărul cazurilor favorabile}{numărul cazurilor posibile}$ , cu $0 \leq P \leq 1$ — probabilități.
Permutări: $P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ , cu $0! = 1$ — numărul de moduri în care se pot ordona $n$ obiecte.
Aranjamente: $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ — submulțimi ordonate de $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente.
Combinări: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ , $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ — submulțimi de $k$ elemente; o mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi — combinatorică, calculator combinări, aranjamente, permutări.
Binomul lui Newton: termenul general al dezvoltării $(a + b)^{n}$ este $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ — binomul lui Newton.

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info) — Subiectul I (21 itemi)

Model Bac 2027 M1 (oficial)

I.4 Determinați câte submulțimi nevide, cu cel mult două elemente, are mulțimea $A = {1, 3, 5, 7}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = {1, 2, 4, 6, 8}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 5, 7}$ . Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente și conțin numărul $5$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1

I.4 Se consideră $A$ , mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu $5$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Se consideră mulțimea $A = {3, 4, 5, 7, 9}$ . Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului $2^{6}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $n^{2}$ să fie număr natural de trei cifre. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = {1, 2, 3, 7, 9}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea $A = {1, 2, 4, 6, 8, 9}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M1

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\sqrt{n + 100}$ să fie natural. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii $A$ , care au cel mult două elemente. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Se consideră mulțimea $A$ , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$ , numărul $n + 5$ să fie multiplu de $10$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1

I.4 Se consideră mulțimea $A$ , a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să fie divizibil cu $9$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu $3$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului $6$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1

I.4 Se consideră mulțimea $A$ , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea $A$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $16$ submulțimi. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $2$ și cu $5$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1

I.4 Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5}$ , acesta să aibă cifra zecilor egală cu $2$ și cifra unităților egală cu $3$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$ , care îl conțin pe $1$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii) — Subiectul I (20 itemi)

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3 n^{2} > 100$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de $11$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2

I.4 Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = {1, 2, 3, 9}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3 n^{2} < 100$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = {1, 2, 3, 5, 7, 8}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul $2^{n}$ să fie divizibil cu $16$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu $1$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Se consideră mulțimea $A = {0, 1, 2, \dots, 9}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$ , numărul $\sqrt{2 n + 1}$ să aparțină mulțimii $A$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2

I.4 Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $3$ și cu $7$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = {3, 4, 5, 6}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2

I.4 Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii $A = {0, 1, 2, 3, 4}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii ${1, 2, 3, 4}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $16$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2

I.4 Se consideră mulțimea $A$ , a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$ , numărul $2 n - 60$ să aparțină mulțimii $A$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $10$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) > 0$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2

I.4 Se consideră $A$ , o mulțime cu $4$ elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui $A$ , aceasta să aibă un număr impar de elemente. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii ${1, 2, 3, 4}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , acesta să fie divizor al lui $100$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic) — Subiectul I (9 itemi)

Bac 2026 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $20 - 2 n < 15$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M3

I.4 Se consideră mulțimea $A = {0, 1, 2, \dots, 26}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să fie pătratul unui număr natural. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , acesta să verifice inegalitatea $6 n > 25$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea august–septembrie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}$ , acesta să fie divizibil cu $3$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}$ , acesta să fie divizibil cu $20$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ , acesta să verifice inegalitatea $2 n \geq 9$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.4 Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, 23}$ , acesta să verifice inegalitatea $n \geq 10$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea august–septembrie

I.4 Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , numărul $10 - n$ să fie par. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M3

I.4 Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $A$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Progresii la Bac.

Întrebări frecvente

Ce se cere la probabilități la Bacalaureat? De obicei se alege la întâmplare un element dintr-o mulțime (numere de două cifre, submulțimi, numere de o anumită formă) și se cere probabilitatea ca el să aibă o proprietate. Numeri cazurile posibile, apoi pe cele favorabile, și împarți: P = favorabile / posibile.

Când folosesc aranjamente și când combinări? Aranjamentele numără alegerile în care ordinea contează (de exemplu, numere formate cu cifre distincte sau podiumul unei competiții), iar combinările pe cele în care ordinea nu contează (submulțimi, grupe, echipe). Permutările sunt aranjamentele tuturor celor n elemente, adică n!.

Câte puncte valorează itemul de probabilități la Bac? Itemul din Subiectul I valorează 5 puncte din 90, adică o jumătate de punct din nota finală. Se acordă punctaj parțial pentru numărarea corectă a cazurilor posibile sau a celor favorabile, chiar dacă rezultatul final este greșit.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2