Formule matematică clasa a 6-a — mulțimi, proporții, numere întregi și raționale, triunghiul

În clasa a 6-a apar mulțimile, rapoartele și proporțiile (cu regula de trei simplă), numerele întregi și raționale, iar în geometrie unghiurile, dreptele paralele și triunghiul cu cazurile de congruență. Pe fiecare capitol găsești mai jos formulele de bază și linkuri spre explicații, exemple rezolvate și calculatoare.

Ordinea capitolelor urmează programa de gimnaziu din 2017 (OMEN 3393/2017), în vigoare și în 2026–2027.

1. Mulțimi. Divizibilitate în \( \mathbb N \)

Descrii mulțimile prin enumerare sau printr-o proprietate și faci operații cu ele. Descompunerea în factori primi te ajută să afli c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

• \( A\cup B \) (reuniunea), \( A\cap B \) (intersecția), \( A\setminus B \) (diferența).
• Cardinalul reuniunii: \( |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \).
• Descompunere: \( n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} \); numărul divizorilor lui \( n \) este \( (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1) \).
• c.m.m.d.c.: factorii comuni, la puterea cea mai mică; c.m.m.m.c.: factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.
• \( (a,b)\cdot[a,b]=a\cdot b \); \( a \) și \( b \) sunt prime între ele dacă \( (a,b)=1 \).

→ detalii: mulțimi, cmmdc și cmmmc, divizibilitate. Părintele teoriei mulțimilor: Georg Cantor.

2. Rapoarte și proporții

O proporție este egalitatea a două rapoarte. Cu ea rezolvi problemele cu mărimi direct sau invers proporționale, procentele și primele probleme de probabilități.

• Proprietatea fundamentală: \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c \).
• Șir de rapoarte egale: \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d} \).
• Direct proporționale: \( \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=k \); invers proporționale: \( a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2 \).
• Regula de trei simplă: dacă 3 kg costă 12 lei, atunci 5 kg costă \( \dfrac{5\cdot 12}{3}=20 \) lei.
• Probabilitatea: \( P=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} \).

→ detalii: rapoarte, proporții și procente, regula de trei simplă, probabilități. Calculatoare: regula de trei simplă, procente. Despre începuturile probabilităților: Blaise Pascal.

3. Mulțimea numerelor întregi \( \mathbb Z \)

Apar numerele negative, opusul și modulul. Atenție la regula semnelor la înmulțire, împărțire și puteri.

• Modulul: \( |a|=a \) dacă \( a\ge 0 \) și \( |a|=-a \) dacă \( a\lt 0 \); de exemplu \( |-7|=7 \).
• Regula semnelor: \( (+)\cdot(+)=(+) \), \( (-)\cdot(-)=(+) \), \( (+)\cdot(-)=(-) \).
• Puteri: \( (-a)^{2n}=a^{2n} \) (exponent par), \( (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1} \) (exponent impar).
• Ecuație: \( x+a=b\Rightarrow x=b-a \); \( a\cdot x=b\Rightarrow x=\dfrac{b}{a} \) (\( a\ne 0 \)).

4. Mulțimea numerelor raționale \( \mathbb Q \)

Numerele raționale sunt fracțiile cu semn. Regulile de calcul cu puteri se extind la exponenți întregi.

• \( a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \), \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} \), pentru \( a,b\ne 0 \).
• Ecuația \( ax+b=c \), \( a\ne 0 \): \( x=\dfrac{c-b}{a} \).
• \( \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q \).

→ detalii: puteri cu exponent întreg, ecuația de gradul I, inecuații.

5. Noțiuni geometrice fundamentale

Studiezi perechi de unghiuri, dreptele paralele tăiate de o secantă, dreptele perpendiculare și cercul.

• Unghiuri complementare: suma \( 90^\circ \); suplementare: suma \( 180^\circ \).
• Unghiurile opuse la vârf sunt congruente; suma unghiurilor în jurul unui punct este \( 360^\circ \).
• Paralele tăiate de o secantă: unghiurile alterne interne sunt congruente, cele corespondente sunt congruente, iar cele interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.
• Cerc de rază \( r \): diametrul \( d=2r \).

→ detalii: elemente de geometrie, cercul. Axioma paralelelor vine din „Elementele” lui Euclid.

6. Triunghiul

Clasifici triunghiurile, folosești suma unghiurilor și cazurile de congruență și studiezi liniile importante (bisectoare, mediatoare, înălțimi, mediane).

