Binomul lui Newton este formula care dezvoltă puterea \( (a+b)^n \) într-o sumă de termeni, folosind coeficienții binomiali (combinările). Este un instrument central la Bacalaureat, atât pentru găsirea unui anumit termen din dezvoltare, cât și pentru identități cu combinări.
Formula binomului lui Newton
Pentru orice numere \( a, b \) și orice număr natural \( n \), avem: \( (a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n \), adică \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, a^{n-k} b^k \). Dezvoltarea are exact \( n + 1 \) termeni, iar coeficienții \( C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \) se numesc coeficienți binomiali.
Termenul general al dezvoltării
Termenul de rang \( k+1 \) din dezvoltarea lui \( (a+b)^n \) este \( T_{k+1} = C_n^k \, a^{n-k} b^k \), unde \( k \) ia valori de la 0 la \( n \). Aceasta este formula-cheie în problemele care cer „termenul care îl conține pe \( x^p \)” sau „termenul care nu îl conține pe \( x \)”: scrii termenul general, aduni exponenții lui \( x \) și pui condiția cerută asupra exponentului.
Proprietățile coeficienților binomiali
Coeficienții binomiali au câteva proprietăți foarte des folosite. Simetria: \( C_n^k = C_n^{n-k} \), deci coeficienții egal depărtați de capete sunt egali. Suma tuturor coeficienților: \( C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n \), obținută punând \( a = b = 1 \) în formula binomului. Suma alternată: \( C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0 \), obținută pentru \( a = 1, b = -1 \). De aici rezultă că suma coeficienților de rang par este egală cu suma celor de rang impar, fiecare fiind \( 2^{n-1} \). Formula lui Pascal, \( C_{n+1}^{k} = C_n^{k-1} + C_n^k \), stă la baza triunghiului lui Pascal.
Întrebări frecvente
De ce termenul general se notează \( T_{k+1} \) și nu \( T_k \)? Pentru că numărătoarea termenilor începe de la \( k = 0 \): primul termen corespunde lui \( k = 0 \), al doilea lui \( k = 1 \) și așa mai departe, deci termenul construit cu \( C_n^k \) este al \( (k+1) \)-lea din dezvoltare.
Cum dezvolt \( (a-b)^n \)? Scrii \( (a-b)^n = (a+(-b))^n \) și aplici aceeași formulă; semnele termenilor alternează, termenul general fiind \( T_{k+1} = (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k \).