Binomul lui Newton — formula, termenul general, coeficienți binomiali, exemple

Binomul lui Newton dezvoltă puterea $(a+b{)}^n$ într-o sumă de $n+1$ termeni: $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$. Termenul general (de rang $k+1$) este $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, unde $k\in \{0,1,\dots ,n\}$. Numerele $C_n^k$ se numesc coeficienți binomiali. Mai jos găsești formula scrisă desfășurat, triunghiul lui Pascal, proprietățile coeficienților, cazul $(a-b{)}^n$, problemele tipice de la Bacalaureat și greșelile frecvente.

Formula binomului lui Newton

Pentru orice numere $a,b\in \mathbb{R}$ și orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$:

Scrisă desfășurat, formula devine:

Coeficienții sunt combinările $C_n^k={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$. Observă că în fiecare termen suma exponenților lui $a$ și $b$ este $n$: puterea lui $a$ scade de la $n$ la 0, iar puterea lui $b$ crește de la 0 la $n$.

Termenul general $T_{k+1}$

Termenul de rang $k+1$ din dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ este:

Atenție la rang: numărătoarea pornește de la $k=0$, deci primul termen este $T_1$ (pentru $k=0$), al patrulea termen este $T_4$ (pentru $k=3$), iar al $(k+1)$-lea termen folosește $C_n^k$. Dacă problema cere „al cincilea termen”, iei $k=4$, nu $k=5$.

Este formula-cheie în problemele care cer termenul ce îl conține pe $x^p$ sau termenul care nu îl conține pe $x$: scrii $T_{k+1}$, aduni exponenții lui $x$ și pui condiția cerută asupra exponentului. Între doi termeni consecutivi există relația $T_{k+2}={\displaystyle \frac{n-k}{k+1}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot T_{k+1}$.

Coeficienți binomiali și triunghiul lui Pascal

Coeficienții binomiali se pot calcula rapid cu formula lui Pascal $C_{n+1}^k=C_n^{k-1}+C_n^k$: fiecare număr din triunghi este suma celor două numere de deasupra lui. Linia $n$ conține exact coeficienții dezvoltării lui $(a+b{)}^n$.

Factorialul, aranjamentele și combinările sunt explicate pe larg la combinatorică, iar valorile mari le poți verifica cu calculatorul de combinări, aranjamente și permutări.

Proprietăți

• Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni.
• Coeficienții egal depărtați de extremi sunt egali: $C_n^k=C_n^{n-k}$ (combinări complementare).
• Suma coeficienților binomiali: $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ (punem $a=b=1$).
• Suma alternată: $C_n^0-C_n^1+C_n^2-\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0$ (punem $a=1$, $b=-1$). De aici, suma coeficienților de rang impar este egală cu suma celor de rang par, fiecare fiind $2^{n-1}$.
• Termenul din mijloc: dacă $n$ este par, există un singur termen din mijloc, $T_{\frac{n}{2}+1}$, iar cel mai mare coeficient binomial este $C_n^{n/2}$. Dacă $n$ este impar, există doi termeni din mijloc, $T_{\frac{n+1}{2}}$ și $T_{\frac{n+3}{2}}$, cu coeficienții egali $C_n^{\frac{n-1}{2}}=C_n^{\frac{n+1}{2}}$, cei mai mari.

Binomul $(a-b{)}^n$ — semne alternate

Scriem $(a-b{)}^n=(a+(-b){)}^n$ și aplicăm aceeași formulă. Semnele termenilor alternează, începând cu plus:

De exemplu, $(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2$ $-4a{b}^3+b^4$. Termenii cu $k$ par sunt pozitivi, cei cu $k$ impar sunt negativi.

Cazuri particulare

Pentru $n=2$ și $n=3$ regăsim formulele de calcul prescurtat:

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
• $(1+x{)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2$ $+\cdots +C_n^n{x}^n$

Probleme tipice Bac

• Termenul care nu îl conține pe $x$ (termenul liber): scrii $T_{k+1}$, simplifici puterile lui $x$ și pui exponentul egal cu 0. Valoarea lui $k$ trebuie să fie naturală și cel mult $n$.
• Termenul care îl conține pe $x^p$: aceeași metodă, dar exponentul lui $x$ se egalează cu $p$. Coeficientul cerut este tot ce rămâne în fața lui $x^p$, inclusiv puterile numerelor și semnul.
• Termenii raționali ai lui $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}{)}^n$: $T_{k+1}=C_n^k{2}^{\frac{n-k}{2}}{3}^{\frac{k}{3}}$ este rațional exact când $n-k$ se divide cu 2 și $k$ se divide cu 3. Numeri valorile lui $k$ din $\{0,\dots ,n\}$ care îndeplinesc ambele condiții.
• Suma coeficienților dezvoltării $f(x)=(\alpha x+\beta {)}^n$ este $f(1)=(\alpha +\beta {)}^n$. Nu o confunda cu suma coeficienților binomiali, care este mereu $2^n$.

Recapitularea tuturor formulelor cerute la examen o găsești în formulele pentru Bacalaureat la matematică.

Greșeli frecvente

• Rangul greșit: termenul al $m$-lea este $T_m$, adică $k=m-1$. Mulți elevi folosesc $C_n^m$ în loc de $C_n^{m-1}$.
• Semnul pierdut: în $(a-b{)}^n$ sau în ${(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^n$, factorul $(-1{)}^k$ intră în termen; termenul poate ieși negativ.
• Coeficient binomial vs. coeficient numeric: în $(2x+3{)}^5$, coeficientul binomial al lui $T_3$ este $C_5^2=10$, dar coeficientul numeric al termenului este $C_5^2\cdot 2^3\cdot 3^2=720$.
• Puterile nesimplificate: ${\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^k=x^{-k}$ și $(x^2{)}^{n-k}=x^{2n-2k}$; greșelile la exponenți schimbă valoarea lui $k$.

Întrebări frecvente

Care este formula binomului lui Newton? Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, adică $C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\cdots +C_n^n{b}^n$. Dezvoltarea are $n+1$ termeni, iar coeficienții sunt combinările $C_n^k$.

Cum aflu termenul general al dezvoltării? Folosești $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu $k$ de la 0 la $n$. Termenul de rang $m$ se obține pentru $k=m-1$; pentru $(a-b{)}^n$ apare în plus factorul $(-1{)}^k$.

Cât este suma coeficienților binomiali? Suma $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$, obținută punând $a=b=1$. Suma coeficienților unei dezvoltări concrete, de exemplu $(2x-1{)}^n$, se află calculând valoarea expresiei pentru $x=1$.

Istoric: Isaac Newton (1643–1727) — a extins în jurul anului 1665 dezvoltarea binomului la exponenți fracționari și negativi, motiv pentru care formula îi poartă numele.

Istoric: Blaise Pascal (1623 – 1662) — coeficienții binomiali se citesc din triunghiul lui Pascal, studiat în Tratatul despre triunghiul aritmetic (1654).

Exersează: fișă de lucru printabilă — binomul lui Newton, clasa a 10-a, cu 19 exerciții și răspunsuri.