• Suma unghiurilor unui triunghi: \( \hat A+\hat B+\hat C=180^\circ \).
• Unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.
• Perimetrul: \( P=a+b+c \); inegalitatea triunghiului: \( |b-c|\lt a\lt b+c \).
• Cazuri de congruență: LUL, ULU, LLL; pentru triunghiuri dreptunghice: CC, IC, CU, IU.
• În triunghiul dreptunghic, cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) este jumătate din ipotenuză, iar mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
• În triunghiul isoscel unghiurile de la bază sunt congruente; în triunghiul echilateral fiecare unghi are \( 60^\circ \).

→ detalii: triunghiul dreptunghic, aria triunghiului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — termen necunoscut dintr-o proporție. \( \dfrac{x}{4}=\dfrac{15}{6}\Rightarrow 6x=4\cdot 15=60\Rightarrow x=10 \).

Exemplul 2 — mărimi invers proporționale. 6 muncitori termină o lucrare în 10 zile. Câte zile le trebuie la 4 muncitori care lucrează în același ritm? Produsul rămâne constant: \( 6\cdot 10=4\cdot x \), deci \( x=15 \) zile.

Exemplul 3 — numere întregi. \( (-3)^2-(-2)^3+|-5|=9-(-8)+5=9+8+5=22 \).

Exemplul 4 — unghiurile triunghiului. În triunghiul \( ABC \), \( \hat A=50^\circ \) și \( \hat B=70^\circ \). Atunci \( \hat C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ \), iar unghiul exterior din \( C \) are \( 50^\circ+70^\circ=120^\circ \).

Exemplul 5 — probabilitate. La aruncarea unui zar sunt 6 cazuri posibile, dintre care 3 numere pare, deci probabilitatea de a obține un număr par este \( \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \).

Greșeli frecvente

• \( -3^2=-9 \), dar \( (-3)^2=9 \): puterea se aplică doar la ce este imediat sub ea.
• Unghiurile complementare au suma \( 90^\circ \), iar cele suplementare \( 180^\circ \) — nu le inversa.
• La o inecuație, când împarți sau înmulțești cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă: \( -2x\lt 6\Rightarrow x\gt -3 \).
• O scumpire cu 10% urmată de o ieftinire cu 10% nu readuce prețul inițial: 100 lei devin 110 lei, apoi 99 lei.

Pentru recapitulare, leagă capitolele între ele: proporțiile stau la baza procentelor și a regulii de trei simple, iar congruența triunghiurilor va fi folosită în clasa a 7-a la patrulatere și la asemănare.

Ce intră la examen

Nu ai examen național în clasa a 6-a, dar proporțiile, procentele, numerele întregi și triunghiul sunt teme sigure la Evaluarea Națională din clasa a 8-a, care verifică materia claselor V–VIII.

Întrebări frecvente

Cum calculez c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. în clasa a 6-a? Descompui numerele în factori primi. Pentru c.m.m.d.c. iei doar factorii comuni, la puterea cea mai mică; pentru c.m.m.m.c. iei toți factorii, la puterea cea mai mare. Exemplu: \( 12=2^2\cdot 3 \), \( 18=2\cdot 3^2 \), deci \( (12,18)=6 \) și \( [12,18]=36 \).

Care este diferența dintre mărimi direct și invers proporționale? La mărimi direct proporționale, când una crește de câteva ori, crește și cealaltă de același număr de ori (raportul rămâne constant). La cele invers proporționale, când una crește, cealaltă scade de același număr de ori (produsul rămâne constant).

Cât este suma unghiurilor unui triunghi? Întotdeauna \( 180^\circ \). De aici rezultă, de exemplu, că un triunghi dreptunghic isoscel are unghiurile de \( 90^\circ \), \( 45^\circ \) și \( 45^\circ \).

Formule pe clase

clasa a 5-a · clasa a 6-a · clasa a 7-a · clasa a 8-a · clasa a 9-a · clasa a 10-a · clasa a 11-a · clasa a 12-a

Toate formulele, pe domenii: algebră, geometrie și trigonometrie, analiză matematică — sau pagina principală formule matematice.

Exersează: fișă de lucru printabilă — test de evaluare inițială, clasa a 6-a, cu 15 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — test de recapitulare la algebră, clasa a 6-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — congruența triunghiurilor, clasa a 6-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — test de recapitulare la geometrie, clasa a 6-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.