Probabilități și elemente de statistică

Formule

Probabilitatea măsoară șansa ca un eveniment să se producă, printr-un număr cuprins între 0 și 1. La Evaluarea Națională, problemele de probabilități folosesc aproape întotdeauna definiția clasică, aplicată pe situații concrete: zaruri, monede, bile într-o urnă sau cărți de joc.

Definiția clasică a probabilității

Dacă toate cazurile posibile sunt egal probabile, probabilitatea unui eveniment $A$ este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $P (A) = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$ . De exemplu, la aruncarea unui zar, probabilitatea de a obține un număr par este $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , pentru că din cele 6 fețe, trei sunt pare: 2, 4 și 6.

Evenimente și proprietăți

Evenimentul sigur are probabilitatea 1 (de exemplu, obținerea unui număr cel mult egal cu 6 la un zar), iar evenimentul imposibil are probabilitatea 0 (obținerea numărului 7). Pentru orice eveniment $A$ avem $0 \leq P (A) \leq 1$ . Evenimentul contrar lui $A$ , notat $\bar{A}$ , înseamnă că $A$ nu se produce, iar probabilitățile lor sunt legate prin formula $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ .

Situații clasice de calcul

La o monedă, probabilitatea fiecărei fețe este $\frac{1}{2}$ . La un zar, probabilitatea unui număr prim (2, 3 sau 5) este $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Într-o urnă cu $r$ bile roșii și $b$ bile albastre, probabilitatea de a extrage o bilă roșie este $\frac{r}{r + b}$ . Dintr-un pachet de 52 de cărți, probabilitatea de a extrage un as este $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ .

Elemente de statistică

Media aritmetică a numerelor $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ este $m = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ . Mediana este valoarea din mijloc după ordonarea crescătoare a datelor (sau media celor două valori centrale, dacă numărul de date este par). Frecvența unei valori arată de câte ori apare aceasta în șirul de date, iar reprezentările uzuale sunt tabelele și diagramele cu bare.

Întrebări frecvente

Poate probabilitatea să fie mai mare decât 1? Nu. Numărul cazurilor favorabile nu poate depăși numărul cazurilor posibile, deci probabilitatea este întotdeauna un număr între 0 și 1, adică între 0% și 100%.

Ce fac dacă evenimentul cerut este complicat de numărat direct? Deseori este mai simplu să numeri cazurile contrare și să folosești formula $P (A) = 1 - P (\bar{A})$ ; de exemplu, „cel puțin o bilă roșie” se calculează mai ușor prin contrarul „nicio bilă roșie”.

Istoric: Octav Onicescu (1892–1983) — fondatorul școlii românești de teoria probabilităților și statistică matematică.

Istoric: Blaise Pascal (1623 – 1662) — corespondența sa cu Pierre de Fermat din 1654, despre împărțirea mizei unui joc întrerupt, este considerată începutul teoriei probabilităților.

Verifică-te: 3 întrebări

Probabilitatea unui eveniment $A$ (definiția clasică) este:

cazuri posibile / cazuri favorabile
cazuri favorabile / cazuri posibile
cazuri favorabile / cazuri nefavorabile

Se aruncă un zar. Care este probabilitatea să apară un număr prim?

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$

Într-o urnă sunt 3 bile roșii și 5 bile albe. Probabilitatea de a extrage o bilă roșie este:

$\frac{3}{5}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{3}{8}$

Exemple

Exemple rezolvate

Problemă (model Evaluare Națională): Într-o urnă sunt 12 bile: 3 roșii, 4 albastre și 5 verzi. Se extrage la întâmplare o bilă. Calculați probabilitatea ca bila extrasă să nu fie verde.

Rezolvare: Numărul cazurilor posibile este 12, adică numărul total de bile din urnă. Bila nu este verde dacă este roșie sau albastră, deci numărul cazurilor favorabile este $3 + 4 = 7$ . Aplicăm definiția clasică: $P = \frac{7}{12}$ . Verificare prin evenimentul contrar: probabilitatea ca bila să fie verde este $\frac{5}{12}$ , iar $1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ , deci rezultatul este corect. Probabilitatea cerută este $\frac{7}{12}$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →