Progresii la Bac: subiecte rezolvate (M1, M2, M3)

Progresiile aritmetice și geometrice apar la Bacalaureatul de matematică în Subiectul I, de obicei ca primul item (5 puncte), la M1 (mate-info), M2 (științele naturii) și M3 (tehnologic). Aici sunt toți cei 20 de itemi cu progresii din variantele oficiale rezolvate pe site (2020–2027), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. Formulele: progresia aritmetică și progresia geometrică.

M1 mate-info M2 științele naturii M3 tehnologic

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

Progresia aritmetică cu primul termen $a_{1}$ și rația $r$ : $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ ; numerele $a$ , $b$ , $c$ sunt termeni consecutivi dacă $b = \frac{a + c}{2}$ — progresia aritmetică.
Progresia geometrică cu primul termen $b_{1}$ și rația $q$ : $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ , $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq 1$ ; numerele pozitive $a$ , $b$ , $c$ sunt termeni consecutivi dacă $b^{2} = a c$ — progresia geometrică.
Doi termeni dați: când se cunosc doi termeni (de exemplu $a_{2}$ și $a_{5}$ ), scrii fiecare cu ajutorul lui $a_{1}$ și $r$ (sau $b_{1}$ și $q$ ) și rezolvi sistemul obținut — șiruri și progresii.

Pentru exersare: fișa de lucru cu progresii aritmetice și geometrice (clasa a 9-a).

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info) — Subiectul I (6 itemi)

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie

I.1 Determinați termenul $b_{3}$ al progresiei geometrice $(b_{n})_{n \geq 1}$ , în care $b_{1} = 2$ și $b_{2} = 10$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1

I.1 Determinați termenul $b_{1}$ al progresiei geometrice $(b_{n})_{n \geq 1}$ , în care $b_{3} = 40$ și $b_{4} = 80$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie

I.1 Determinați termenul $a_{1}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , cu $a_{2} = 14$ și $a_{3} = 18$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie

I.1 Determinați termenul $a_{6}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , cu $a_{1} = 3$ și $a_{5} = 23$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1

I.1 Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{2} = 2$ și $b_{4} = 4$ . Determinați $b_{6}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6 Măsurile unghiurilor $A$ , $B$ și $C$ ale triunghiului $A B C$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $B$ este egală cu $\frac{π}{3}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii) — Subiectul I (10 itemi)

Model Bac 2027 M2 (oficial)

I.1 Determinați termenul $a_{1}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , în care $a_{2} = 9$ și $a_{5} = 30$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2

I.1 Determinați termenul $a_{4}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , în care $a_{1} = 2$ și $a_{3} = 14$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie

I.1 Determinați termenul $a_{2}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , în care $a_{1} = 5$ și $a_{3} = 35$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , în care $a_{1} = 4$ și $a_{2} = 15$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Determinați termenul $a_{1}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , în care $a_{2} = 8$ și $a_{3} = 12$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Determinați termenul $a_{1}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , știind că $a_{2} = 6$ și $a_{3} = 12$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2

I.1 Calculați termenul $b_{4}$ al progresiei geometrice ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ , știind că $b_{1} = \sqrt{2}$ și $b_{2} = 4$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $(b_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $b_{1} = 2$ și $b_{2} = 6$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie

I.1 Determinați primul termen al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , știind că $a_{2} = 3$ și $a_{3} = 5$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Se consideră o progresie aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{1} = 2$ și rația $r = 3$ . Calculați $a_{3}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic) — Subiectul I (4 itemi)

Bac 2026 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ în care $a_{1} = 10$ și $a_{2} = 18$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M3

I.1 Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , în care $a_{1} = 3$ și $a_{2} = 10$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M3

I.1 Calculați termenul $a_{1}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , știind că $a_{3} = 6$ și $a_{4} = 9$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea august–septembrie

I.1 Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei aritmetice ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ , știind că $a_{1} = 4$ și rația este $r = 5$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Probabilități și combinatorică la Bac.

Întrebări frecvente

Ce se cere la progresii la Bacalaureat? De obicei se dau doi termeni sau un termen și suma primilor termeni ai unei progresii și se cere un alt termen, rația sau o sumă. Uneori se cere numărul real x pentru care trei expresii sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sau geometrice.

Cum arăt că trei numere sunt în progresie aritmetică? Verifici că termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalte două: b = (a + c) / 2, adică 2b = a + c. Pentru progresia geometrică cu termeni pozitivi, termenul din mijloc este media geometrică: b² = ac.

Câte puncte valorează itemul de progresii la Bac? Itemul din Subiectul I valorează 5 puncte din 90, adică o jumătate de punct din nota finală. De regulă se rezolvă în câteva rânduri cu formula termenului general și formula sumei, deci este un item pe care merită să nu îl pierzi.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Progresii la Bacalaureat — subiecte rezolvate (M1, M2, M3)