Calculator combinări, aranjamente, permutări — C(n,k)

Q: Cum se calculează combinări de n luate câte k?

Cu formula C_n^k = (n!)/(k! (n-k)!) . Practic, înmulțești k numere consecutive descrescătoare începând de la n și împarți la k!. De exemplu, C_10^5 = (10 · 9 · 8 · 7 · 6)/(5!) = (30 240)/(120) = 252 . Pentru valori mari, introdu n și k în calculatorul de mai sus și primești rezultatul exact împreună cu formula substituită.

Q: Cât este C(49,6)?

C_49^6 = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44)/(720) = 13 983 816 . Este numărul de bilete distincte posibile la Loto 6/49, deci șansa de a nimeri toate cele 6 numere cu un singur bilet este 1 la 13.983.816.

Calculatorul de mai jos calculează instant combinări C(n,k), aranjamente A(n,k) și permutări n!, cu valori exacte (fără rotunjiri sau notație științifică) pentru n până la 170 și cu formula desfășurată, pas cu pas. Introdu n (numărul total de elemente) și k (câte elemente alegi), apoi apasă „Calculează”. Pe scurt: folosești combinări când ordinea nu contează (echipe, grupe, bilete loto), aranjamente când ordinea contează (podium, coduri, parole fără cifre repetate) și permutări când așezi în ordine toate elementele. Mai jos găsești și un calculator de factorial și unul pentru permutări cu repetiție.

Calculator combinări, aranjamente și permutări

n (total elemente)

k (elemente alese)

Calculator factorial n!

n (număr natural, maxim 170)

Permutări cu repetiție n! / (n₁! · n₂! · …)

Câte elemente de fiecare tip (separate prin virgulă)

Formule

Toate cele trei noțiuni se construiesc pe factorial: \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \), cu convenția \( 0! = 1 \). Formulele complete, cu demonstrații, sunt pe pagina de combinatorică.

Permutări (câte ordonări are o mulțime cu n elemente):

\[ P_n = n! \]

Aranjamente de n luate câte k (alegi k elemente din n și contează ordinea):

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) \]

Combinări de n luate câte k (alegi k elemente din n, ordinea nu contează):

\[ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]

Relația dintre ele: fiecare combinare de k elemente poate fi ordonată în k! moduri, deci \( A_n^k = C_n^k \cdot k! \), adică \( C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!} \). Pentru k = n, aranjamentele devin permutări: \( A_n^n = n! \).

Proprietăți utile ale combinărilor:

\( C_n^k = C_n^{n-k} \) (formula combinărilor complementare) — de exemplu \( C_{10}^7 = C_{10}^3 = 120 \);
\( C_n^0 = C_n^n = 1 \) și \( C_n^1 = C_n^{n-1} = n \);
formula de recurență (triunghiul lui Pascal): \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k} \);
\( C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n \) — numărul total de submulțimi ale unei mulțimi cu n elemente;
combinările sunt coeficienții din binomul lui Newton: \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \).

Permutări cu repetiție: dacă dintre cele n elemente, n₁ sunt identice de un tip, n₂ de alt tip ș.a.m.d. (cu \( n_1 + n_2 + \cdots + n_r = n \)), numărul de ordonări distincte este

\[ P(n;\, n_1, n_2, \ldots, n_r) = \frac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!} \]

De exemplu, cuvântul „MAMA” are \( \dfrac{4!}{2!\,2!} = 6 \) anagrame distincte.

Combinări vs aranjamente — cum aleg?

Întrebarea-cheie este una singură: contează ordinea în care aleg elementele? Dacă schimbând ordinea obții „același lucru”, sunt combinări. Dacă obții ceva diferit, sunt aranjamente. A doua întrebare: se pot repeta elementele? Tabelul de mai jos acoperă toate cele patru situații.

	Fără repetiție	Cu repetiție
Ordinea NU contează	Combinări \( C_n^k \) Ex.: un bilet Loto 6/49 — alegi 6 numere din 49, ordinea extragerii nu contează: \( C_{49}^6 = 13\,983\,816 \). O echipă de 5 elevi dintr-o clasă de 30: \( C_{30}^5 = 142\,506 \).	Combinări cu repetiție \( C_{n+k-1}^k \) Ex.: alegi 3 cupe de înghețată dintre 5 arome, poți repeta aroma: \( C_7^3 = 35 \).
Ordinea contează	Aranjamente \( A_n^k \) Ex.: podiumul (locurile 1, 2, 3) la o cursă cu 8 alergători: \( A_8^3 = 336 \). Un cod de 4 cifre distincte: \( A_{10}^4 = 5\,040 \).	Aranjamente cu repetiție \( n^k \) Ex.: un cod PIN de 4 cifre, cifrele se pot repeta: \( 10^4 = 10\,000 \).

Un test rapid: la echipă, {Ana, Dan, Ioana} este aceeași echipă ca {Dan, Ioana, Ana} — combinare. La podium, „Ana pe 1, Dan pe 2” este altceva decât „Dan pe 1, Ana pe 2” — aranjament. Când toate cele n elemente sunt ordonate (k = n), vorbim de permutări. Aceste numărători stau la baza calculului probabilităților: probabilitatea unui eveniment = cazuri favorabile / cazuri posibile, iar ambele se numără cu C, A sau P.

Exemple rezolvate

1. Combinări de 10 luate câte 5. Nu calcula 10! întreg; simplifică fracția:

\[ C_{10}^5 = \frac{10!}{5!\,5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30\,240}{120} = 252 \]

Deci există 252 de moduri de a alege 5 elemente din 10 (de exemplu, 252 de echipe posibile de 5 jucători dintr-un lot de 10).

2. Aranjamente de 6 luate câte 2. În câte moduri pot fi ocupate locurile 1 și 2 la un concurs cu 6 participanți?

\[ A_6^2 = \frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30 \]

Verificare prin combinări: \( C_6^2 = 15 \) perechi, fiecare ordonată în \( 2! = 2 \) moduri, deci \( 15 \cdot 2 = 30 \).

3. Câte numere de 3 cifre distincte există? Prima cifră nu poate fi 0, deci are 9 variante. Pentru următoarele două poziții rămân 9 cifre (inclusiv 0), din care alegem 2 în ordine: \( A_9^2 = 9 \cdot 8 = 72 \).

\[ 9 \cdot A_9^2 = 9 \cdot 72 = 648 \]

Altfel: toate aranjamentele de 3 cifre distincte din 10, minus cele care încep cu 0: \( A_{10}^3 - A_9^2 = 720 - 72 = 648 \).

Greșeli frecvente

Confuzia combinări / aranjamente. Dacă problema spune „comisie”, „echipă”, „grupă”, „submulțime” — ordinea nu contează, sunt combinări. Dacă spune „clasament”, „cod”, „număr”, „cuvânt”, „funcții diferite (președinte, secretar)” — ordinea contează, sunt aranjamente.
Uitarea convenției 0! = 1. Fără ea, \( C_n^0 \) și \( C_n^n \) nu ar avea sens; ambele sunt egale cu 1.
k mai mare decât n. Nu poți alege 7 elemente din 5: \( C_5^7 \) nu este definit (în unele contexte se ia 0). Calculatorul semnalează eroarea.
Calculul factorialelor întregi. \( 20! \) are deja 19 cifre; simplifică mereu fracția înainte de a înmulți, iar pe calculatorul de buzunar rezultatele peste \( 10^{15} \) apar rotunjite. Calculatorul de pe această pagină lucrează cu numere întregi exacte.
Numărarea de două ori. La „câte perechi se pot forma din 8 persoane”, răspunsul este \( C_8^2 = 28 \), nu \( 8 \cdot 7 = 56 \) — perechea (A, B) este aceeași cu (B, A).
Ignorarea repetiției. Un PIN permite cifre repetate (\( 10^4 \)), un cod cu cifre distincte nu (\( A_{10}^4 \)). Citește cu atenție enunțul.

Întrebări frecvente

Cum se calculează combinări de n luate câte k? Cu formula \( C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} \). Practic, înmulțești k numere consecutive descrescătoare începând de la n și împarți la k!. De exemplu, \( C_{10}^5 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5!} = \dfrac{30\,240}{120} = 252 \). Pentru valori mari, introdu n și k în calculatorul de mai sus și primești rezultatul exact împreună cu formula substituită.

Care este diferența dintre combinări și aranjamente? La combinări ordinea elementelor alese nu contează (o mulțime de k elemente), la aranjamente contează (un șir ordonat de k elemente). De aceea aranjamentele sunt întotdeauna de k! ori mai multe: \( A_n^k = k! \cdot C_n^k \). Exemplu: din 6 elemente, \( C_6^2 = 15 \) perechi, dar \( A_6^2 = 30 \) perechi ordonate.

Cât este C(49,6)? \( C_{49}^6 = \dfrac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{720} = 13\,983\,816 \). Este numărul de bilete distincte posibile la Loto 6/49, deci șansa de a nimeri toate cele 6 numere cu un singur bilet este 1 la 13.983.816.

Pentru alte calcule rapide (procente, medii, ecuații) vezi calculatorul matematic online, iar pentru teorie, formulele de combinatorică.

Calculator combinări, aranjamente și permutări — C(n,k), A(n,k), n!