Combinatorică — formule combinări, aranjamente, permutări + calculator

Combinatorica numără în câte moduri putem așeza sau alege elemente dintr-o mulțime. Cele trei formule de bază sunt: permutări $P_n=n!$, aranjamente $A_n^k={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}$ și combinări $C_n^k={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$, unde $0\le k\le n$, $n,k\in \mathbb{N}$. Mai jos găsești factorialul, proprietățile combinărilor, triunghiul lui Pascal, binomul lui Newton și ecuațiile tipice de la Bacalaureat, cu exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Vrei doar rezultatul? Calculează combinări $C_n^k$, aranjamente $A_n^k$ și permutări $n!$ cu calculatorul de combinări, aranjamente și permutări, care arată și calculul pas cu pas.

Factorial

Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, n factorial este produsul primelor $n$ numere naturale nenule: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$. Prin convenție, $0!=1$. Relația de recurență este $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$, foarte utilă la simplificări: ${\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}}=n(n+1)$.

Permutări

O permutare a unei mulțimi cu $n$ elemente este o ordonare a tuturor elementelor ei. Numărul permutărilor de $n$ elemente este:

Exemplu: 5 cărți diferite se pot așeza pe un raft în $P_5=5!=120$ moduri; cuvântul „MATE” are $4!=24$ anagrame.

Aranjamente

Numărul aranjamentelor de $n$ elemente luate câte $k$ este numărul submulțimilor ordonate cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente:

Echivalent, $A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$ (produsul a $k$ factori consecutivi, începând de la $n$ în jos).

Proprietăți: $A_n^0=1$, $A_n^n=P_n$, $A_n^k=A_{n-1}^k+k{A}_{n-1}^{k-1}$, $A_n^k=n{A}_{n-1}^{k-1}$, $A_n^k=(n-k+1)A_n^{k-1}$, $A_n^k={\displaystyle \frac{n}{n-k}}{A}_{n-1}^k$ (pentru $k<n$).

Exemplu: podiumul (locurile 1, 2, 3) dintr-o finală cu 8 sportivi se poate forma în $A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336$ moduri.

Combinări

Numărul combinărilor de $n$ elemente luate câte $k$ este numărul submulțimilor cu $k$ elemente (ordinea nu contează) ale unei mulțimi cu $n$ elemente:

Echivalent, $C_n^k={\displaystyle \frac{A_n^k}{P_k}}$: fiecare submulțime cu $k$ elemente poate fi ordonată în $k!$ moduri.

Exemplu: o echipă de 3 elevi dintr-o grupă de 10 se poate alege în $C_{10}^3$ $={\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}}$ $=120$ moduri.

Ca să alegi formula potrivită, pune-ți două întrebări: contează ordinea? se folosesc toate elementele?

Proprietăți ale combinărilor

• $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=n$, $C_n^2={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$
• Combinări complementare: $C_n^k=C_n^{n-k}$ (de exemplu $C_{20}^{18}=C_{20}^2=190$)
• Formula de recurență: $C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$
• Suma combinărilor: $C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=2^n$ (numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente)
• $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\dots =2^{n-1}$ și $C_n^1+C_n^3+C_n^5+\dots =2^{n-1}$
• $C_n^0-C_n^1+C_n^2-\dots$ $+(-1{)}^n{C}_n^n=0$

Triunghiul lui Pascal

Pe linia $n$ se află $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n$. Fiecare număr este suma celor două numere de deasupra lui (formula de recurență), iar fiecare linie este simetrică (combinări complementare).

Binomul lui Newton

Pentru $a,b\in \mathbb{R}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$:

Dezvoltarea are $n+1$ termeni, iar coeficienții binomiali sunt chiar numerele din triunghiul lui Pascal. Pentru $n=2$ și $n=3$ regăsim formulele de calcul prescurtat. Detalii și probleme rezolvate: Binomul lui Newton.

Termenul general (de rang $k+1$): $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$. Formula de recurență între doi termeni consecutivi: $T_{k+2}={\displaystyle \frac{n-k}{k+1}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot T_{k+1}$.

Exemplu: termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^6$. Avem $T_{k+1}$ $=C_6^k{x}^{6-k}{x}^{-k}$ $=C_6^k{x}^{6-2k}$; $6-2k=0\Rightarrow k=3$, deci $T_4=C_6^3=20$.

Ecuații cu combinări și aranjamente

Înainte de rezolvare scriem condițiile de existență: pentru $C_n^k$ și $A_n^k$ trebuie $n,k\in \mathbb{N}$ și $k\le n$; pentru $P_n$, $n\in \mathbb{N}$. La final păstrăm doar soluțiile care respectă condițiile.

Exemplu tipic Bac: $C_n^2=10$. Condiție: $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$. Ecuația devine ${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$ $=10$ $\iff n^2-n-20$ $=0$, o ecuație de gradul 2 cu soluțiile $n=5$ și $n=-4$. Cum $-4\notin \mathbb{N}$, soluția este $n=5$.

La fel, $A_n^2$ $=42$ $\iff n(n-1)$ $=42$ $\iff n$ $=7$ (soluția $-6$ se respinge).

Greșeli frecvente

1. Confuzia aranjamente–combinări: dacă ordinea nu contează, folosești combinări; $A_n^k=C_n^k\cdot k!$, deci aranjamentele sunt întotdeauna cel puțin cât combinările.
2. $0!=0$: greșit, $0!=1$. De aceea $C_n^0=C_n^n=1$.
3. Uitarea condițiilor de existență: soluțiile negative sau cele cu $k>n$ se resping.
4. Indicele termenului general: $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ este termenul $T_{k+1}$, nu $T_k$.
5. Simplificarea factorialelor: ${\displaystyle \frac{8!}{4!}}\ne 2!$; corect, ${\displaystyle \frac{8!}{4!}}$ $=5\cdot 6\cdot 7\cdot 8$ $=1680$.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre aranjamente și combinări? La aranjamente contează ordinea elementelor alese (submulțimi ordonate), la combinări nu contează (submulțimi). Legătura dintre ele este $A_n^k=C_n^k\cdot k!$.

Care este formula combinărilor? Numărul combinărilor de $n$ elemente luate câte $k$ este $C_n^k={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$, pentru $0\le k\le n$. Exemplu: $C_5^2$ $={\displaystyle \frac{5!}{2!\cdot 3!}}$ $=10$.

Cât face 0 factorial? Prin convenție, $0!=1$. Convenția face ca formulele $C_n^0=1$ și $A_n^n=n!$ să rămână valabile.

Calculator

N =

K =

Permutari Aranjamente Combinari =

Vrei rezultatul instant? Folosește calculatorul de combinări, aranjamente și permutări — valori exacte pentru n până la 170, cu formula desfășurată.

Istoric: Blaise Pascal (1623 – 1662) — formula de recurență a combinărilor este exact regula după care se construiește triunghiul lui Pascal.

Exersează: fișă de lucru printabilă — combinatorică, clasa a 10-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.